\documentclass[a4paper,11pt]{article} % papier A4
\usepackage[utf8]{inputenc}      % accents dans le source
         \usepackage[T1]{fontenc}               
\usepackage{fourier}  
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt
\usepackage{eurosym}                 
\usepackage[normalem]{ulem}     
\usepackage{amsfonts,amssymb,amsmath}	
\usepackage{mathrsfs}                   
\DeclareSymbolFont{calletters}{OMS}{cmsy}{m}{n} 
\DeclareSymbolFontAlphabet{\mathcall}{calletters}   
\usepackage[x11names]{pstricks} 
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-eucl} 
\usepackage{pst-func,pst-grad}     
\usepackage{color}                      
\usepackage{fancybox,fancyvrb} 
\usepackage{enumitem}             
\usepackage{multicol}               
\usepackage{tabularx}	      
\usepackage{colortbl}	    
\usepackage{multirow}	 

\usepackage{geometry}       
\usepackage{fancyhdr}  
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage{titlesec}      
% \usepackage{longtable}
\titlelabel{\thetitle.\quad}	% ajout d'un point après les numeros des titres
\geometry{a4paper,body={180mm,240mm},left=10mm,top=23mm,headheight=10mm,headsep=5mm,footskip=8mm}
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left(O~;~\vec{i},\vec{j}\right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left(O~;~\vec{i}, \vec{j},\vec{k}\right)}}
\newcommand{\Ouv}{\ensuremath{\left(O~;~\vec{u},\vec{v}\right)}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}           % Reels
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}		% Naturels
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice
  {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}} %
  {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}} %
  {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}} %
  {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\def\e{\text{e}}
\def\i{\text{i}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\x}{\ensuremath{\times}}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small{Baccalauréat ES obligatoire}}
\rhead{\small{algorithmes}}
\lfoot{\small \jobname}
\rfoot{\small{Guillaume Seguin}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} 
  \textbf{\huge \gray \decofourleft~Baccalauréat ES  \decofourright \\ \vspace*{10mm}
    Index des exercices avec des suites de 2013 à 2016}


  Tapuscrit : \textsc{Guillaume Seguin} \end{center}

% \hyperlink{toto}{affichage} 
% \hypertarget{toto}{affichage}

\newcounter{Gui}[Gui]
\setcounter{Gui}{0} 

% \newpage

\hypertarget{top}{}

% \hspace*{-1cm}
{\footnotesize
  \begin{tabular}{|c||l|*{10}{c|}}
    \hline
\No & Lieu et date&géo&arith-géo &limite &inéquation &somme &si &pour & tant que & & \\ \hline\hline
    % Contenu du tableau
    % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & & &&&\\ \hline
    % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & & &&&\\ \hline
    % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & & &&&\\ \hline
    % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & & &&&\\ \hline
     \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{ant16}{Antilles juin 2016} &$\x$ & & &$\x$ & & & &&&pb ouvert\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie16}{Asie 2016} & &$\x$ & & & & & &&&variat° + faire algo\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi16}{Pondichery 2016} & &$\x$ & & & & & &$\x$&&remboursement\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{lib16}{Liban 2016} & &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly16}{Polynésie juin 2016} & &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frjuin16}{Métropole juin 2016} & &$\x$ &$\x$ &$\x$ & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etr16}{Centres etrangers 2016} & &$\x$ &$\x$ & & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord16}{Amerique du nord 2016} & &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&\\ \hline    
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsudnov15}{Amerique du sud nov 2015} & &$\x$ &$\x$ &$\x$ & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{calnov15}{Nouvelle Calédonie nov 2015} & &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{antsept15}{Antilles sept 2015} & &$\x$ & & & & & &$\x$&&3 algos\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frsept15}{Métropole sept 2015} & &$\x$ & & & & & &$\x$&&3 algos\\ \hline   
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{ant15}{Antilles juin 2015} & &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&decroissance\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie15}{Asie 2015} & &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&croissance\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{fr15}{Métropole 2015} &$\x$ & & &$\x$ &$\x$ & &$\x$ &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly15}{Polynésie 2015} & &$\x$ &$\x$ &$\x$ & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etr15}{Centres Etrangers 2015} & &$\x$ &$\x$ & &$\x$ & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord15}{Amérique du nord 2015} &$\x$ &$\x$ &$\x$ & & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{liban15}{Liban 2015} & &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi15}{Pondichery 2015} & &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&à modifier\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{nvcal15}{Nouvelle Calédonie mars 2015} & &$\x$ &$\x$ & & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{nvcal14}{Nouvelle Calédonie nov 2014} &$\x$ &$\x$ & & & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsud14}{Amérique du sud nov 2014} &$\x$ & & & &$\x$ & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polysept14}{Polynésie sept 2014} &&$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frsept14}{Métropole sept 2014} & &$\x$ & &$\x$ & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{antsept14}{Antilles sept 2014} &$\x$& &$\x$ & & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi14}{Pondichery 2014} &&$\x$ &$\x$ & & & &$\x$ &&&3 algos\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly14}{Polynésie juin 2014} &&$\x$ & &$\x$ & & &$\x$ &&&3 algos\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frjuin14}{Métropole juin 2014} &&$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{liban14}{Liban 2014} &&$\x$ &$\x$ & & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etranger14}{Centres Etrangers 2014} &&$\x$ &$\x$ &$\x$ & & &$\x$ &&&3 algos + equa\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie14}{Asie 2014}  &$\x$ & & &$\x$ & & & &$\x$&&fonct. exp.\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{ant14}{Antilles juin 2014} &&$\x$ &$\x$ &$\x$ & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord14}{Amérique du Nord 2014} &&$\x$ &$\x$ &$\x$ & & &$\x$ &$\x$&&3 algos\\ \hline

    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsudnov13}{Amérique du sud nov 2013} &&$\x$ &$\x$ &$\x$ & & &$\x$ &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{antillessept13}{Antilles sept 2013} &&$\x$ &$\x$ & & & &$\x$ &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{calnov13}{Calédonie nov 2013} &&$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{francesept13}{Métropole sept 2013} &&$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polysept13}{Polynésie sept 2013} &$\x$& & & & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord13}{Amerique du Nord mai 2013} &&$\x$ &$\x$ & & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asiejuin13}{Asie juin 2013} &&$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{liban13}{Liban mai 2013} &&$\x$ &$\x$ &$\x$ & & &$\x$ &&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{francejuin13}{Métropole juin 2013} &$\x$& & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$&&à compléter\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly13}{Polynésie juin 2013} &$\x$& & & &$\x$ & & &$\x$&&\%\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi13}{Pondichéry avril 2013} &$\x$& & &$\x$ & & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etranger13}{Centres étrangers juin 2013} &$\x$&$\x$ &$\x$ & & & & &$\x$&&QCM\\ \hline
  \end{tabular}
}

\newpage

% \hypertarget{}{}
% \section{ \hrulefill}


% \hyperlink{top}{retour au tableau}

% \newpage


% \hypertarget{}{}
% \section{ \hrulefill}


% \hyperlink{top}{retour au tableau}

% \newpage


% \hypertarget{}{}
% \section{ \hrulefill}


% \hyperlink{top}{retour au tableau}

% \newpage


% \hypertarget{}{}
% \section{ \hrulefill}


% \hyperlink{top}{retour au tableau}

% \newpage


% \hypertarget{}{}
% \section{ \hrulefill}


% \hyperlink{top}{retour au tableau}

% \newpage


 \hypertarget{ant16}{}
 \section{Antilles juin 2016 \hrulefill}

 Afin de lutter contre la pollution de l'air, un département a contraint dès l'année 2013 certaines entreprises à diminuer chaque année la quantité de produits polluants qu'elles rejettent dans l'air.

Ces entreprises ont rejeté $410$~tonnes de ces polluants en 2013 et $332$~tonnes en 2015. On considère que le taux de diminution annuel de la masse de polluants rejetés est constant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'on peut considérer que l'évolution d'une année sur l'autre correspond à une diminution de 10\,\%.
\item En admettant que ce taux de 10\,\% reste constant pour les années à venir, déterminer à partir de quelle année la quantité de polluants rejetés par ces entreprises ne dépassera plus le seuil de $180$~tonnes  fixé par le conseil départemental.
\end{enumerate}


 \hyperlink{top}{retour au tableau}

 \newpage



\hypertarget{asie16}{}
\section{Asie 2016 \hrulefill}


Le 1\ier{} septembre 2015, un ensemble scolaire compte \np{3000} élèves.


\begin{list}{\textbullet}{Une étude statistique interne a montré que chaque 1\ier{} septembre:}
\item 10\,\% de l'effectif quitte l'établissement;
\item 250 nouveaux élèves s'inscrivent.
\end{list}

On cherche à modéliser cette situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre d'élèves le 1\ier{} septembre de l'année $2015+n$.

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite $(u_n)$ telle que 

  $u_0=\np{3000}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,9\,u_n+250$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-\np{2500}$.

  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9. Préciser $v_0$.

  \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.

    En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=500\times 0,9^n + \np{2500}$.
  \end{enumerate}

\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n = -50\times 0,9^n$.

  En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

\item La capacité optimale d'accueil est de \np{2800} élèves. Ainsi, au 1\ier{} septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.

  \'Ecrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage



\hypertarget{pondi16}{}
\section{Pondichery 2016 \hrulefill}


En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant \np{5700}~euros sans apport
personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d'un montant de \np{5700}~euros, au
taux mensuel de 1,5\,\%. Par ailleurs, la mensualité fixée à $300$~euros est versée par l'emprunteur
à l'organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5\,\% puis
baisse de $300$ euros.

Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note $u_n$ le capital restant dû en euros juste après la $n$-ième mensualité ($n$ entier naturel non
nul). On convient que $u_0 = \np{5700}$.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à $0,01$ près si nécessaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $u_1$, capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de \np{5485,50}~euros.
  \item Calculer $u_2$.
  \end{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : 
  
  \[u_{n+1} = 1,015 u_n - 300\]
  
  On considère l'algorithme suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline	
      \textbf{Variables :}	&$n$ est un entier naturel\\
      &$u$ est un nombre réel\\
      \textbf{Traitement :}	&Affecter à $u$ la valeur \np{5700}\\
      &Affecter à $n$ la valeur 0\\
      &Tant que $u > \np{4500}$ faire\\
      &\begin{tabular}{m{0.4cm}|l}
        &$u$ prend la valeur $1,015 \times u - 300$\\
        &$n$ prend la valeur $n + 1$\\
      \end{tabular}\\
      &Fin Tant que\\
      \textbf{Sortie :}		&Afficher $n$\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne.
    
    \begin{center}
      \psset{unit=1cm}
      \begin{pspicture}(10,3)
        \psframe(0,0)(5.5,3)\psline(4,0)(4,3)\psline(0,1)(5.5,1)
        \psline(0,2)(5.5,2)
        \psframe(7,0)(10,3)\psline(8.5,0)(8.5,3)\psline(7,1)(10,1)\psline(7,2)(10,2)
        \psline[linestyle=dashed](5.5,0)(6,0)
        \psline[linestyle=dashed](5.5,1)(6,1)
        \psline[linestyle=dashed](5.5,2)(6,2)
        \psline[linestyle=dashed](5.5,3)(6,3)
        \psline[linestyle=dashed](6.5,0)(7,0)
        \psline[linestyle=dashed](6.5,1)(7,1)
        \psline[linestyle=dashed](6.5,2)(7,2)
        \psline[linestyle=dashed](6.5,3)(7,3)
        \uput[u](1.2,2.1){Valeur de $u$} \uput[u](4.8,2.1){\np{5700}}
        \uput[u](1.2,1.1){Valeur de $n$} \uput[u](4.8,1.1){0}
        \uput[u](1.6,0.1){$u > \np{4500}$ (vrai/faux)} \uput[u](5,0.1){vrai}
        \uput[u](7.6,0.1){vrai} \uput[u](9.1,0.1){faux}
      \end{pspicture}
    \end{center}		

  \item Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ?

    Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{20000}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 1,015 \times  v_n$.
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : 
    
    $u_n = \np{20000} - \np{14300} \times 1,015^n$.
  \end{enumerate}
\item À l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer qu'une valeur approchée du capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril
    2017 est \np{2121,68}~euros.
  \item Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt.
  \item Quel sera le montant de la dernière mensualité ?
  \item Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera
    le coût total de son achat ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage



\hypertarget{lib16}{}
\section{Liban mai 2016 \hrulefill}


L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12\,\% de contrats supplémentaires sont
souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à
venir.

En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année $2015+ n$. Ainsi, on a $u_0 = 75$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016.
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,12 u_n - 6$.
  \end{enumerate}
\item L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de $100$ contrats avec son nombre
  actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
  
  On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise
  l'algorithme suivant :
  \begin{center}
    
    \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline
      L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
      L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
      L3& 			&Traitement: Affecter à $n$ la valeur 0\\
      L4& 			&Affecter à $U$ la valeur 75\\
      L5& 			&Tant que $U \leqslant  100$ faire\\
      L6& 			&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
      L7& 			&$U$ prend la valeur $1,12 U - 6$\\
      L8& 			&Fin Tant que\\
      L9& Sortie :	&Afficher \ldots \\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter la ligne L9.
  \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité.
    
    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|m{1.5cm}|m{1.5cm}|X|}\hline 
        Valeur de $n$	&0	&	&\\ \hline
        Valeur de $U$	&75	&	&\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}

  \item Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
  \end{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,12u_n - 6$ et $u_0 = 75$.
  
  On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 50$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
  \item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 25 \times  1,12^n + 50$.
  \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n > 100$.
  \item Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage



\hypertarget{poly16}{}
\section{Polynésie juin 2016 \hrulefill}


Une entreprise s'intéresse au nombre d'écrans 3D qu'elle a vendus depuis 2010 :

\begin{center}
  \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
    Année &2010 &2011 &2012\\ \hline
    Nombre d'écrans 3D vendus& 0&\np{5000} &\np{11000}\\ \hline
  \end{tabularx}
\end{center}

Le nombre d'écrans 3D vendus par l'entreprise l'année $(2010 + n)$ est modélisé par une suite $\left(u_n\right)$, arithmético-géométrique, de premier terme $u_0 = 0$.

On rappelle qu'une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel $n$, une relation
de récurrence de la forme $u_{n+1} = a \times u_n + b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item En supposant que $u_1 = \np{5000}$, déterminer la valeur de $b$.
  \item En supposant de plus que $u_2 = \np{11000}$, montrer que pour tout entier naturel $n$, on a :

    \[u_{n+1} = 1,2 \times u_n + \np{5000}.\]
    
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_3$ et $u_4$.
  \item En 2013 et 2014, l'entreprise a vendu respectivement \np{18000} et \np{27000} écrans 3D.
    
    La modélisation semble-t-elle pertinente ?		
  \end{enumerate}
  
  \textbf{Dans toute la suite, on fait l'hypothèse que le modèle est une bonne estimation du nombre
    d'écrans 3D que l'entreprise va vendre jusqu'en 2022.}
  
  \smallskip
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

  \[v_n = u_n + \np{25000}.\]

  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
    
    Préciser la valeur de son premier terme $v_0$.
  \item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n = \np{25000} \times 1,2^n - \np{25000}$.
  \end{enumerate}
\item On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d'écrans 3D
  dépassera \np{180000} unités.
  \begin{enumerate}
  \item Prouver que résoudre l'inéquation $u_n > \np{180000}$ revient à résoudre l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
  \item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il détermine et affiche le plus petit
    entier naturel $n$, solution de l'inéquation $1,2^n > 8,2$.
    
    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline		
        \textbf{Variables :}		& $N$ est un entier naturel\\
        &$W$ est un nombre réel\\
        \textbf{Initialisation :}	&$N$ prend la valeur 0\\
        &$W$ prend la valeur \ldots\ldots\\
        \textbf{Traitement :}		&Tant que \ldots\ldots\\
        &\hspace{0,5cm} \begin{tabular}{|l}
          $W$ prend la valeur $W \times 1,2$\\
          \ldots\ldots
        \end{tabular}\\
        &Fin du Tant que\\
        \textbf{Sortie :}			&Afficher \ldots\\\hline
      \end{tabularx}
    \end{center}

  \item Déterminer cet entier naturel $n$.
  \item À partir de 2023, l'entreprise prévoit une baisse de 15\,\% par an du nombre de ses ventes d'écrans
    3D. Combien d'écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage



\hypertarget{frjuin16}{}
\section{Métropole juin 2016 \hrulefill}


Un loueur de voitures dispose au 1\ier{} mars 2015 d'un total de \np{10000} voitures pour l'Europe. 

Afin d'entretenir son parc, il décide de revendre, au 1\ier{} mars de chaque année, 25\,\% de son parc automobile et d'acheter \np{3000} voitures neuves.

\smallskip

On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite: 

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1\ier{} mars de l'année $2015+n$. 

On a donc $u_0=\np{10000}$.

% \end{document}

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n+\np{3000}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par

  \hfill$v_n=u_n-\np{12000}$.\hfill{}

  \begin{enumerate}
  \item 
    Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.

  \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

    Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

  \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{12000} - \np{2000} \times 0,75^n$.

  \item En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années? 
    
  \end{enumerate} 

\item On admet dans cette question que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. 

  On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins \np{11950} voitures. 

  \begin{enumerate}
  \item Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé. 

    \begin{center}
      \begin{tabular}{|l @{\hspace*{0.5cm}}l|}
        \hline
        Initialisation & U prend la valeur \np{10000}\\
        & N prend la valeur 0\\
        Traitement     & Tant que \dots\\
        & \hspace*{0.3cm} N prend la valeur \dots \hspace*{1cm}\ \\
        & \hspace*{0.3cm} U prend la valeur \dots\\
        & Fin Tant que\\
        Sortie         & Afficher \dots\\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}


  \item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.

  \item Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation 

    \hfill$\np{12000} - \np{2000}\times 0,75^n \geqslant \np{11950}$.\hfill{}

  \end{enumerate}

\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage



\hypertarget{etr16}{}
\section{Centres etrangers 2016 \hrulefill}


Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger.

Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6\,\%.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ où $n$ désigne le nombre de mois depuis l'ouverture du site. On a donc $u_0 = 500$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$ et donner le résultat arrondi à l'unité.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien  de mois le site aura doublé le nombre
de films proposés par rapport au nombre  de films proposés à l'ouverture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On veut  déterminer cette valeur à l'aide d'un algorithme.

  Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l'algorithme donne le résultat attendu.

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{l l X}
      L1 :& \textbf{Initialisation}&Affecter à $U$ la valeur 500\\
      L2 :&						&Affecter à $N$ la valeur $0$\\
      L3 :& \textbf{Traitement}	&Tant que $U$ \ldots \ldots\\
      L4 :&						&\hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
      L5 :&						&\hspace{0,5cm}Affecter à $U$ la valeur \ldots \ldots\\
      L6 :&						&Fin Tant que\\
      L7 :&\textbf{Sortie}		&Afficher \ldots \ldots\\
    \end{tabularx}
  \end{center}

\item  On veut maintenant utiliser une méthode algébrique Calculer le nombre de mois recherché.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En raison d'une offre de bienvenue, le nombre d'abonnés au lancement est \np{15000}. Sur la base des
premiers mois, on estime que  le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante :

chaque mois,  10\,\% des clients se désabonnent et \np{2500} nouveaux abonnés sont enregistrés.

On note $v_n$ l'estimation du nombre d'abonnés $n$ mois après l'ouverture, on a ainsi $v_0 =  \np{15000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} =  0,9 \times v_n + \np{2500}$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n -  \np{25000}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que  la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et préciser son premier terme.
  \item En déduire que, pour tout entier $n, \: v_n =  \np{25000} - \np{10000} \times  0,9^n$.
  \item Peut-on prévoir, à l'aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d'abonnés sur le long
    terme ?  Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{amnord16}{}
\section{Amerique du nord 2016 \hrulefill}


Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1\up{er} janvier 2016, on compte \np{4000} abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d'un mois sur l'autre, 8\,\% des
anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, \np{8000} nouvelles personnes s'abonnent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés à la date du 1\up{er} février 2016.

  Pour la suite de l'exercice, on modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$  représente le nombre de milliers d'abonnés au bout de $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2016.

  La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par : 

  \[u_0 = 4\quad  \text{et, pour tout entier naturel } \:n,\: u_{n+1} = 0,92 u_n + 8.\]

\item On considère l'algorithme suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabular}{|l|}\hline
      \textbf{Variables}\\
      $N$ est un nombre entier naturel\\
      $U$ est un nombre réel\\
      \textbf{Traitement}\\
      $U$ prend la valeur 4\\
      $N$ prend la valeur 0\\
      Tant que $U < 40$\\
      \hspace{0,5cm}$U$ prend la valeur $0,92 \times U + 8$\\
      \hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
      Fin Tant que\\
      \textbf{Sortie}\\
      Afficher $N$\\ \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
  \begin{enumerate}
  \item Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
    
    Les valeurs de $U$ seront arrondies au dixième.
    
    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
        Valeur de $U$& 4&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
        Valeur de $N$& 0&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
        Condition $U < 40$& vraie&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}

  \item Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le
    contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 100$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,92$ et calculer son premier terme $v_0$.
  \item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 100 - 96 \times  0,92^n$.
  \end{enumerate}
\item  En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre
  d'abonnés devient supérieur à \np{70000}.
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{amsudnov15}{}
\section{Amerique du sud nov 2015 \hrulefill}

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et elle demande ou non l'avis du bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg. Son souhait de demander un avis change d'une semaine sur l'autre selon le plaisir qu'elle a eu à lire le livre et selon la pertinence du conseil donné par le bibliothécaire la semaine précédente. 

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis la $n$-ième semaine. On a ainsi $a_1 = 0,1$.

\smallskip

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : 
\[a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $a_2$ que Claudine demande un avis la deuxième semaine.
\item Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on définit la suite 
  $\left(v_n\right)$ par :
  \[v_n = a_n - 0,8.\]
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$.
    
    Préciser son premier terme $v_1$.
  \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
    \[a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}.\]
  \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
  \item En déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter ce résultat.
  \end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
  
  \begin{center}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
      VARIABLES :	&$A$ est un réel\\
      &$N$ est un entier naturel\\
      &$L$ est un réel strictement compris entre $0,1$ et $0,8$\\ \hline
      INITIALISATION : &$A$ prend la valeur $0,1$\\
      &$N$ prend la valeur 1\\ \hline
      TRAITEMENT:	&Tant que $A \leqslant L$\\
      &\hspace{0,4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
      &\hspace{0,4cm}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\ 
      &Fin du Tant que\\\hline
      SORTIE :	&Afficher $N$\\\hline
    \end{tabularx}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Pour la valeur $L = 0,7$, recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant :
    
    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-5}
        Valeur de $N$& 1 &2& \ldots&\\\cline{1-3}\cline{5-5} 
        Valeur de $A$& 0,1&&\ldots&\\\cline{1-3}\cline{5-5}
        Condition $A \leqslant L$& vraie&&\ldots&\\\cline{1-3}\cline{5-5}
      \end{tabularx}
    \end{center}

  \item En déduire l'affichage de $N$ obtenu en sortie d'algorithme quand la valeur de $L$ est $0,7$.
  \item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment on peut interpréter le nombre $N$ obtenu en sortie de l'algorithme quand le nombre $L$ est compris strictement entre $0,1$ et $0,8$.
  \end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
  
  Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à $0,799$.
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{calnov15}{}
\section{Nouvelle Calédonie nov 2015 \hrulefill}

Dans une ville, un service périscolaire comptabilise $150$~élèves inscrits en septembre
2014. On admet que, chaque année, 80\,\% des élèves inscrits renouvelleront leur
inscription l'année suivante et qu'il y aura $40$ nouveaux élèves inscrits. La capacité
d'accueil du périscolaire est de $190$ élèves maximum.

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année $2014 + n$, avec $n$ un nombre entier naturel.

