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\chapter{Académie de Besançon}

\begin{Enonce}{Pliages}
  \grascoll{L'objectif de cet exercice est d'utiliser un ou plusieurs
  pliages pour diviser un segment sans les outils traditionnels de géométrie.}


\Partie{PARTIE A --- Diviser un segment en trois}

On considère une feuille de papier de forme carrée. On utilise le
côté du carré comme unité de longueur. 

On nomme  $[AB]$ le côté supérieur du carré. On a donc  $AB = 1$.

Par un premier pliage, on obtient le milieu $ I$ de
$[AB]$. On plie ensuite la feuille afin de positionner le
sommet situé en bas à gauche sur le point $ I$. On obtient
alors la figure ci-dessous qui contient les points $ M$ et
$N$ obtenus par ce pliage.

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=0.5,inner sep=0pt,outer sep=0pt,label
    distance=2pt]
    \path[use as bounding box](0,2) rectangle (20,20) ;
    \node[label=135:$A$] (A) at (0,20) {} ;
    \node[label=45:$B$] (B) at (20,20) {} ;
    \node[label=90:$I$] (I) at (10,20) {} ;
    \node[label=180:$M$] (M) at (0,15) {} ;
    \node[label=0:$N$] (N) at (20,20-100/7.5) {};
    \path [name path=fond] (M) -- (A) -- (B) -- (N) --++(0,-10)   ;
    \path [name path=dessus] (M) -- (I) --++(-53.1301:20)
    --++(-143.1301:10) ;
    \filldraw[fill=colLogo!5,draw=colLogo!50] (0,15) --(0,20) --(20,20)
    --(20,20-100/7.5) --(0,15)--cycle ;
    \filldraw[
    fill=colLogo!10,
    draw=colLogo!50,
    name intersections={of=fond and dessus},
    ] (I)--++(-53.1301:20)--(intersection-1)--(0,15)--(10,20) ;
    \draw [<->,>=stealth,shift={(-1,0)},outer sep=2pt] (0,15) to [edge
    label =$h$]  (0,20) ;
    \draw (5.1,20) --++(45:0.25) --++(225:0.5) ;
    \draw[shift={(-0.2,0)}] (5,20) --++(45:0.25) --++(225:0.5) ;
    \draw (15.1,20) --++(45:0.25) --++(225:0.5) ;
    \draw[shift={(-0.2,0)}] (15,20) --++(45:0.25) --++(225:0.5) ;

  \end{tikzpicture}
  \caption{ }
  \label{fig_Be19_01}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item En considérant le triangle $AIM$ obtenu par pliage, calculer la
  valeur exacte de la longueur $h$ du segment $[AM]$.
\item Que peut-on dire des angles $\widehat {AIM}$ et $\widehat {BIN}$
  ? Qu'en déduit-on pour les angles $\widehat {AIM}$ et
  $\widehat {BNI}$ ?
\item Montrer alors que:
  \begin{equation*}
    \frac{AM}{AI} =\frac{IB}{BN}
  \end{equation*}
\item En déduire que ${BN}=\frac{2}{3}$.
\item Expliquer en quoi ce pliage permet de diviser un segment en
  trois parties égales.
\end{enumerate}

\Partie{PARTIE B -- Cas général}

On réalise maintenant le même pliage mais avec un point  $I$ appartenant à  $[AB]$ tel que 
$AI=x$.

On gardera les mêmes notations pour les points  $ M$ et  $ N$ obtenus
ainsi que pour la longueur  $h$ du segment  $[AM]$.


\begin{enumerate}
\item Montrer que $h=\frac{1-x^2}{2}$.
\item Montrer alors que ${BN}=\frac{2x}{1+x}$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $BN$ pour $x=\frac{1}{6}$
  \item Quel algorithme de pliages peut-on imaginer pour diviser un
    segment en $7$ parties égales ?
  \item Peut-on utiliser ces techniques de pliage pour diviser un
    segment en $5$ ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
\Partie{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Le triangle $AMI$ est rectangle en $A$, donc d'après Pythagore,
  $MI^2 = AM^2 + IM^2$, Soit $(1-h)^2 = h^2 +\frac{1}{4}$. On en
  déduit que $ 1-2h + h^2 = h^2 + \frac{1}{4}$. D'où $ 4h =
  \frac{3}{4}$ et donc $ h = \frac{3}{8}$.
\item Les angles $\widehat{AIM}$ et $\widehat{BIN}$ sont
  complémentaires, leur somme vaut $\ang{90}$. On en déduit que les
  angles $\widehat{AMI} $ et $\widehat{BNI}$ sont eux aussi
  complémentaires.

  Les triangles $AIM$ et $BNI$ sont donc semblables.

