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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STL Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}  {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL France  juin 2002~\decofourright\\ Physique de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} 

\medskip

\parbox[l]{0.65\textwidth}{Un condensateur de capacité $C$ est associé en série avec une bobine d'inductance $L$.
Les tensions aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine à l'instant $t$ exprimé en secondes sont respectivement notées $u_{C}(t)$ et $U_{L}(t)$.
On désigne par $i(t)$ l'intensité du courant à l'instant $t$.} \hfill
\parbox[l]{0.3\textwidth}{\begin{pspicture}(3,2.5)
\psline(0,0.5)(0,1.8)
\psline(3,1.8)(3,0.5)
\psline{->}(3,1.8)(3,1.15)
\pnode(0,0.5){A} \pnode(0,1.8){B}
\pnode(3,0.5){C} \pnode(3,1.8){D}
\capacitor(A)(C){$C$}
\coil[dipolestyle=curved](B)(D){$L$}
\psline{->}(0.7,-0.2)(2.1,-0.2)
\psline{->}(1.9,2.3)(0.5,2.3)
\uput[d](1.4,-0.2){$u_C$}
\uput[r](3,1.45){$i$} \uput[u](1.2,2.3){$u_L$} 
\end{pspicture}}

À chaque instant, on a :	

\[i(t) = Cu'_C(t) \quad  \text{et} \quad u_L(t) = Li'(t).\]

On admet que la tension $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+ 
\infty[$ de l'équation
différentielle

\[u''_C(t) + \dfrac{u_C(t)}{LC} = 0.\qquad 	(\text{E})\]

On prendra $C = 16 \times 10^{-6}$ F (farads) et $L = 1$ H (henry).

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E).

\item Le condensateur est initialement chargé sous une tension de 15 V (volts) et, à cet instant initial, l'intensité du courant est nulle. Ceci se traduit par les deux conditions initiales

\[u_C(0) = 15 \qquad  \text{et} \qquad  u(0) = 0.\]

Montrer alors que la solution $u$ correspondante s'écrit : $u_C(t) = 15 
\cos \omega t$, où $\omega$ est un réel positif dont on précisera la valeur.
\item Soit $I_m$ la valeur moyenne de la fonction $i$ entre les instants $t_0 = 0$ et $t_1 = \dfrac{\pi}{\omega}$.

Montrer que $I_m = - \dfrac{0,12}{\pi}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation (E)
d'inconnue $z$ :

\[z^2+2z\sqrt{3} + 4 = 0.\qquad	(\text{E})\]

On notera :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~] $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive ;
\item[$\bullet$~] $z_{2}$ la solution dont la partie imaginaire est négative.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Écrire les complexes $z_{1},~z_{2},~z_{1}^2$ et $z_{2}^2$ sous forme trigonométrique.
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{1},~z_{2},~z_{1}^2$ et $z_{2}^2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer, très précisément, les points A, B, C et D (on se servira des résultats de la question \textbf{2.}).
		\item Démontrer que le triangle AOD est un triangle rectangle.
		\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur 
l'intervalle $]0~;~2[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{(x - 2)^2}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal
\Oij.

Unités graphiques : 5 cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'intervalle ]0 ; 2[ l'équation : $1 + 2 \ln x = 0$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle ]0 ; 2[ par :

\[g(x) = x - 2 - 2x\ln x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe sur l'intervalle ]0 ; 2[.
		\item Démontrer que la fonction $g$ admet en 
$\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ un maximum égal à $\dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}} - 2$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~2[.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Étude et représentation graphique de la 
fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle ]0~;~2[. En déduire l'existence de deux asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0 ; 2[ :

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x(x - 2)^3}.\]

		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur 
l'intervalle ]0~;~2[.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
		\item Tracer T et $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit la fonction $F$ définie sur l'intervalle ]0 ; 2[ par :

\[F(x) = \dfrac{\ln x}{2 - x} + \dfrac{1}{2}\left[\ln (2 - x) - \ln 
x\right].\]

Déterminer sa fonction dérivée $F'$.
\item On appelle $\mathcal{S}$ l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équations $x = 1$ et $x = \dfrac{3}{2}$.

Calculer la valeur exacte de $\mathcal{S}$ puis la valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}
\end{document}