On a donc $u_0 = 150$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre
  2015.
\item Pour tout entier naturel $n$, justifier que $u_{n+1} = 0,8u_n + 40$.
\item On donne l'algorithme suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
      \textbf{Initialisation}\\
      Affecter à $n$ la valeur $0$\\
      Affecter à $U$ la valeur $150$\\
      ~\\
      \textbf{Traitement}\\
      Tant que $U \leqslant 190$\\
      \hspace{0.5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
      \hspace{0.5cm}$U$ prend la valeur $0,8U + 40$\\
      Fin tant que\\
      ~\\
      \textbf{Sortie}
      Afficher le nombre $2014 + n$\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que
    nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les
    résultats au centième.

    \begin{center}
      \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
        Valeur de $n$				&0 		&1 	&2	&\\ \hline
        Valeur de $U$ 				&150	&	&	&\\ \hline
        Condition $U \leqslant 190$	& vraie	&	&	&\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}

  \item En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce
    résultat.
  \end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 200$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  \item Pour tout entier naturel $n$, démontrer que $u_n = 200 - 50 \times 0,8^n$.
  \item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    \[200 - 50 \times 0,8^n > 190.\] 
  \item À partir de quelle année la directrice du périscolaire sera-t-elle obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{antspet15}{}
\section{Antilles sept 2015 \hrulefill}

Un couple fait un placement au taux annuel de 2\,\% dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de \np{18000}~euros. 

Le couple a placé le montant de \np{1000}~euros à l'ouverture le 1\up{er} janvier 2010 puis, tous les ans à chaque 1\up{er} janvier, verse \np{2400}~euros.\index{suite} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le capital présent sur le compte le 1\up{er} janvier 2011 après le versement annuel. 
\item  On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d'années. 

  On donne ci-dessous trois algorithmes :

  % \hspace*{-1.2cm}
  {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.4mm}|X|m{0.4mm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
      \textbf{Variables :}&& \textbf{Variables :} &&\textbf{Variables :} \\
      $U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
      $i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
      \textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}\\ 
      Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
      \textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}\\
      Affecter \np{1000} à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter \np{1000} à $U$\\ 
      Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}Affecter \np{1000} à $U$\\
        Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
      \end{tabular}&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire\\
      | Affecter $1,02 \times U + \np{2400}$ à $U$&&&&\begin{tabular}{|l}
        Affecter $1,02 \times U + \np{2400}$ à $U$\\
        Affecter $N+1$ à $N$\end{tabular}\\
      Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
      Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$ \\ 
      \textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
    \end{tabularx}}
  \begin{tabularx}{1.15\linewidth}{Xm{0.4mm}Xm{0.4mm}X}
    \textbf{algorithme 1} &&\textbf{algorithme 2}&&\textbf{algorithme 3}\\
  \end{tabularx}

  \medskip

  \begin{enumerate}
  \item Pour la valeur 5 de $N$ saisie dans l'algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). 

    \begin{center}
      \begin{tabular}{|l|c|c|p{2cm}}\hline
        valeur de $i$&     xxx&   1&   \ldots \\ \hline  
        valeur de   $U$ & \np{1000}&&\ldots  \\ \hline 
      \end{tabular}
    \end{center} 
  \item  Pour la valeur 5 de $N$ saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? 

    Comment s'interprète cet affichage ? 
  \item  En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue? 
  \end{enumerate}
\item À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2\,\%. 

  Au premier janvier de quelle année l'objectif de \np{18000}~euros est-il atteint ? 

\end{enumerate} 


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{frsept15}{}
\section{Métropole sept 2015 \hrulefill}

Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel
pour ses spectacles.

L'évolution du nombre d'abonnés d'une année à la suivante est modélisée par le
directeur de l'opéra qui prévoit que 75\,\% des personnes abonnées renouvelleront leur
abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année $300$ nouveaux abonnés.

Ainsi, pour tout entier naturel $n,\:u_n$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année
$(2014 + n)$.

Pour l'année 2014, il y a $500$ abonnés, autrement dit $u_0 = 500$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'entier.
\item Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,75u_n + 300$.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par :  pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - \np{1200}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et préciser $v_0$.\index{suite géométrique}
  \item En déduire alors que pour tout entier naturel $n,\:u_n = - 700 \times 0,75^n + \np{1200}$.
  \item Calculer $u_{10}$ (arrondir à l'entier). Donner une interprétation concrète de la
    valeur trouvée.
  \end{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher l'année à partir de
  laquelle le nombre d'abonnements sera supérieur à \np{1190}.\index{algorithme}
  
  On propose trois algorithmes :
  
  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
    \textbf{Algorithme 1}&&\textbf{Algorithme 2}\\
    Affecter à $n$ la valeur 0&&Affecter à n la valeur 0\\
    Affecter à $U$ la valeur 500&&Affecter à $U$ la valeur 500\\
    Tant que $U \leqslant  \np{1190}$&&Tant que $U \leqslant  \np{1190}$\\
    \hspace{0.4cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$&&\hspace{0,4cm}Affecter à $U$ la valeur\\
    \hspace{0,4cm}Affecter à U la valeur&&\hspace{0,4cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$\\
    \hspace{0,4cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$&&\hspace{0.4cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
    Fin Tant que&&Fin Tant que\\
    Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$&&Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
    Afficher $n$&&Afficher $n$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
  \end{tabularx}

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1cm}X}\cline{1-1}
    \textbf{Algorithme 3}&&\\
    Affecter à $n$ la valeur 0&&\\
    Affecter à $U$ la valeur $500$&&\\
    Tant que $U \leqslant  \np{1190}$&&\\
    \hspace{0,4cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$&&\\
    \hspace{0,4cm}Affecter à $U$ la valeur\\
    \hspace{0,4cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$&&\\
    \hspace{0,4cm}Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$&&\\
    Fin Tant que&&\\
    Afficher $n$&&\\ \cline{1-1}
  \end{tabularx}

  \medskip

  Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème
  posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{ant15}{}
\section{Antilles 2015 \hrulefill}

En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l'opérateur perd 10\,\% de ses clients, mais regagne dans le même temps \np{60000}~nouveaux clients.

\medskip
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item On donne l'algorithme ci-dessous. Expliquer ce que l'on obtient avec cet algorithme.
    
    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
        \textbf{Variables :}	& $k$, NbClients\\
        \textbf{Traitement :}	&Affecter à $k$ la valeur $0$\\
        &Affecter à NbClients la valeur 1 000 000\\
        &Tant que $k < 8$\\
        &\hspace{0.5cm}
        \begin{tabular}{|l}
          affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\
          affecter à NbClients la valeur $0,9 \times \text{NbClients} +\np{60000}$\\
          Afficher NbClients\\
        \end{tabular}\\
        &Fin Tant que\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}
  \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec toutes les valeurs affichées pour $k$ de $0$ jusqu'à $5$.
    
    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
        $k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
        NbClients	&	&	&	&	&	&\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}
  \end{enumerate}
\item  En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par:
  \[\left\{\begin{array}{l c l}
      U_0& =& \np{1000}\\
      U_{n+1}& =& 0,9U_n + 60.
    \end{array}\right.\]
  Le terme $U_n$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année $2010 + n$.

  Pour étudier la suite $\left(U_n\right)$, on considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - 600$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique de raison 0,9.
  \item  Déterminer l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
  \item  Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = 400 \times  0,9^n + 600$.
  \item  Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte de ce problème.
  \end{enumerate}
\item À la suite d'une campagne publicitaire conduite en 2013, l'opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients.\\
  Chaque année à compter de l'année 2014, l'opérateur ne perd plus que 8\,\% de ses clients et regagne \np{100000}~nouveaux clients.\\
  On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à \np{860000}.\\
  En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d'années nécessaire pour que l'opérateur retrouve au moins un million de clients.
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{asie15}{}
\section{Asie 2015 \hrulefill}

Valentine place un capital $c_0$ dans une banque le 1\up{er} janvier 2014 au taux annuel de 2\,\%. À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s'élèvent à 25~\euro{} par an.
On note $c_n$ la valeur du capital au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
  \begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|X|}\hline
    \textbf{Initialisation}\\
    Affecter à $N$ la valeur $0$\\
    \textbf{Traitement}\\
    Saisir une valeur pour $C$\\
    \hspace{1cm}Tant que $C < \np{2000}$ faire\\
    \hspace{2cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
    \hspace{2cm}Affecter à $C$ la valeur $1,02C - 25$\\
    \hspace{1cm}Fin Tant que\\
    \textbf{Sortie}\\
    Afficher $N$\\ \hline
  \end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item On saisit la valeur \np{1900} pour $C$. Pour cette valeur de $C$, recopier le tableau ci-dessous et le compléter, en suivant pas à pas l'algorithme précédent et en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
    
    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
        Valeur de $N$&0&&\\ \hline
        Valeur de $C$&\np{1900}&&\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}
  \item Quel est le résultat affiché par l'algorithme ? Dans le contexte de l'exercice, interpréter ce résultat.
  \end{enumerate}
\item Que se passerait-il si on affectait la valeur \np{1250} à $C$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Valentine a placé \np{1900}~\euro{} à la banque au 1er janvier 2014. On a donc $c_0 = \np{1900}$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = 1,02c_n - 25$.
\item  Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $u_n = c_n - \np{1250}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.		
  \item Soit $n$ un nombre entier naturel ; exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    
    En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_n = 650 \times 1,02^n + \np{1250}$.
  \end{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.
\item Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse \np{2100}~\euro.
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{fr15}{}
\section{Métropole 2015 \hrulefill}

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la
chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de
creuse  plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, onmodélise le tarif pour le forage du
premier puits par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
\[u_n = \np{2000} \times  1,008^{n-1}\]

où $u_n$ représente le coût en euros du forage de la $n$-ième dizaine de mètres.

On a ainsi $u_1 = \np{2000}$ et $u_2 = \np{2016}$, c'est-à-dire que le forage des dix premiers
mètres coûte \np{2000}~euros, et celui des dix mètres suivants coûte \np{2016}~euros.

\emph{Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.}

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_3$ puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul :
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$n et préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
  \item En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la
    $(n + 1)$-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $n$-ième dizaine
    de mètres.
  \end{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-dessous :

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
      INITIALISATION\\
      $u$ prend la valeur \np{2000}\\
      $S$ prend la valeur \np{2000}\\
      TRAITEMENT \\
      Saisir $n$\\
      Pour $i$ allant de 2 à $n$\\ 
      \hspace{1cm}$u$ prend la valeur $u \times 1,008$\\
      \hspace{1cm}$S$ prend la valeur $S + u$\\
      Fin Pour\\
      SORTIE\\
      Afficher $S$\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}

  La valeur de $n$ saisie est 5.
  \begin{enumerate}
  \item Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de $n$.

    Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier
    sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que
    nécessaire).

    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
        Valeur de $i$& 			&2	&\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline
        Valeur de $u$&\np{2000} &	&\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline
        Valeur de $S$&\np{2000}	&	&\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center} 

  \item Quelle est la valeur de $S$ affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans
    le contexte de cet exercice.
  \end{enumerate}
\item On  note $S_n = u_1 + u_2 + \cdots  + u_n$  la somme des $n$ premiers termes de la suite
  $\left(u_n\right)$,  $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que :
  \[S_n = - \np{250000} + \np{250000} \times  1,008^n.\]
  Le budget consenti pour le forage du premier puits est de \np{125000} euros, On
  souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec
  ce budget.
  \begin{enumerate}
  \item Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix
    (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation \ldots).
  \item  Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au
    problème posé.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}



\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{poly15}{}
\section{Polynésie 2015 \hrulefill}

Les techniciens d'un aquarium souhaitent régler le distributeur automatique d'un produit
visant à améliorer la qualité de l'eau dans un bassin. La concentration recommandée du
produit, exprimée en mg.l$^{-1}$ (milligramme par litre), doit être comprise entre 140 mg.l$^{-1}$ et 180 mg.$^{-1}$.

Au début du test, la concentration du produit dans ce bassin est de 160 mg.l$^{-1}$.

On estime que la concentration du produit baisse d'environ 10\,\% par semaine.

Afin de respecter les recommandations portant sur la concentration du produit, les techniciens
envisagent de régler le distributeur automatique de telle sorte qu'il déverse chaque
semaine une certaine quantité de produit.

Les techniciens cherchent à déterminer cette quantité de façon à ce que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la concentration du produit soit conforme aux recommandations sans intervention de leur part, pendant une durée de 6 semaines au moins ;
\item[$\bullet~~$] la quantité de produit consommée soit minimale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le
distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 10 mg.l$^{-1}$.

On s'intéresse à l'évolution de la concentration chaque semaine. La situation peut être modélisée
par une suite $\left(C_n\right)$, le terme en donnant une estimation de la concentration du produit, en mg.$^{-1}$, au début de la $n$-ième semaine. On a $C_0 = 160$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, \:$C_{n+1} = 0,9 \times  C_n + 10$.
\item  Soit la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $V_n = C_n - 100$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et que $V_0 = 60$.
  \item Exprimer $V_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$C_n = 0,9^n \times  60 + 100$.
  \end{enumerate}
\item  
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de la suite $\left(C_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini.
    Justifier la réponse.

    Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée.
  \item Au bout de combien de semaines la concentration devient -elle inférieure à 140~mg.l $^{-1}$ ?
  \end{enumerate}
\item  Le réglage envisagé du distributeur répond-il aux attentes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que la quantité de produit déversée chaque semaine par le
distributeur automatique est telle que la concentration augmente de 12 mg.l$^{-1}$.
Que penser de ce réglage au regard des deux conditions fixées par les techniciens?


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{etr15}{}
\section{Centres etrangers 2015 \hrulefill}

Depuis le 1\up{er} janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl'Aime est chargée de l'exploitation et de l'entretien du parc de vélos.

La commune disposait de 200 vélos au 1\up{er} janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15\,\% des vélos sont retirés de la circulation à cause de
dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de vélos de cette commune au 1\up{er} janvier de l'année $2015 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de vélos au 1\up{er} janvier 2016.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$, par :
  \[u_{n + 1} = 0,85u_n + 42.\]
\item On donne l'algorithme suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline
      \textbf{Variables :}	& $N$ entier\\
      &$U$ réel\\
      \textbf{Initialisation :}& $N$ prend la valeur 0\\
      &$U$ prend la valeur 200\\
      \textbf{Traitement :}	& Tant que $N < 4$\\
      &$U$ prend la valeur $0,85 \times U + 42$\\
      &$N$ prend la valeur $N + 1$\\
      &Fin tant que\\
      \textbf{Sortie :}		& Afficher $U$\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}

  \begin{enumerate} 
  \item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on à l'arrêt de l'algorithme ?

    \begin{center}
      \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
        $U$					&200	&	&	&	&\\ \hline
        $N$					&0		&1	&2	&3	&4\\ \hline
        Condition $N < 4$	& Vrai	&	&	&	&\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}
  \item Interpréter la valeur du nombre $U$ obtenue à l'issue de l'exécution de cet algorithme.
  \end{enumerate}
\item  On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 280$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0 = - 80$.
  \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = - 80 \times 0,85^n + 280$.
  \item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat.
  \end{enumerate}
\item  La société Bicycl'Aime facture chaque année à la commune 300~\euro{} par vélo en circulation au 1\up{er} janvier.
  
  Déterminer le coût total pour la période du 1\up{er} janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des
  termes utilisés de la suite $\left(u_n\right)$ étant exprimé avec un nombre entier.
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{amnord15}{}
\section{Amérique du nord 2015 \hrulefill}

Dans une réserve naturelle, on étudie l'évolution de la population d'une race de singes en voie d'extinction à cause d'une maladie.

\medskip

\textbf{\textsc{Partie A}}

\bigskip

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 \% chaque année.

Au 1\up{er} janvier 2004, la population était estimée à \np{25000} singes.

A l'aide d'une suite, on modélise la population au 1\up{er} janvier de chaque année. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ de la suite représente le nombre de singes au 1\up{er} janvier de l'année $2004+n$. On a ainsi $u_0=\np{25000}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif de cette population de singes :
  \begin{enumerate}
  \item au 1\up{er} janvier 2005 ;
  \item au 1\up{er} janvier 2006, en arrondissant à l'entier.
  \end{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\np{25000} \times 0,85^n$.
\item Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l'aide d'un algorithme, au bout de combien d'années après le 1\up{er} janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à \np{5000}.

  Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l'algorithme ci-dessous.\medskip

  \begin{center}
    \begin{tabular}{llcl}
      L1 :	&	Variables		&	\quad	&	$u$ un réel, $n$ un entier \\
      L2 :	&	Initialisation	&			&	$u$ prend la valeur \np{25000} \\
      L3 :	&					&			&	$n$ prend la valeur 0 \\
      L4 :	&	Traitement		&			&	Tant que $\ldots \ldots \ldots \ldots $ faire \\
      L5 :	&					&			&	\qquad $u$ prend la valeur $\ldots \ldots \ldots \ldots $ \\
      L6 :	&					&			&	\qquad $n$ prend la valeur $\ldots \ldots \ldots \ldots $ \\
      L7 :	&					&			&	Fin Tant que \\
      L8 :	&	Sortie			&			&	Afficher $n$ \\
    \end{tabular}
  \end{center}

  \medskip

\item Montrer que la valeur $n$ affichée après l'exécution de l'algorithme est 10.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textsc{Partie B}}\bigskip

Au 1\up{er} janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que \np{5000}~individus. La maladie prenant de l'ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances.

On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l'aide d'une nouvelle suite. Pour tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ de la suite représente le nombre de singes au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$. On a ainsi $v_0 = \np{5000}$.

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $v_1$ et $v_2$.
  \item justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1}=0,75 \times v_n + 400$.
  \end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=v_n-\np{1600}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $0,75$. Préciser la valeur de $w_0$.
  \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=\np{1600} + \np{3400} \times 0,75^n$.
  \item Calculer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ et interpréter ce résultat.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{liban15}{}
\section{Liban 2015 \hrulefill}

Une retenue d'eau artificielle contient $\np{100 000}$ m$^3$ d'eau le 1\up{er} juillet 2013 au matin.

La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4\,\% du volume total de l'eau par jour. De
plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue $500$ m$^3$ pour l'irrigation des cultures aux alentours.

Cette situation peut être modélisée par une suite $\left(V_n\right)$.

Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en m$^3$ est $V_0 =  \np{100000}$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur à 0, $V_n$ désigne le volume d'eau en m$^3$ au matin du $n$-ième jour qui suit le 1\up{er} juillet 2013.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que le volume d'eau $V_1$ au matin du 2 juillet 2013 est égal à \np{95500}~m$^3$.
  \item Déterminer le volume d'eau $V_2$, au matin du 3 juillet 2013.
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} =  0,96V_n -  500$.
  \end{enumerate}
\item Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer
  l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes L6, L7 et L9 de cet algorithme pour qu'il
  donne le résultat attendu.
  
  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|lX|}\hline
      L1&\textbf{Variables :}&$V$ est un nombre réel\\
      L2&&$N$ est un entier naturel\\
      L3&\textbf{Traitement :}&Affecter à $V$ la valeur \np{100000}\\
      L4&&Affecter à $N$ la valeur 0\\
      L5&&Tant que $V > 0$\\
      L6&&\hspace{1cm} Affecter à $N$ la valeur \ldots\\
      L7&&\hspace{1cm} Affecter à $V$ la valeur \ldots\\
      L8&&Fin Tant que\\
      L9&\textbf{Sortie :}&Afficher \ldots\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}
\item On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n = V_n + \np{12500}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$. Préciser son premier terme.
  \item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $V_n =  \np{112500} \times  0,96^n  -  \np{12500}$.
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\np{112500} \times  0,96^n  -  \np{12500} \leqslant 0$.
  \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{pondi15}{}
\section{Pondichery avril 2015 \hrulefill}

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En
juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8\,\% des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l’algorithme suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
      \textbf{Variables :}& $n$ est un nombre entier naturel\\
      &$C$ est un nombre réel\\
      \textbf{Traitement :}	& Affecter à $C$ la valeur 300\\
      &Affecter à $n$ la valeur 0\\
      &Tant que $C < 400$ faire\\
      &\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
        $C$ prend la valeur $C - C \times 0,08 + 50$\\
        $n$ prend la valeur $n+1$
      \end{tabular}\\
      &Fin Tant que\\
      \textbf{Sortie :}		&Afficher $n$\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
    Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche.
    
    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{2cm}|}\hline		
        \textbf{Test} $C < 400$	&  	&vrai	&	&\ldots \\ \hline
        \textbf{Valeur de} $C$	&300	&326	&	&\ldots \\ \hline
        \textbf{Valeur de} $n$	&0		&1		&	&\ldots \\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center}

  \item Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
  \end{enumerate}
\item  On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite $\left(C_n\right)$ le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année $2014 + n$. Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies en 2014.
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer pour tout entier $n$ le terme $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
  \item On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $V_n = 625 - C_n$.
    
    Montrer que pour tout nombre entier $n$ on a $V_{n+1} = 0,92 \times V_n$.
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = 625 - 325 \times  0,92^n$.
  \item Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ?
  \end{enumerate}
\item L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien
  d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
  \begin{enumerate}
  \item Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ?
  \item Donner une réponse à cette question de l’apiculteur.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{nvcal15}{}
\section{Nouvelle Calédonie mars 2015 \hrulefill}

Dans une grande entreprise, les commerciaux ont le choix de services de téléphonie mobile
exclusivement entre deux opérateurs concurrents : A et B.

On s'intéresse aux parts de marché de ces deux opérateurs chez les commerciaux de cette
entreprise.

Chaque commercial dispose d'un seul abonnement chez l'un ou l'autre des opérateurs : A et B.

Les abonnements sont souscrits pour une période d'un an, à partir du 1\up{er} janvier.

Une statistique, menée sur les choix des commerciaux, a révélé que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les abonnés de l'opérateur A, 18\,\% d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur ;
\item[$\bullet~~$] parmi les abonnés de l'opérateur B, 22\,\% d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On admet que les mouvements d'abonnés d'un opérateur à l'autre se poursuivront dans ces
proportions dans les années à venir.

De plus on sait qu'au 1\up{er} janvier 2014, 40\,\% des commerciaux avaient souscrit un abonnement chez A et 60\,\% chez B.

On note, pour tout entier naturel $n$ :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_n$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez A au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$ :
\item[$\bullet~~$]$v_n$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez B au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On a donc $u_0 = 0,4$ et $v_0 = 0,6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $u_{n+1} = 0,82u_n + 0,22v_n$ et que $u_n + v_n = 1$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n   \::\: u_{n+1} =  0,6u_n + 0,22$.
\item On considère la suite $\left(w_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

  $w_n = u_n - 0,55$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\left(w_n \right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  \item En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.		
  \item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n = 0,55 - 0,15 \times  (0,6)^n$.
  \end{enumerate}
\item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n \right)$. Comment interpréter ce résultat sur l'évolution des parts de marché dans les années futures ?
\end{enumerate}



\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{nvcal14}{}
\section{Nouvelle Calédonie nov2014 \hrulefill}

Le service commercial d'une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés; 
\item[$\bullet~~$] chaque année 40\,\% des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

En 2010 cette société comptait \np{1500}~abonnés. 

On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie par 
\[a_{n+1} = 0,6 a_n + 400\quad  \text{et}\quad  a_0 = \np{1500}.\] 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(a_n\right)$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$. 
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = a_n - \np{1000}$. 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
  \item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. 
  \item En déduire que : $a_n = 500 \times  0,6^n + \np{1000}$. 
  \end{enumerate}
\item En 2010 le prix d'un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de $400$~\euro. 
  \begin{enumerate}
  \item Quelle a été la recette de cette société en 2010 ? 

    Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5\,\%. 

    On note $P_n$ le prix de l'abonnement annuel pour l'année $2010 + n$. 
  \item Indiquer la nature de la suite $\left(P_n\right)$ en justifiant la réponse. 

    En déduire l'expression de $P_n $ en fonction de $n$. 
  \item Montrer que, pour l'année $2010 + n$, la recette totale annuelle $R_n$ réalisée par la société pour l'ensemble de ses salles de sport est donnée par : 
    \[R_n = \left(500 \times 0,6^n + \np{1000}\right) \times  \left(400 \times 1,05^n \right).\]
  \item Trouver, à l'aide de votre calculatrice, l'année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{amsud14}{}
\section{Amérique du sud nov2014 \hrulefill}

Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent. 

Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population. 

Une étude de marché estime à \np{1200} le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2\,\% chaque semaine pour les éditions suivantes. 

L'agence souhaite dépasser les \np{4000} journaux vendus par semaine. 

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus $n$ semaines après le début de l'opération. On a donc $u_0 = \np{1200}$. 

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre $u_1$ de journaux vendus une semaine après le début de l'opération. 
\item Écrire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500}. 
\item Voici un algorithme : 

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
      VARIABLES :		& $U$ est un réel\\
      &$N$ est un entier naturel\\ 
      INITIALISATION :& $U$ prend la valeur \np{1200}\\
      &$N$ prend la valeur $0$\\ 
      TRAITEMENT :	&Tant que $U < \np{4000}$\\
      &\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
      &\hspace{0.4cm}$U$ prend la valeur $1,02 \times U$\\
      &Fin du Tant que \\
      SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la valeur de $N$ affichée par cet algorithme. 
  \item Interpréter le résultat précédent. 
  \end{enumerate}
\item  
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout entier $n$, on a : 
    \[1 + 1,02 + 1,02^2 + \cdots + 1,02^n = 50 \times \left(1,02^{n+1} - 1\right).\] 
  \item On pose, pour tout entier $n, \:\: S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. 

    À l'aide de la question précédente, montrer que l'on a : 

    $S_n = \np{60000} \times \left(1,02^{n+1} - 1\right)$. 
  \item Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le résultat sera arrondi à l'unité. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage

\hypertarget{polysept14}{}
\section{Polynésie sept 2014 \hrulefill}

Une personne décide d'ouvrir un compte épargne le premier janvier 2014 et d'y placer \np{2000}~euros. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 \,\%. Elle verse 150 euros sur ce compte tous les 1\up{er} janvier suivants.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_{n}$ le montant présent sur ce compte au premier janvier de l'année $2014 + n$ après le versement de 150 euros. On a $u_{0} = \np{2000}$.

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près}.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1} = 1,03u_{n} + 150$. 
\item Pour tout entier $n$, on pose $v_{n} = u_{n} + \np{5000}$.
  
  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,03$. 
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que pour tout nombre entier $n$ on a : 

  \[u_{n} = \np{7000} \times 1,03^n - \np{5000}.\]
  
\item À partir de quelle année, cette personne aura-t-elle au moins \np{4000} euros sur son compte épargne ? Indiquer la façon dont la réponse a été trouvée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'algorithme ci-dessous modélise l'évolution d'un autre compte épargne, ouvert le premier janvier 2014, par une seconde personne.

\begin{center}
  \begin{tabular}{|l|l|}\hline 
    \textbf{Variables :}& 	C et D sont des nombres réels\\
    & N est un nombre entier\\ 
    \textbf{Entrée :}	& 	Saisir une valeur pour C\\ 
    \textbf{Traitement:}& Affecter à N la valeur 0\\
    & Affecter à D la valeur $2 \times $ C\\
    & Tant que C $<$ D faire\\ 
    &\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
      affecter à C la valeur $1,03 \times  \text{C} + 600$\\
      affecter à N la valeur N $+ 1$
    \end{tabular}\\ 
    &Fin du Tant que\\ 
    \textbf{Sortie :}	&Afficher N\\ \hline
  \end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Que représente la variable C dans cet algorithme ? 
  \item Quel est le taux de ce placement ? 
  \item Quel est le versement annuel fait par cette personne ?
  \end{enumerate} 
\item On saisit, pour la variable C, la valeur \np{3000}. 
  \begin{enumerate}
  \item Pour cette valeur de C, en suivant pas à pas l'algorithme précédent, recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
    
    \begin{center} 
      \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
        Valeur de C& \np{3000}&&&\\ \hline 
        Valeur de N& 0&&&\\ \hline 
        Valeur de D &\np{6000}&&&\\ \hline 
        Test C $<$ D& vrai&&&\\ \hline
      \end{tabularx}
    \end{center} 
  \item Qu'affiche l'algorithme ? Interpréter ce résultat.
  \end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage
\hypertarget{frsept14}{}
\section{Métropole sept 2014 \hrulefill}

On comptait 700~élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012.

À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l'établissement, le lycée conserve 70\,\% de son effectif pour l'année suivante.

Il reçoit $240$~nouveaux élèves à chaque rentrée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'élèves dans le lycée aux rentrées 2013 et 2014. 
\item On définit la suite $\left(a_{n}\right)$ par : 

  \[a_{0} = 700\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\: n,\: a_{n+1} = 0,7 \times a_{n} + 240.\]
  
  Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = a_{n} - 800$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$. 

    Préciser son premier terme. 
  \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
  \item En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$. 
  \end{enumerate}
\item  On choisit de modéliser le nombre d'élèves du lycée par les termes de la suite  $\left(a_{n}\right)$.
  
  Il faudra agrandir le lycée dès que l'effectif sera supérieur ou égal à $780$~élèves. 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que résoudre l'inéquation $800 - 100 \times 0,7^n \geqslant 780$ revient à résoudre l'inéquation $0,7^n \leqslant  0,2$. 
  \item En quelle année faudra-t-il agrandir le lycée ?
  \end{enumerate} 
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage
\hypertarget{antsept14}{}
\section{Antilles sept 2014 \hrulefill}

En 2008, une entreprise internationale s'est dotée d'un centre de visio-conférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget \og déplacement des cadres \fg. 

Lors d'un conseil d'administration de fin d'année, le responsable du centre de visio-conférence fait le compte rendu suivant: on a observé un fort accroissement de l'utilisation de cette technologie, le nombre de visio-conférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20\,\% tous les ans.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On s'intéresse au nombre d'utilisations de la visio-conférence lors de l'année $2008 + n$. On modélise la situation par une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ où le terme $u_{n}$ est une estimation de ce nombre d'utilisations lors de l'année $2008 + n$. 
  \begin{enumerate}
  \item Donner la raison q et le premier terme $u_{0}$ de cette suite. 
  \item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
  \item Vérifier qu'en 2013 on a atteint 74~utilisations de la visio-conférence.
  \end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline 
      \textbf{Variables :}& $n$ est un nombre entier naturel\\
      & $U$ et $A$ sont des nombres réels\\ 
      \textbf{Entrée :}	& Saisir $A$\\ 
      \textbf{Traitement :}&Affecter à $U$ la valeur 30\\
      & Affecter à $n$ la valeur 0\\
      & Tant que $U < A$ faire\\
      &\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
        $U$ prend la valeur $U + U \times 0,2$\\
        $n$ prend la valeur $n + 1$
      \end{tabular}\\ 
      &Fin Tant que\\ 
      \textbf{Sortie :}	&Afficher $n$\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}
  
  \begin{enumerate}
  \item On donne la valeur $100$ à $A$. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
    
    Les valeurs de $U$ seront données approchées par défaut à l'entier près.

    \begin{center}
      \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{1.5cm}|}\hline 
        \textbf{Test $U < A$} 		&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}	& vrai	&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline 
        \textbf{Valeur de } $U$		& 30& 36	&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline  
        \textbf{Valeur de } $n$		& 0	& 1		&	&\ldots \ldots \ldots \ldots\\ \hline 
      \end{tabularx}
    \end{center} 
  \item Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme? 
  \item Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème.
  \end{enumerate} 
\item Le coût de l'installation des appareils de visio-conférence sera amorti quand le nombre total d'utilisations aura dépassé 400.
  
  À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{pondi14}{}
\section{Pondichery avril 2014 \hrulefill}

Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.

Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.

Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.

On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. 

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_{n}\right)$ admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013~+~n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 
\item Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme. 
  \begin{enumerate}
  \item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1\up{er} janvier de l'année $2013~+~n$.
    
    Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

    \medskip
    \hspace{-1.cm}{
      \begin{footnotesize}
        \begin{tabularx}{1.\linewidth}{|X|@{}p{1mm}@{}|X|@{}p{1mm}@{}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
          \textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
          $U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
          $i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
          \textbf{Début}&&\textbf{Début}&&\textbf{Début}\\ 
          Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
          Affecter 115 à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter 115 à $U$\\ 
          Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\multirow{2}*{\begin{tabular}[t]{@{\hspace{1ex}}|l@{}}
              Affecter 115 à $U$\\
              Affecter $0,4 \times U + 115$ à $U$
            \end{tabular}}&&Pour i de 1 à N faire \\ 
          \begin{tabular}[t]{@{\hspace{1ex}}|l@{}}
            Affecter $0,6 \times U + 120$ à $U$
          \end{tabular}&&&&\begin{tabular}[t]{@{\hspace{1ex}}|l@{}}
            Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$
          \end{tabular}\\
          Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
          Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\ 
          Fin&&Fin&&Fin\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
          \multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
        \end{tabularx}
      \end{footnotesize}
    }
    \medskip
    
  \item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
  \end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,4$. Préciser $v_{0}$. 
  \item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n, u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$. 
  \item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
  \end{enumerate} 
\item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.
  
  Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{poly14}{}
\section{Polynésie juin 2014 \hrulefill}

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
    u_{0}& =& 5\\ 
    u_{n+1}& =& \dfrac{1}{2}u_{n} + 1
  \end{array}\right.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang $n$.
  
  Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
  
  Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.
  {\footnotesize
    \begin{center}
      \hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|*{3}{>{\raggedright \arraybackslash}X|}}\hline
        \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}\\ 
        $U$ est un nombre réel& $U$ est un nombre réel &$U$ est un nombre réel\\ 
        $i$ et $N$ sont des nombres entiers&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\ 
        \textbf{Début}&\textbf{Début}&\textbf{Début}\\ 
        Saisir une valeur pour $N$&Saisir une valeur pour $N$&Saisir une valeur pour $N$\\ 
        $U$ prend la valeur 5&\pnode(1ex,-1ex){b1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire&$U$ prend la valeur 5\\ 
        \pnode(1ex,-1ex){a1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire&\hspace{1em}$U$ prend la valeur 5&\pnode(1ex,-1ex){c1}Pour $i$ de $0$ à $N$ faire\\ 
        \pnode(1ex,-1ex){a2}\hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$&\hspace{1em}Afficher $U$&\hspace{1em}Afficher $U$\\ \ncline[linewidth=.5pt]{a1}{a2}
        Fin Pour& \pnode(1ex,-1ex){b2} \hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$ & \pnode(1ex,-1ex){c2}\hspace{1em} Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2} \times U + 1$\\  \ncline[linewidth=.5pt]{b1}{b2}  \ncline[linewidth=.5pt]{c1}{c2}
        Afficher $U$&Fin Pour&Fin Pour\\ 
        \textbf{Fin}&\textbf{Fin}&\textbf{Fin}\\\hline
        \multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
      \end{tabularx}
    \end{center}} 
  

\item On saisit la valeur 9 pour $N$, l'affichage est le suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{X|}}\hline 
      5&3,5&2,75&2,375&2,185& 2,0938 	&2,0469 	&2,0234 	&2,0117 &2,0059\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}
  
  Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On introduit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison $q$ et son premier terme $v_{0}$. 
\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} = 2 + 3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. 
\item Étudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item À partir de quel rang a-t-on : $u_{n} - 2 \leqslant 10^{-6}$ ? 
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{frjuin14}{}
\section{Métropole juin 2014 \hrulefill}

À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de \np{1500}~m$^2$ entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20\,\% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m$^2$ et la remplace par du gazon.

\smallskip

Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la surface en m$^2$ de terrain engazonné au bout de $n$ années, c'est-à-dire à l'automne $2010 + n$. On a donc $u_{0} = \np{1500}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$. 
\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n, \:\:u_{n+1} = 0,8 u_{n} + 50$. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par: $v_{n} = u_{n} - 250$.
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. 	 Préciser son premier terme et sa raison. 
  \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 

    En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n,\: u_{n} = 250 + \np{1250} \times  0,8^n$. 
  \item Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
  \end{enumerate} 
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que : 
    
    \[250 + \np{1250} \times  0,8^n < 500\]
    
    Interpréter le résultat obtenu. 
  \item Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.
  \end{enumerate} 
\item Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
  
  A-t-il raison ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
  \textbf{Annexe 1}
\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline 
  \textbf{Initialisation}	&\\ 
  &$u$ prend la valeur \np{1500}\\
  &$n$ prend la valeur 0\\
  \textbf{Traitement}		&\\ 
  &Tant que \ldots \ldots\ldots 	faire \\
  &\hspace{0,3cm}	$u$ prend la valeur \ldots\ldots\ldots\\ 
  &\hspace{0,3cm}	$n$ prend la valeur \ldots \ldots\ldots	\\ 
  &Fin Tant que\\ 
  \textbf{Sortie}			&\\
  & Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}



\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{liban14}{}
\section{Liban mai 2014 \hrulefill}


La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré \np{2500} inscriptions en 2013. 

Elle estime que, chaque année, 80\,\% des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents. 

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(a_n\right)$. 

On note $a_0 = \np{2500}$ le nombre d'inscrits à la médiathèque en 2013 et $a_n$ représente le nombre d'inscrits à la médiathèque pendant l'année $2013 + n$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$.
  \item  Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a la relation $a_{n+1} = 0,8 \times  a_{n} + 400$. 
  \end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n, \: v_{n} = a_{n} - \np{2000}$. 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0} = 500$ et de raison $q = 0,8$. 
  \item En déduire que le terme général de la suite $\left(a_{n}\right)$ est $a_{n} = 500 \times 0,8^n + \np{2000}$. 
  \item Calculer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
  \item Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhérents à la médiathèque si le schéma d'inscription reste le même au cours des années à venir ? 
  \end{enumerate}
\item On propose l'algorithme suivant : 

  \begin{center}
    \begin{tabular}{|l l|}\hline
      Variables :& $N$ entier\\ 
      & $A$ réel\\
      Initialisation : &$N$ prend la valeur 0\\ 
      &$A$ prend la valeur \np{2500}\\ 
      Traitement :& Tant que $A - \np{2000} > 50$\\
      &\begin{tabular}{l l} 
        \hspace{0.4cm}&$A$ prend la valeur $A\times 0,8 + 400$\\ \hspace{0.4cm}&$N$ prend la valeur $N + 1$
      \end{tabular}\\ 
      &Fin du Tant que\\ 
      Sortie :& Afficher $N$.\\\hline
    \end{tabular} 
  \end{center}

  \begin{enumerate}
  \item Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. 
  \item À l'aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{etranger14}{}
\section{Centres etrangers 2014 \hrulefill}

Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée $500$~élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30\,\% de l'effectif et l'arrivée de $300$~nouveaux élèves.

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année $2013 + n$, avec $n$ entier naturel. On a donc $u_{0} = 500$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014. 		\item Calculer Je nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015.
  \end{enumerate} 
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_{n} + 300$. 
\item On souhaite, pour un entier $n$ donné, afficher tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ du rang $0$ au rang $n$. 

  Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.

  \begin{center}

    \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
      Algorithme 1& Algorithme 2& Algorithme 3\\ \hline 
      \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}\\ 
      $n, i$ entiers naturels,& 
      $n, i$ entiers naturels,& 
      $n, i$ entiers naturels,\\ 
      $u$ nombre réel& $u$ nombre réel& $u$ nombre réel\\ 
      \textbf{Début algorithme}&\textbf{Début algorithme}&\textbf{Début algorithme}\\ 
      Lire $n$&Lire $n$&Lire $n$\\ 
      $u$ prend la valeur $500$&$u$ prend la valeur $500$&$u$ prend la valeur $500$\\  
      Pour $i$ allant de 1 à $n$&Pour $i$ allant de 1 à $n$&Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
      Afficher $u$&Afficher $u$& $u$ prend la valeur $0,7 \times u + 300$\\ 
      $u$ prend la valeur $0,7\times u + 300$&$u$ prend la valeur $0,7\times u + 300$& Fin Pour\\ 
      Fin Pour& Fin Pour& Afficher $u$\\ 
      &Afficher $u$&\\ 
      \textbf{Fin algorithme}&\textbf{Fin algorithme}&\textbf{Fin algorithme}\\
    \end{tabularx}
  \end{center} 

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n} = u_{n} - \np{1000}$. 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$.
  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = \np{1000} - 500 \times 0,7^n$. 
  \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
  \item Interpréter le résultat précédent.
  \end{enumerate} 
\item
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_{n} \geqslant 990$. 
  \item Interpréter le résultat trouvé précédemment. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate} 

\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{asie14}{}
\section{Asie juin 2014 \hrulefill}

On étudie l'évolution de la population d'une ville, depuis le 1\up{er} janvier 2008.

\medskip 

\textbf{Partie A : un premier modèle}

Pour cette partie, on admet que la population augmente de 3,5\,\% par an depuis le 1\up{er} janvier 2008.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1\up{er} janvier 2008 et le 1\up{er} janvier 2014. Donner une réponse à 0,1\,\% près.
\item À partir de 2008, on modélise la population de cette ville au 1\up{er} janvier à l'aide d'une suite :
  
  Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre d'habitants, exprimé en centaines de milliers d'habitants, au 1\up{er} janvier de l'année $2008 + n$.
  
  Au 1\up{er} janvier 2008, cette ville comptait \np{100000}~habitants. 
  \begin{enumerate}
  \item Que vaut $u_{0}$ ? 
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:\:u_{n} = 1,035^n$. 
  \item Suivant ce modèle, en quelle année la population aura-t-elle doublé ? Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : un second modèle.}

On modélise la population de cette ville à partir du 1\up{er} janvier 2008 par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\text{e}^{- 0,05x}}\]
où $x$ désigne le nombre d'années écoulées 
depuis le 1\up{er} janvier 2008 et $f(x)$ le nombre d'habitants en centaines de milliers.

On admet que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. 

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
  \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline
    \textbf{Initialisation :}& 	$X$ prend la valeur $0$\\ 
    \textbf{Traitement :}& 	Tant que $f(X) \leqslant 2$\\ 
    &$X$ prend la valeur $X + 1$\\
    & Fin Tant que\\ 
    \textbf{Sortie :}& 	Afficher $X$ \\ \hline
  \end{tabularx}
\end{center}

Si l'on fait fonctionner cet algorithme, alors le résultat affiché en sortie est $28$. Interpréter ce résultat dans le contexte de ce problème. 

\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{ant14}{}
\section{Antilles juin 2014 \hrulefill}

Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8\,\% de ses précédent abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés.

En 2013 le nombre d'abonnés est de 20 millions.

On s'intéresse au nombre d'abonnés, en millions, pour l'année $2013 + n$. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
    u_{0}& =& 20\\ 
    u_{n+1} &=& 0,92u_{n} + 3.
  \end{array}\right.\]

Le terme $u_{n}$ donne une estimation du nombre d'abonnés pour l'année $2013 + n$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item En utilisant cette modélisation, l'opérateur décide d'arrondir les résultats à $10^{-3}$.
    
    À quoi correspond ce choix d'arrondi ? 
  \item Déterminer le nombre d'abonnés en 2014 et en 2015. 

    On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par $v_{n} = u_{n} - 37,5$ pour tout entier naturel $n$.
  \end{enumerate} 
\item Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme. 
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 

  En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = - 17,5 \times  0,92^n + 37,5$. 
\item Déterminer le nombre d'abonnés en millions en 2020. Arrondir les résultats à $10^{- 3}$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item L'opérateur peut-il espérer dépasser 30~millions d'abonnés ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Compte tenu des investissements, l'opérateur considère qu'il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d'abonnés dépassera 25~millions.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer le nombre d'années nécessaires à partir de 2013 pour que l'opérateur fasse des bénéfices.

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline 
      \textbf{Variables :}& 	$N$ un nombre entier naturel non nul \\
      &$U$ un nombre réel \\
      \textbf{Traitement : }& Affecter à $U$ la valeur 20\\ 
      &Affecter à $N$ la valeur $0$\\ 
      &Tant que .... \\ 
      &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
        affecter à $U$ la valeur $0,92 \times  U + 3$\\
        affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
      \end{tabular}\\ 
      &Fin Tant que\\ 

      \textbf{Sortie :}&Afficher .... \\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}
  
\item En quelle année l'opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ? 
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{amnord14}{}
\section{Amérique du Nord 2014 \hrulefill}

Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\,\% des arbres existants et de replanter \np{3000} arbres.

Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée $u$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2013 + n)$.

En 2013, la forêt compte \np{50000} arbres.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
  \item Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
  \item Montrer que la suite $u$ est définie par $u_0 = \np{50000}$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation 

    \[u_{n+1}=0,95u_n+ \np{3000}.\]

  \end{enumerate}
\item On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n =\np{60000}- u_n$.
  \begin{enumerate}
  \item  Montrer que la suite $v$ est une suite géométrique de raison 0,95.

    Déterminer son premier terme.
  \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{10000}(6-0,95^n)$.
  \item Déterminer la limite de la suite $u$.
  \item Interpréter le résultat précédent.
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n \geqslant \np{57000}$
  \item Interpréter ce résultat.
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item On souhaite écrire un algorithme affichant pur un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.

    \medskip

    \begin{footnotesize}
      \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|@{}p{1mm}@{}|X|@{}p{1mm}@{}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
        \multicolumn{1}{|c|}{Algorithme 1}&&\multicolumn{1}{c|}{Algorithme 2}&&\multicolumn{1}{c|}{Algorithme 3}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
        \textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
        $A$, $U$, $N$ sont des nombres&&$U$, $I$, $N$ sont des nombres&&$U$, $I$, $N$ sont des nombres\\ 
        \textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
        Saisir la valeur de $A$&&Saisir la valeur de $N$&&Saisir la valeur de $N$\\
        $N$ prend la valeur 0&&$U$ prend la valeur \np{50000}&&$U$ prend la valeur \np{50000}\\
        $U$ prend la valeur \np{50000}&&\textbf{Pour} $I$ variant de 1 à $N$&&\textbf{Pour} $I$ variant de 1 à $N$\\ 
        \textbf{Tant que} $U<A$ &&\hspace{1ex} $U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$&&\hspace{1ex}Afficher $U$\\
        \hspace{1ex}$N$ prend la valeur $N+1$&&\textbf{Fin Pour}&&\hspace{1ex}$U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$\\
        \hspace{1ex}$U$ prend la valeur $0,95 U+\np{3000}$&&Afficher $U$&&\textbf{Fin Pour}\\
        \textbf{Fin tant que}&&  &&Afficher $U$\\ 
        Afficher $N$&& && \\ 
        \textbf{Fin algorithme} &&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
      \end{tabularx}
    \end{footnotesize}

  \item Lorsque $A=\np{57000}$ l'algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{amsudnov13}{}
\section{Amérique du sud nov 2013 \hrulefill}

Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c'est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l'action qu'il mène). Ce sondage résulte d'une enquête réalisée auprès d'un échantillon de la population du pays.

\medskip

Les enquêtes réalisées révèlent que d'un mois à l'autre :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 6\,\% des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ; 
\item[$\bullet~~$] 4\,\% des personnes qui n'étaient pas favorables le deviennent.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $F_{0}$ l'évènement \og la personne interrogée a une opinion favorable dès l'élection du président \fg{} de 
  probabilité $p_{0}$ et $\overline{F_{0}}$ son évènement contraire ; 
\item[$\bullet~~$] $F_{1}$ l'évènement \og la personne interrogée le 1\up{er} mois a une opinion favorable \fg{} de probabilité $p_{1}$ et $\overline{F_{1}}$ son évènement contraire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant. 

    \begin{center}

      \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}}
      {
	\pstree{\TR{$F_{0}$}\taput{$p_{0}$}}
        { 
          \TR{$F_{1}$}\taput{\ldots}
          \TR{$\overline{F_{1}}$}\tbput{\ldots}	   
        }
	\pstree{\TR{$\overline{F_{0}}$}\tbput{\ldots}}
        {
          \TR{$F_{1}$}\taput{0,04}
          \TR{$\overline{F_{1}}$}\tbput{\ldots}	
        }
      }
    \end{center}
    
  \item Montrer que $p_{1} =  0,9 p_{0} + 0,04$. 
  \end{enumerate} 
  \medskip

  \emph{Pour la suite de l'exercice, on donne $p_{0} = 0,55$ et on note, pour tout entier naturel $n,\: F_{n}$ l'évènement \og  la personne interrogée le $n$-ième mois a une opinion favorable \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité.\\ 
    On admet de plus, que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,9 p_{n} + 0,04$.} 

\item On considère l'algorithme suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline 
      \textbf{Variables :}& \\
      &$I$ et $N$ sont des entiers naturels\\
      & $P$ est un nombre réel\\ 
      \textbf{Entrée :}&\\
      &Saisir $N$\\ 
      \textbf{Initialisation :}&\\
      &$P$ prend la valeur $0,55$\\ 
      \textbf{Traitement :}&\\
      &Pour $J$ allant de $1$ à $N$\\ 
      & \hspace{1cm} $P$ prend la valeur $0,9P + 0,04$\\
      & Fin Pour\\ 
      \textbf{Sortie :}&\\
      &Afficher $P$\\ \hline
    \end{tabularx}
  \end{center}
  
  \begin{enumerate}
  \item Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $N = 1$. 
  \item Donner le rôle de cet algorithme.
  \end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

  $u_{n} = p_{n} - 0,4$. 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et préciser la valeur de son premier terme $u_{0}$. 
  \item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. 
  \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat.
  \end{enumerate} 
\item
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,15 \times 0,9^n + 0,4 \leqslant  0,45$. 
  \item Interpréter le résultat trouvé.
  \end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{antillessept13}{}
\section{Antilles sept 2013 \hrulefill}

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait $80$~adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 10\,\% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
\item $20$ nouvelles personnes s'inscrivaient au club.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 
On donne l'algorithme suivant : 

\begin{center}
  \begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2} 
    Entrée :	& Saisir $n$ entier positif\\ \cline{2-2} 
    Traitement :&$X$ prend la valeur $80$ \{Initialisation\}\\  
    &Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
    &\hspace{1cm}Affecter à $X$ la valeur $0,9X + 20$\\  
    &Fin Pour\\  
    &$X$ prend la valeur de $X$ arrondie à l'entier inférieur\\ \cline{2-2} 
    Sortie:		&Afficher $X$\\ \cline{2-2}  
  \end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Pour la valeur $n = 2$ saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? 
\item Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur $n = 2$ saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(a_{n}\right)$ définie par $a_{0} = 80$ et, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 0,9a_{n} + 20$. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $b_{n} = a_{n} - 200$. 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
  \item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
  \end{enumerate} 
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n} = 200 - 120  \times 0,9^n$. 
\item Quelle est la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'objectif du président du club est d'atteindre au moins $180$ adhérents. Cet objectif est-il réalisable ? 
\item Même question si l'objectif du président du club est d'atteindre au moins $300$ adhérents. 
\end{enumerate} 


\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{calnov13}{}
\section{Calédonie nov 2013 \hrulefill}

Le premier janvier 2014, Monica ouvre un livret d'épargne sur lequel elle dépose \np{6000}~euros.

Elle décide de verser $900$ euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 2015 jusqu'à atteindre le plafond autorisé de \np{19125}~euros.

On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25\,\% par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le montant des intérêts pour l'année 2014 et montrer que Monica disposera d'un montant de \np{7035}~euros sur son livret le premier janvier 2015. 
\item On note $M_{n}$ le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l'année $2014 + n$. 

  On a donc $M_{0} = \np{6000}$ et $M_{1} = \np{7035}$. 

  Montrer que pour tout entier naturel $n :\: M_{n+1} = 1,0225M_{n} + 900$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de \np{19125}~euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Première méthode :
  
  On considère la suite $\left(G_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par \mbox{$G_{n} = M_{n} + \np{40000}$}. 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $\left(G_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,0225}. On précisera le premier terme. 
  \item Donner l'expression de $G_{n}$ en fonction de $n$.
    
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $M_{n} = \np{46000} \times \np{1,0225}^n - \np{40000}$. 
  \item Déduire de l'expression de $M_{n}$ obtenue en b. l'année à partir de laquelle le plafond de \np{19125}~euros sera atteint.
  \end{enumerate}
\item Deuxième méthode :
  
  L'algorithme ci-dessous permet de déterminer l'année à partir de laquelle le plafond sera atteint.

  \begin{center}
    {\footnotesize{
        \begin{tabularx}{\linewidth}{r|>{\bf}l X} 
          LIGNE&&\\ 
          1&  Variables :&MONTANT est un réel\\ 
          2&& ANNÉE est un entier\\ 
          3&&\\ 
          4 & Initialisation:&Affecter à MONTANT la valeur \np{6000}\\ 
          5&&Affecter à ANNÉE la valeur 2014\\ 
          6&&\\ 
          7& Traitement :&Tant que  $\text{MONTANT }< \np{19125}$\\ 
          8&&\hspace{0,5cm}Affecter à MONTANT la valeur $\np{1,0225} \times  + 900$\\ 
          9&&\hspace{0,5cm}Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE $+ 1$\\ 
          10&&\\ 
          11&  Sortie :&Afficher \og Le plafond du livret sera atteint en \ldots \fg\\ 
          12&& Afficher ANNÉE\\
        \end{tabularx}
      } }
  \end{center}
  \begin{enumerate}
  \item Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu'il détermine l'année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de \np{5000}~euros et des versements annuels de \np{1000}~euros.
    
    Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées. 
  \item Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l'algorithme affiche également à l'écran le montant disponible au premier janvier de chaque année.
  \end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{francesept13}{}
\section{Métropole sept 2013 \hrulefill}

Le responsable du foyer des jeunes d'un village a décidé d'organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli $110$ inscriptions.

D'après les renseignements pris auprès d'autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d'une année sur l'autre, 90\,\% des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.

On désigne par $u_{n}$ le nombre d'exposants en $(2012 + n)$ avec $n$ un entier naturel.

Ainsi $u_{0}$ est le nombre d'exposants en 2012, soit $u_{0} = 110$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'exposants attendu pour 2013 ? 
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,9u_{n} + 30$. 
\item Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d'exposants ne peut pas excéder $220$.
  
  Recopier et compléter l'algorithme proposé ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle l'organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d'inscription.

  \medskip
  \begin{tabular}{|l l} 
    \textbf{Variables :} &$u$ est un nombre réel \\
    &$n$ est un nombre entier naturel\\
    &\\ 
    \textbf{Initialisation :} &Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
    & Affecter à $n$ la valeur 2012 \\
    &\\
    \textbf{Traitement :}& Tant que \ldots\\ 
    &\hspace{1.25cm}Affecter à $u$ la valeur \ldots\\
    &\hspace{1.25cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
    &\\ 
    \textbf{Sortie :} 	&Afficher \ldots\\
  \end{tabular}

  \medskip
  
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = u_{n} - 300$. 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$. 
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = - 190 \times  0,9^n + 300$. 
  \item Déterminer le résultat recherché par l'algorithme de la question 3 en résolvant une inéquation.
  \end{enumerate} 
\item L'organisateur décide d'effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d'inscriptions. Il affirme au maire qu'il suffit de lui autoriser $300$ emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ? 
\end{enumerate}

\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{polysept13}{}
\section{Polynésie sept 2013 \hrulefill}


La population de l'Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s'élevait à \np{81751602}~habitants au premier janvier 2011.

De plus, on sait qu'en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d'évolution de la population allemande à $- 0,22\,\%$. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.

\emph{Les résultats seront arrondis à l'unité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On propose l'algorithme suivant: 

\begin{center}
  \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{l|X|}\cline{2-2}
    \textbf{Entrée :}& Saisir le nombre entier naturel non nul S.\\ \cline{2-2} 
    \textbf{Traitement :}&Affecter à U la valeur \np{81751602}\quad  \{initialisation\}\\  
    &Affecter à N la valeur 0\phantom{\np{1751602}} \quad  \{initialisation\}\\ 
    &Tant que U $ > $ S\\ 
    &\qquad Affecter à U la valeur $\np{0,9978} \times $ U\\ 
    &\qquad Affecter à N la valeur N $+ 1$\\ 
    &Fin tant que\\ \cline{2-2} 
    \textbf{Sortie :}& Afficher N\\ \cline{2-2} 
  \end{tabularx}
\end{center} 

On saisit en entrée le nombre S $= \np{81200000}$. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l'unité. Quel nombre obtient-on en sortie ? 

\begin{center}
  \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
    U				&\np{81751602}	&\np{81571748}	&\ldots&\\ \cline{1-3}\cline{4-5}
    N				& 0 			&				&\ldots&\\ \cline{1-3}\cline{4-5}
    Test U $ > $ S	& Vrai			&				&\ldots&\\ \hline
  \end{tabularx}
\end{center} 

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $u_{n}$ l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier $2011 + n$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_{0}$ et $u_{1}$. 
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique, de 1\up{er} terme \np{81751602} et de raison \np{0,9978}. 
  \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
  \end{enumerate} 
\item Si cette évolution de $- 0,22\,\%$ se confirme : 
  \begin{enumerate}
  \item Quel serait l'effectif de la population de l'Allemagne au premier janvier 2035 ? 
  \item En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de \np{81200000}~habitants ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu'en 2011 , le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s'élève à \np{49800}~personnes.

On admet de plus que le taux d'évolution de $-0,22\,\%$ ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 2011.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Modéliser cette situation à l'aide d'une suite $\left(v_{n}\right)$ dont on précisera le premier terme $v_{0}$ ainsi qu'une relation entre $v_{n+1}$ et $v_{n}$. 
\item Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$. Que peut-on conjecturer sur l'évolution de la population de l'Allemagne ? 
\end{enumerate}

(\emph{Données recueillies par l'Institut national d'études démographiques}) 


\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage


\hypertarget{amnord13}{}
\section{Amerique du Nord mai 2013 \hrulefill}


\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir \np{100000}~ouvrages au total.

Pour l'ouverture prévue le 1\up{er} janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de \np{35000}~ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de \np{7000}~ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5\,\% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter \np{6000}~ouvrages neufs.

On appelle $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1\up{er}  janvier de l'année $(2013 + n)$. 

On donne $u_{0} = 42$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1} = u_{n} \times 0,95 + 6$. 
\item On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. 

  Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. 

  \begin{center}
    \begin{tabular}{|l|}\hline
      \\
      Variables :\\ 
      \hspace{0.4cm}U, N\\ 
      Initialisation :\\ 
      \hspace{0.4cm}Mettre $42$ dans U\\
      \hspace{0.4cm}Mettre $0$ dans N\\ 
      Traitement : \\
      \hspace{0.4cm}Tant que U $< 100$\\ 
      \hspace{0.8cm}U prend la valeur U $\times\: 0,95 + 6$\\
      \hspace{0.8cm}N prend la valeur N $+ 1$\\ 
      \hspace{0.4cm}Fin du Tant que\\ 
      Sortie\\ 
      Afficher N.\\
      \\ \hline
    \end{tabular}

  \end{center} 
\item À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que \np{4000} nouveaux ouvrages par an au lieu des \np{6000} prévus.

On appelle $v_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1\up{er} janvier de l'année $(2013 +n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement. 
\item On admet que $v_{n+1} = v_{n} \times 0,95 + 4$ avec $v_{0} = 42$. 

  On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie, pour tout entier $n$, par $w_{n} = v_{n} - 80$.
  
  Montrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_{0}$. 
\item On admet que, pour tout entier naturel $n : w_{n} = - 38 \times (0,95)^n$. 
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de $\left(w_{n}\right)$. 
  \item En déduire la limite de $\left(v_{n}\right)$. 
  \item Interpréter ce résultat. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}



\hyperlink{top}{retour au tableau}

\newpage

\hypertarget{asiejuin13}{}
\section{Asie juin 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\medskip

Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d'abonnés est constitué de 70\% des abonnés de l'année précédente, auxquels s'ajoutent 210 nouveaux abonnés.

Le nombre d'abonnés en 2010 était de 600.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés en 2011 et 2012.
\item On définit la suite $(u_n)$ par : $u_0 = 600$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,7u_n + 210$.

  On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $(u_n)$.

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
      & \textsf{A} & \textsf{B} \\ \hline
      \textsf{1} & n & u n \\ \hline
      \textsf{2} & 0 & 600 \\ \hline
      \textsf{3} & 1 &  \\ \hline
      \textsf{4} & 2 &  \\ \hline
      \textsf{5} & 3 &  \\ \hline
      \textsf{6} & 4 &  \\ \hline
      \textsf{7} & 5 &  \\ \hline
      \textsf{8} & 6 &  \\ \hline
      \textsf{9} & 7 &  \\ \hline   
    \end{tabularx}
  \end{center}

  Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer $u_1$ ; cette formule \og tirée vers le bas \fg{} dans la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite $(u_n)$.

\item On pose, pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 700$.
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,7.

    Préciser son premier terme.
  \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 700 - 100 \times 0,7^n$.
  \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
  \item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que $u_n \geqslant 697$ est équivalent à $0,7^n \leqslant 0,03$.
  \item Pour résoudre cette inéquation, on utilise l'algorithme suivant :

    \medskip

    \begin{tabular}{|lp{6cm}}
      \textbf{Variables :} & $N$ est un nombre entier naturel\\
      \textbf{Initialisation :} & Affecter à $N$ la Valeur 0 \par Affecter à $U$ la valeur 1 \\
      \textbf{Traitement :} & Tant que $U > 0,03$ \par
      \begin{itemize}
      \item[] Affecter à $N$ la valeur $N + 1$.
      \item[] Affecter à $U$ la valeur $0,7 \times U$.
      \end{itemize}
      Fin du Tant que\\
      \textbf{Sortie :} & Afficher $N$.\\
    \end{tabular}

    \medskip

    Quelle valeur de $N$ obtient-on en sortie ? (On fera tourner l'algorithme).
  \item Retrouvez ce résultat en résolvant l'inéquation $0,7^n \leqslant 0,03$.
  \item En utilisant l'étude précédente de la suite $(u_n)$, déterminer à partir de quelle année le nombre d'abonnés atteindra au moins 697.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{liban13}{}
\section{Liban mai 2013 \hrulefill}


\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n,$

\[ u_{n+1} = 0,9u_{n} + 1,2.\]

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 12$. 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
  \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = 12 - 2 \times  0,9^n$.
  \end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 10\,\% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ; 
\item[$\bullet~$] \np{1200} personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année $2012 + n$. 
\item Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
  
  Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année $2012 + n$. 

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|p{0.3cm}lp{0.3cm}|}\cline{1-3}
      &VARIABLES&\\ 
      &$a, i, n.$&\\ 
      &INITIALISATION& \\
      &Choisir $n$&\\ 
      &$a$ prend la valeur 10&\\ 
      &TRAITEMENT&\\ 
      &Pour $i$ allant de $1$ à $n$,&\\ 
      &$a$ prend la valeur \ldots.&\\
      &~ &\\
      &SORTIE &\\
      &Afficher $a$&\\ \cline{1-3}
    \end{tabularx}
  \end{center} 

\item
  \begin{enumerate}
  \item Résoudre l'inéquation $12 - 2 \times 0,9^n > 11,5$. 
  \item En donner une interprétation. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{francejuin13}{}
\section{Métropole juin 2013 \hrulefill}


\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Un industriel étudie l'évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu'il l'a achetée, elle pouvait produire \np{120000}~jouets par an.

Du fait de l'usure de la machine, la production diminue de 2\,\% par an. 

On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l'année $(2000 + n)$ par une suite $\left(U_{n}\right)$. On a donc $U_{0} = \np{120000}$.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n :\: U_{n} = \np{120000} \times 0,98^n$. 
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ? 
  \item Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à \np{100000}. 
  \item Cet industriel décide qu'il changera la machine lorsqu'elle produira moins de \np{90000}~jouets par an. 

    Recopier et compléter les lignes 8 et 9 de l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_{n}~<~\np{90000}$.

    \medskip

    \begin{tabular}{l|l l} 
      1& \textbf{Variables :} &A est un réel\\ 
      2 &&$n$ est un entier naturel\\ 
      3 &&\\
      4 &\textbf{Initialisation :}& Affecter à $A$ la valeur \np{120000}\\ 
      5 &&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ 
      6&&\\ 
      7 &\textbf{Traitement :}& Tant que $A \geqslant  \np{90000}$\\ 
      8&& \hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur \ldots\\ 
      9&& \hspace{0,5cm}\ldots\\ 
      10& &Fin Tant que\\ 
      11&&\\ 
      12 &\textbf{Sortie :}& Afficher $n$\\
    \end{tabular}
    
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer $1 + 0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n$ en fonction de $n$. 
  \item On pose $S_{n} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \cdots	+ U_{n}$. 
    
    Montrer que $S_{n} = \np{6000000} \times \left(1 - 0,98^{n+1}\right)$. 
  \item En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les $15$~premières années de production.
  \end{enumerate} 
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{poly13}{}
\section{Polynésie juin 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\medskip

La production des perles de culture de Tahiti est une activité  économique importante  pour la Polynésie Française.

Les montants réalisés à l'exportation des produits perliers de 2008 à 2011  sont donnés dans le tableau suivant,  en milliers d'euros  :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
  Années & 2008 &	2009 &	2010 &  2011 \\ \hline
  Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d'euros) & \np{81295} & \np{66052} & \np{64690} & \np{63182}\\ \hline
  \multicolumn {5}{r}{\scriptsize{\textsf{Source :  ISPF ((Institut de Statistiques de Polynésie  Française)}}} \\
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Montrer  que le taux d'évolution  annuel moyen  des montants  à l'exportation  des produits perliers  de Polynésie  entre 2008  et 2011  est  $-  8,06\%$ arrondi au centième.
\end{enumerate}

\emph{On admet  pour la suite de l'exercice,  que la production continuera  à baisser  de  8\% par an à partir de 2011}.

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
\item On considère  l'algorithme suivant  :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{m{3cm}|X|}	\cline{2-2}
    \textsf {\textbf{Entrée}} & Saisir un nombre positif P  \\ 	\cline{2-2}
    \textsf {\textbf{Traitement :}} & Affecter  la valeur 0 à la variable  N \hfill\{initialisation\}\\
    & Affecter la valeur \np{63182} à  U \hfill\{initialisation\} 

    \medskip

    Tant que $\mathrm{U} > \mathrm{P}$ 
    \begin{itemize}
    \item[] Affecter la valeur N + 1 à N
    \item[] Affecter la valeur $0,92 \times \mathrm{U}$ à $\mathrm{U}$  
    \end{itemize}
    Fin de Tant que

    \medskip
    Affecter la valeur N + 2011 à N \\ \cline{2-2}
    \textsf {\textbf{Sortie}} & Afficher N  \\ 	\cline{2-2}

  \end{tabularx}

  \medskip

  Si on saisit $\mathrm{P} = 50~000$ en entrée,  qu'obtient-on  en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte  de la production  de perles.

\item Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation  par une
  suite $\left( u_n \right)$. On note $u_0$ le montant en 2011,  en milliers d'euros,  et $u_n$ le montant  en $2011+n$, en milliers
  d'euros. On a donc  $u_0 =63~182$ et on suppose  que la valeur baisse  tous les ans de 8\%.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer  que $\left( u_n \right)$ est une suite géométrique  dont on précisera la raison.
  \item Exprimer,  pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction  de $n$.
  \item Avec ce modèle, quel montant  peut-on prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira  le résultat  au millier d'euros.
  \end{enumerate}
\item Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés  que l'on peut prévoir  avec ce modèle à partir de 2011 (comprise)  jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{pondi13}{}
\section{Pondichery avril 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Le 1\up{er} janvier 2000, un client a placé \np{3000}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de 2,5\,\%. 

On note $C_{n}$ le  capital du client au 1\up{er} janvier de l'année $2000 + n$, où $n$ est un entier naturel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$. Arrondir les résultats au centime d'euro. 
\item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation : 

  \[C_{n} = \np{3000} \times 1,025^n.\]
  
\item On donne l'algorithme suivant :

  \begin{center}
    \begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2} 
      \textbf{Entrée}& Saisir un nombre $S$ supérieur à \np{3000}\\ \cline{2-2} 
      \textbf{Traitement}& Affecter à $n$ la valeur $0$.\quad \emph{Initialisation} \\
      &Affecter à $U$ la valeur \np{3000} \quad \emph{Initialisation} \\
      &\\
      &Tant que $U \leqslant S$\\ 
      &\qquad $n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
      &\qquad $U$ prend la valeur $U \times 1,025$\\ 
      &Fin tant que\\ \cline{2-2}  
      \textbf{Sortie}&Afficher le nombre $2000 + n$\\\cline{2-2} 
    \end{tabular}
  \end{center}
  
  \begin{enumerate}
  \item Pour la valeur $S = \np{3300}$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.
    
    \medskip
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-5}		 
      Valeur de $n$& $0$& $1$&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5} 
      Valeur de $U$& \np{3000}&&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
      Condition $U \leqslant S$ &vrai&&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5} 
    \end{tabularx}

    \medskip
  \item En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $S$ saisie est \np{3300}. 
  \item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $S$ supérieur à \np{3000}.
  \end{enumerate}  
\item Au 1\up{er} janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de \np{5000}~\euro. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date. 
\item  Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1\up{er} janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par $10$.
\end{enumerate} 


\hyperlink{top}{retour au tableau}


\newpage

\hypertarget{etranger13}{}
\section{Centres étrangers juin 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5\,\% de la population quitte la ville et \np{1200} personnes s'y installent.

En 2012, la ville comptait \np{40000} habitants.

On note $U_n$ le nombre d'habitants de la ville en l'année $2012 + n$.

On a donc $U_0 = \np{40000}$.

On admet que la suite $\left( U_n \right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n+1} = 0,875 \times U_n + \np{1200}$.

On considère la suite $\left( V_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - \np{9600}$.

\medskip

\emph{Les questions numérotées de $1$ à $5$ de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $U_1$ est : 

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} \np{6200} & \textbf{b.~~} \np{35000} &\textbf{c.~~} \np{36200} &\textbf{d.~~} \np{46200} \\
  \end{tabularx}

  \medskip

\item La suite $\left( V_n \right)$ est :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
    \textbf{a.~~}   géométrique de raison $-12,5 \%$ &\textbf{c.~~} géométrique de raison $-0,875$\\ 
    \textbf{b.~~} géométrique de raison $0,875$ & \textbf{d.~~} arithmétique de raison $-\np{9600}$\\
  \end{tabularx}

  \medskip
  
\item La suite $\left( U_n \right)$ a pour limite : 

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} $+\infty$ 	&\textbf{b.~~} $0$ &\textbf{c.~~} $\np{1200}$ &\textbf{d.~~} $\np{9600}$
  \end{tabularx}

  \medskip
  
\item  On considère  l'algorithme suivant  :

  \begin{center}
    \framebox [7.5cm]{\begin{minipage}{7cm} 

        \textsf {\textsc{variables} :}

        \setlength\parindent{5mm}
        $U$, $N$
        \setlength\parindent{0mm}

        \textsf {\textsc{initialisation} :}

        \setlength\parindent{5mm}
        $U$ prend la valeur \np{40000}

        $N$ prend la valeur 0
        \setlength\parindent{0mm}

        \textsf {\textsc{traitement} :}

        \setlength\parindent{5mm}
        Tant que  $U> \np{10000}$

        \begin{itemize}
        \item[] $N$ prend la valeur $N+ 1$
        \item[] $U$ prend la valeur $0,875 \times  U + \np{1200}$
        \end{itemize}

        Fin du Tant que
        \setlength\parindent{0mm}

        \textsf {\textsc{sortie} :}

        \setlength\parindent{5mm}
        Afficher $N$
        \setlength\parindent{0mm}

      \end{minipage}}
  \end{center} 

  Cet algorithme permet d'obtenir :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
    \textbf{a.~~}   la valeur de  $U_{\np{40000}}$ &\textbf{c.~~} le plus petit rang $n$ pour lequel on a  $U_n \leqslant \np{10000}$\\ 
    \textbf{b.~~} toutes les valeurs de $U_0$ à $U_N$ & \textbf{d.~~} le nombre de termes inférieurs à \np{1200}\\
  \end{tabularx}

  \medskip
  
\item La valeur affichée est  :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} $33$ 	&\textbf{b.~~} $34$ &\textbf{c.~~} $\np{9600}$ &\textbf{d.~~} $\np{9970,8}$\\
  \end{tabularx}
  \medskip 
\end{enumerate}


\hyperlink{top}{retour au tableau}





% \nettoyer
\end{document}