  On peut bien sûr utiliser la trigonométrie dans les triangles semblables.
\item On en déduit que $ \frac{AI}{BN} = \frac{AM}{BI}$, et donc après
  un produit en croix : $\frac{AM}{AI} = \frac{IB}{BN}$.
\item Donc, $BN = \frac{AI \times IB}{AM} = \frac{1}{4} \times
  \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$.
\item Le côté contenant, $BN$ est coupé en $\frac{2}{3}$ et $\frac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\Partie{Partie B}
\begin{enumerate}
\item On a donc $ h^2 + x^2 = (1-h) ^2$, soit $ h = \frac{1-x^2}{2}$.
\item Toujours les triangles semblables $AIM$ et $BNI$, on a :
  \[
    \frac{AI}{AM} = \frac{BN}{BI}, \text{ soit } BN = \frac{AI \times
    BI}{AM} = \frac{2x(1-x)}{1-x^2} = \frac{2x}{1+x}.
  \]
\item Si $x = \frac{1}{6}$, alors $BN =
  \frac{\frac{2}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{2}{7}$.
\item On commence par faire la moitié, puis on applique l'algorithme
  précédant pour trouver le tiers de cette moitié, soit
  $\frac{1}{6}$. Puis, on applique l'algorithme, pour trouver
  $\frac{2}{7}$, on coupe ensuite en $2$ pour trouver $\frac{1}{7}$.
\item On cherche $x$ tel que $ \frac{2x}{1+x} = \frac{2}{5}$, soit $x
  = \frac{1}{4}$. On applique alors l'algorithme, puis, on recoupe en
  deux pour avoir $\frac{1}{5}$.
\end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}

\begin{Enonce}{Jours de révision}
  Trois amies souhaitent profiter des $10$ jours précédant les
  Olympiades de Mathématiques pour réviser. Elles décident d'organiser
  leurs journées de révision différemment.

  \begin{enumerate}
  \item Anissa décide d'alterner jour de révision et jour de repos,
    c'est-à-dire qu'un jour de révision est toujours suivi d'un jour
    de repos qui, lui-même, est toujours suivi d'un jour de révision.

    De combien de façons Anissa peut-elle organiser ses 10 jours de
    révision ?
    \item Blandine, au gré de son humeur, choisit chaque jour de
    réviser ou non, sans se soucier de ce qu'elle a fait les jours
    précédents.

    De combien de façons Blandine peut-elle organiser ses 10 jours de
    révision ?

    \item Craignant d'être trop fatiguée le jour J, Carla, quant
    à elle, s'interdit de réviser deux jours de suite. À partir de
    cette unique règle, tout est possible : elle peut ne jamais
    réviser mais aussi réviser tous les jours pairs {\dots}

    De combien de façons Carla peut-elle organiser ses 10 jours de
    révision ?
  \end{enumerate}
  \begin{Corrige}
    \begin{enumerate}
    \item Pour Annissa, il n'y a que deux possibilités suivant qu'elle
      révise le premier jour ou pas.
    \item Pour Blandine, chaque jour, il y a deux possibilités. Donc
      au bout de 10 jours, il y a $2^{10} = 1024$ possibilités.
    \item Pour Carla, faisons un arbre, $R$ note la révision,
      $\bar{R}$ note l'absence de révision.

      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[grow=east,
          level 1/.style={sibling distance=6em},
          level 2/.style={sibling distance=4.5em},
          level 3/.style={sibling distance=3em},
          level 4/.style={sibling distance=1em}
          ]
          \node {\textbullet}
          child{ node {$R$}
            child { node {$\bar{R}$}
              child{node {$R$}
                child{node{$\bar{R}$}}
              }
              child {node {$\bar{R}$}
                child{node {$R$}}
                child {node {$\bar{R}$}}
              }
            }
          }
          child{ node {$\bar{R}$}
            child{node {$R$}
              child{node {$\bar{R}$}
                child{node {$R$}}
                child {node {$\bar{R}$}}
              }
            }
            child {node {$\bar{R}$}
              child{node {$R$}
                child{node {$\bar{R}$}}}
              child {node {$\bar{R}$}
                child{node {$R$}}
                child {node {$\bar{R}$}}
              }
            }
          }
          ;
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Be17_01C}
      \end{figure}
      Chaque $R$ engendre un $\bar{R}$ et chaque $\bar{R}$ engendre un
      $R$ et un $\bar{R}$.

      Notons $U_n$ le nombre de $R$ et $V_n$ le nombre de $\bar{R}$.
      On a :
      \begin{itemize}
      \item $U_1 = V_1 = 1$ ;
      \item $U_2 = V_1 = 1$ et $V_2 = U_1 + V_1 = 2$ ;
      \item $U_3 = V_2 = 2 $ et $V_3 = U_2 + V_2 = 3 $ ;
      \item $U_4 = V_3 = 3$ et $V_3 = U_3 + V_3 = 5$ ;
      \item $U_5 = 5$ et $V_5 = 8$ ;
      \item $U_6 = 8$ et $V_6 = 13$ ;
      \item $U_7 = 13$ et $V_7 = 21$ ;
      \item $U_8 = 21$ et $V_8 = 34$ ;
      \item $U_9 = 34$ et $V_9 = 55$ ;
      \item $U_{10} = 55$ et $V_{10} = 89$.
      \end{itemize}
      On a reconnu la suite de Fibonacci.

      Au bout de $10$ jours, il y a donc $U_{10} + V_{10}$ façons de
      s'organiser, soit $144$ façons de s'organiser.
    \end{enumerate}
  \end{Corrige}
\end{Enonce}
%%% Local Variables:
%%% TeX-master: "olymp"
%%% End:
