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\chapter{Académie de Bordeaux}

\begin{Enonce}[Logique et génétique]{}
  \def\carteGen#1%
  {%
    \def\liste{#1}
    \StrBetween{\liste}{(}{)}[\forme]
    \StrBetween[2,2]{\liste}{(}{)}[\cheveux]
    \StrBetween[3,3]{\liste}{(}{)}[\yeux]
    \StrBetween[4,4]{\liste}{(}{)}[\bras]
    \StrBetween[5,5]{\liste}{(}{)}[\jambe]
    \StrBehind[5]{\liste}{)}[\nom]
    \begin{tikzpicture}[color=colLogo,font=\sffamily\bfseries\Large]
      \draw[colLogo,line width=1pt] (0,0) grid (2,5) ;
      \node at (0.5,4.5) {\StrBefore{\forme}{,}} ;
      \node at (1.5,4.5) {\StrBehind{\forme}{,}} ;
      \node at (0.5,3.5) {\StrBefore{\cheveux}{,}} ;
      \node at (1.5,3.5) {\StrBehind{\cheveux}{,}} ;
      \node at (0.5,2.5) {\StrBefore{\yeux}{,}} ;
      \node at (1.5,2.5) {\StrBehind{\yeux}{,}} ;
      \node at (0.5,1.5) {\StrBefore{\bras}{,}} ;
      \node at (1.5,1.5) {\StrBehind{\bras}{,}} ;
      \node at (0.5,0.5) {\StrBefore{\jambe}{,}} ;
      \node at (1.5,0.5) {\StrBehind{\jambe}{,}} ;
      \node at (1.0,-.5) {\nom} ;
      \draw[line width=1pt] (0,0) --(0,-1) --(2,-1) --(2,0) ;
    \end{tikzpicture}
  }%

  
  Dans ce jeu, les personnages créés sont de forme ronde ou carrée,
  sont chauves ou pas, ont des yeux noirs, gris ou blancs. Pour les
  bras, $4$ cas sont possibles (pas de bras, uniquement le bras droit,
  uniquement le bras gauche, ou les $2$ bras). Il en est de même pour
  les jambes.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[line width=1pt,draw=colLogo,scale=0.75]
      \path[use as bounding box] (-2.3,-2.3) rectangle (2.3,2) ;
      \draw[rotate=-75] (0,0) -- (2.3,0) --++(90:0.3) ;
      \draw[rotate=175] (0,0) -- (2.3,0) --++(180:0.3)--++(25:0.3)--++(25:-0.3)--++(-25:0.3) ;
      \filldraw[draw=colLogo,fill=white] (0,0) circle (1) ;
      \draw[shift={(-0.41,0.45)}] (0,0) circle (0.3) ;
      \draw[shift={(0.41,0.45)}] (0,0) circle (0.3) ;
    \end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}[line width=1pt,draw=colLogo,scale=0.75]
      \path[use as bounding box] (-2.3,-2.3) rectangle (2.3,2) ;
      % Jambes
      \draw[rotate=-75] (0,0) -- (2.3,0) --++(90:0.3) ;
      \draw[rotate=-105] (0,0) -- (2.3,0) --++(270:0.3) ;
      \draw[shift={(0,1)}] (0,0)--++(45:0.5)--++(45:-0.5)--++(90:0.5)--++(90:-0.5)--++(135:0.5) ;
      \filldraw[draw=colLogo,fill=white] (-1,-1) rectangle (1,1) ;
      \draw[shift={(-0.41,0.45)},fill=colLogo] (0,0) circle (0.3) ;
      \draw[shift={(0.41,0.45)},fill=colLogo] (0,0) circle (0.3) ;
    \end{tikzpicture}
    \begin{tikzpicture}[line width=1pt,draw=colLogo,scale=0.75]
      \path[use as bounding box] (-2.3,-2.3) rectangle (2.3,2) ;
      \filldraw[draw=colLogo,fill=white] (0,0) circle (1) ;
      \draw[shift={(-0.41,0.45)},fill=colLogo!25] (0,0) circle (0.3) ;
      \draw[shift={(0.41,0.45)},fill=colLogo!25] (0,0) circle (0.3) ;
    \end{tikzpicture}

    \caption{}
    \label{fig_Bo_19A}
  \end{figure}

  Sur le schéma de la figure \ref{fig_Bo_19A}, le premier personnage
  est rond, chauve, a les yeux blancs, le bras droit et la jambe
  gauche.

  Le 2\ieme{} personnage est carré, chevelu, a les yeux noirs, n'a pas
  de bras et a deux jambes. Le 3\ieme{} personnage est rond, chauve, a
  les yeux gris et n'a ni bras, ni jambe.

  \begin{enumerate}
  \item Combien peut-on créer de personnages différents dans ce jeu ?
    
  \item Ces personnages sont créés à partir d'un logiciel qui remplit
    un tableau comprenant $2$ colonnes de $5$ cases, chaque case contenant
    soit un $1$, soit un $0$ avec la même probabilité $\frac{1}{2}$. Ce
    tableau est appelé la carte génétique du personnage.
    \begin{enumerate}
    \item Combien de cartes génétiques différentes peut-on remplir ?
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \carteGen{(1,0)(0,0)(1,1)(0,1)(1,0)A}%
        \hspace*{2ex}
        \carteGen{(0,1)(1,0)(0,1)(0,0)(1,1)B}%
        \caption{Cartes génétiques}
        \label{fig_Bo19_01A}
      \end{figure}
      \begin{itemize}
      \item La première ligne de 2 cases correspond à la forme, la
        2\ieme{} aux cheveux, la 3\ieme{} aux yeux, la 4\ieme{} aux
        bras et la 5\ieme{} aux jambes. 
      \item Pour que la forme du corps
        soit carrée il faut et il suffit que les deux cases de la
        première ligne contiennent des zéros. Dans les autres cas la
        forme du corps est ronde. On dit que la forme ronde est
        dominante.
      \item Il en est de même à la 2\ieme{} ligne où le caractère chauve
        est dominant.
      \item Pour le caractère des yeux, $(1,1)$ donne des yeux noirs,
        $(1,0)$ ou $(0,1)$ donne des yeux gris et $(0,0)$ donne des
        yeux blancs.
      \item Pour les bras $(1,1)$ donne $2$ bras, $(1,0)$ donne le
        bras gauche, $(0,1)$ donne le bras droit et $(0,0)$ donne
        aucun bras. Il en est de même pour les jambes.
      \end{itemize}
    \item Dessiner les deux personnages A et B correspondant aux
      cartes \ref{fig_Bo19_01A}.

    \item Donner une carte différente de celle de A et donnant
      cependant un jumeau de A c'est-à-dire un personnage visuellement
      identique à A.
    \item Un personnage étant créé au hasard, quelle est la
      probabilité que ce soit un jumeau de A ?  de B ?
    \end{enumerate}
  \item Dans ce jeu, pour construire d'autres personnages, on
  peut connecter un couple (X, Y) de personnages
  déjà construits. La carte génétique du personnage Z issu de la
  connexion (X, Y) est obtenue de la manière suivante : la colonne de
  gauche est obtenue à partir de la carte de X en choisissant, pour
  chacun des cinq caractères, au hasard (avec la probabilité
  $\nicefrac{1}{2}$) le contenu de l'une des deux cases correspondant à ce
  caractère. Il en est de même pour la colonne de droite à partir de
  la carte de Y.
  
  \begin{figure}[!h]
    \centering 
    \carteGen{(0, )( ,0)( ,0)(0, )( ,1)X}
    \hspace*{1ex}
    \carteGen{( ,1)( ,0)( , )(0, )(1, )Y}
    \hspace*{1ex}
    \carteGen{( , )( , )( , )( , )( , )Z}
    \label{fig_Bo19_02}
    \caption{ }
  \end{figure}
  \begin{enumerate}
\item La connexion (X, Y) donne-t-elle toujours le
  même résultat que la connexion (Y, X) ?
\item  X et Y sont ronds, X a des cheveux, Y
  est chauve,

  X a les yeux gris, Y les a noirs et ils ont chacun un bras et une
  jambe. Le personnage Z issu de la connexion (X, Y) est représenté
  sur la figure \ref{fig_Bo19_03}.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[line width=1pt,draw=colLogo,scale=0.75]
      \path[use as bounding box] (-2.3,-2.3) rectangle (2.3,2) ;
      \draw[rotate=-75] (0,0) -- (2.3,0) --++(90:0.3) ;
      \draw[rotate=-105] (0,0) -- (2.3,0) --++(270:0.3) ;
      \draw[shift={(0,1)}] (0,0)
      --++(45:0.5)--++(45:-0.5)--++(90:0.5)--++(90:-0.5)--++(135:0.5) ;
      \filldraw[draw=colLogo,fill=white] (-1,-1) rectangle (1,1) ;
      \draw[shift={(-0.41,0.45)},fill=colLogo!25] (0,0) circle (0.3) ;
      \draw[shift={(0.41,0.45)},fill=colLogo!25] (0,0) circle (0.3) ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Bo19_03}
  \end{figure}

  Reproduire et compléter les cartes génétiques des trois personnages
  X, Y et Z.

\item Soit P un personnage issu de la connexion de deux personnages de
  forme ronde créés par le logiciel.

  Quelle est la probabilité que le personnage P soit de forme carrée ?

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
    \def\carteGen#1%
  {%
    \def\liste{#1}
    \StrBetween{\liste}{(}{)}[\forme]
    \StrBetween[2,2]{\liste}{(}{)}[\cheveux]
    \StrBetween[3,3]{\liste}{(}{)}[\yeux]
    \StrBetween[4,4]{\liste}{(}{)}[\bras]
    \StrBetween[5,5]{\liste}{(}{)}[\jambe]
    \StrBehind[5]{\liste}{)}[\nom]
    \begin{tikzpicture}[color=colLogo,font=\sffamily\bfseries\Large]
      \draw[colLogo,line width=1pt] (0,0) grid (2,5) ;
      \node at (0.5,4.5) {\StrBefore{\forme}{,}} ;
      \node at (1.5,4.5) {\StrBehind{\forme}{,}} ;
      \node at (0.5,3.5) {\StrBefore{\cheveux}{,}} ;
      \node at (1.5,3.5) {\StrBehind{\cheveux}{,}} ;
      \node at (0.5,2.5) {\StrBefore{\yeux}{,}} ;
      \node at (1.5,2.5) {\StrBehind{\yeux}{,}} ;
      \node at (0.5,1.5) {\StrBefore{\bras}{,}} ;
      \node at (1.5,1.5) {\StrBehind{\bras}{,}} ;
      \node at (0.5,0.5) {\StrBefore{\jambe}{,}} ;
      \node at (1.5,0.5) {\StrBehind{\jambe}{,}} ;
      \node at (1.0,-.5) {\nom} ;
      \draw[line width=1pt] (0,0) --(0,-1) --(2,-1) --(2,0) ;
    \end{tikzpicture}
  }%
  \begin{enumerate}
  \item Il y a $2 \times 2 \times 3 \times 4 \times 4 = 192$
    possibilités.
  \item Il y a $2$ possibilités à chaque cases et $10$ cases, soit
    $2^{10} = \num{1024}$, possibilités.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item On obtient les deux personnages de la figure
      \ref{fig_Bo_19AC}.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[line width=1pt,draw=colLogo,scale=0.75]
          \path[use as bounding box] (-2.3,-2.3) rectangle (2.3,2) ;
          % corps
          \filldraw[draw=colLogo,fill=white] (0,0) circle (1) ;
          % cheveu
          \draw[shift={(0,1)}]
          (0,0)--++(45:0.5)--++(45:-0.5)--++(90:0.5)--++(90:-0.5)--++(135:0.5)
          ;
          % yeux
          \fill[shift={(-0.41,0.45)},colLogo] (0,0) circle (0.3) ;
          \fill[shift={(0.41,0.45)},colLogo] (0,0) circle (0.3) ;
          % bras
          \draw[rotate=5] (1,0) -- (2.3,0)
          --++(180:0.3)--++(25:0.3)--++(25:-0.3)--++(-25:0.3) ;
          % jambes
          \draw[rotate=-105] (1,0) -- (2.3,0) --++(-90:0.3) ;
        \end{tikzpicture}
        \begin{tikzpicture}[line width=1pt,draw=colLogo,scale=0.75]
          \path[use as bounding box] (-2.3,-2.3) rectangle (2.3,2) ;
          % corps
          \filldraw[draw=colLogo,fill=white] (0,0) circle (1) ;
          % cheveu
          % \draw[shift={(0,1)}]
          % (0,0)--++(45:0.5)--++(45:-0.5)--++(90:0.5)--++(90:-0.5)--++(135:0.5)
          % ;
          % yeux
          \fill[shift={(-0.41,0.45)},colLogo!25] (0,0) circle (0.3) ;
          \fill[shift={(0.41,0.45)},colLogo!25] (0,0) circle (0.3) ;
          % bras
          % \draw[rotate=5] (1,0) -- (2.3,0)
          % --++(180:0.3)--++(25:0.3)--++(25:-0.3)--++(-25:0.3) ;
          % jambes
          \draw[rotate=-105] (1,0) -- (2.3,0) --++(-90:0.3) ;
          \draw[rotate=-75] (1,0) -- (2.3,0) --++(90:0.3) ;
        \end{tikzpicture}
        \caption{}
        \label{fig_Bo_19AC}
      \end{figure}
    \item Par exemple en changeant, la première ligne de $(0,1)$ en
      $(1,0)$.
    \item Seule la première ligne peut donner des jumeaux de A. Il y a
      donc $\frac{3}{\num{1024}}$ d'avoir un jumeau de A.

      Pour un B, il y a trois possibilités pour la forme, $3$ pour les
      cheveux, et $2$ pour les yeux, soit  $\frac{3 \times 3 \times
        2}{\num{1024}} = \frac{18}{\num{1024}}$. 
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Non, car les bras et les jambes ne seront pas du même côté.
    \item
      \begin{itemize}
      \item X et Y sont ronds, donc il y a au moins un $1$. Mais Z est
        carré, donc ils ont chacun un $0$. Z est carré, donc Z hérite
        des deux $0$.
      \item X et Y sont chauves, donc il y au moins un $0$, mais Z est
        chevelu, donc, ils ont chacun un $1$. Z est chevelu, donc Z
        hérite des deux $1$.
      \item Z a les yeux gris, il a donc un $0$ et $1$, comme X. Y a
        deux $1$, puisqu'il a les yeux noirs.
      \item Ils ont un bras, soit un $1$ et un $0$. Z n'a pas de bras,
        il hérite donc des deux $0$.
      \item Ils ont une jambe soit un $1$ et un $0$. Z a deux jambes,
        il hérite donc des deux $1$.  
      \end{itemize}
      
      \begin{figure}[!h]
        \centering 
        \carteGen{(1,0)(1,0)(1,0)(0,1)(0,1)X}
        \hspace*{1ex}
        \carteGen{(0,1)(1,0)(1,1)(0,1)(1,0)Y}
        \hspace*{1ex}
        \carteGen{(0,0)(1,1)(0,1)(0,0)(1,1)Z}
        \label{fig_Bo19_02CaC}
        \caption{ }
      \end{figure}
    \item X et Y ont comme code génétique forme, l'une des trois
      possibilités suivantes : $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Il y a
      donc $9$ possibilités d'avoir une forme ronde pour $X$ et $Y$.

      Les combinaisons pouvant données des carrés sont :
      \begin{itemize}
      \item  $(1,0)$ et $(1,0)$
      \item  $(1,0)$ et $(0,1)$
      \item  $(0,1)$ et $(1,0)$
      \item  $(0,1)$ et $(0,1)$
      \end{itemize}
      Et sur ces quatre combinaisons, il y a $\nicefrac{1}{4}$ d'avoir
      un carré. Donc la probabilité d'avoir un carré est de :
      \[
        \frac{4}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{9}\cdotp
      \]
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}


\begin{Enonce}[Les noirs entourent les gris]{}
  \def\carreC#1
  {
    \filldraw[colLogoTeinte,draw=white] (#1) rectangle +(1,1) ;
  }
  \def\carreF#1
  {
    \filldraw[colLogoFort,draw=white] (#1) rectangle +(1,1) ;
  }
  \def\ligne#1#2
  {
    \StrBefore{#2}{,}[\X]
    \StrBehind{#2}{,}[\Y]
    \carreF{#2} ;
    \foreach \x in {1,2,...,#1}
    {
      \carreC{\X+\x,\Y} ;
    }
    \carreF{\X+#1+1,\Y}
  }

  Sur un quadrillage, un carré gris peut être entouré de $4$ carrés
  noirs (figure \ref{fig_Bo19B_01a}), un bloc de deux carrés gris peut être entouré par $6$
  carrés noirs (figure \ref{fig_Bo19B_01b}), un bloc de trois carrés gris peut être entouré
  par $7$ ou $8$ carrés noirs (figure \ref{fig_Bo19B_01c} et figure \ref{fig_Bo19B_01d}), etc.

  
  \begin{figure}[!h]
    \centering%
    \begin{subfigure}{0.22\linewidth}
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
        \draw[lightgray] (0,0) grid (6,7) ;
        \begin{scope}[shift={(2,3)}]
          \carreC{ 0, 0} ;
          \carreF{-1, 0} ;
          \carreF{ 0,-1} ;
          \carreF{ 1, 0} ;
          \carreF{ 0, 1} ;
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{}
      \label{fig_Bo19B_01a}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}{0.22\linewidth}
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
        \draw[lightgray] (0,0) grid (6,7) ;
        \begin{scope}[shift={(2,3)}]
          \carreC{ 0, 0} ;
          \carreC{ 1, 0} ;
          \carreF{-1, 0} ;
          \carreF{ 0,-1} ;
          \carreF{ 1,-1} ;
          \carreF{ 2, 0} ;
          \carreF{ 0, 1} ;
          \carreF{ 1, 1} ;
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{}
      \label{fig_Bo19B_01b}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}{0.22\linewidth}
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
        \draw[lightgray] (0,0) grid (6,7) ;
        \begin{scope}[shift={(2,3)}]
          \carreC{ 0, 0} ;
          \carreC{ 0, 1} ;
          \carreC{ 0,-1} ;
          \carreF{-1, 0} ;
          \carreF{-1, 1} ;
          \carreF{-1,-1} ;
          \carreF{ 1, 0} ;
          \carreF{ 1, 1} ;
          \carreF{ 1,-1} ;
          \carreF{ 0, 2} ;
          \carreF{ 0, -2} ;
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{}
      \label{fig_Bo19B_01c}
    \end{subfigure}
    \begin{subfigure}{0.22\linewidth}
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.33]
        \draw[lightgray] (0,0) grid (6,7) ;
        \begin{scope}[shift= {(3,3)}]
          \carreC{ 0, 0} ;
          \carreC{-1, 0} ;
          \carreC{ 0,-1} ;
          \carreF{-2, 0} ;
          \carreF{-1,-1} ;
          \carreF{ 0,-2} ;
          \carreF{ 1,-1} ;
          \carreF{ 1, 0} ;
          \carreF{-1, 1} ;
          \carreF{ 0, 1} ;
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{}
      \label{fig_Bo19B_01d}
    \end{subfigure}
    \caption{ }
    \label{fig_Bo_19B_01}
  \end{figure}

  On recherche le nombre maximal de carrés gris entourés par 2019
  carrés noirs.

  Pour tout entier $n \geq 4$, on désigne par $a_n$ le nombre maximal
  de carrés gris entourés par $n$ carrés noirs.

  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer $a_4$, $a_5$ et $a_6$. On justifiera chaque réponse.
    \item Combien faut-il au minimum de carrés noirs pour entourer $4$
      carrés gris ?

      En déduire que $a_7=3$ .
    \end{enumerate}
  \item Soient $n$ et $p$ deux entiers strictement supérieur à $1$. On
    note $C$ une configuration formée de $n$ carrés noirs qui
    entourent un bloc $B$ de taille $p$ c’est-à-dire formé de $p$
    carrés gris.

    On considère les motifs de la figure \ref{fig_Bo19_02B}.
  
    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
          \draw[lightgray] (0,0) grid (7,6) ;
          \begin{scope}[shift={(3,2)}]
            \carreC{0,0} ;
            \carreC{1,1} ;
            \carreC{-1,1}
            \carreF{0,1} ;
            \carreF{-1,2} ;
            \carreF{1,2} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Bo19B_02Ba}
      \end{subfigure}
      \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
          \draw[lightgray] (0,0) grid (7,6) ;
          \begin{scope}[shift={(1,2)}]
            \carreC{1,0} ;
            \carreC{2,0} ;
            \carreC{0,1} ;
            \carreF{1,1} ;
            \carreF{2,1} ;
            \carreC{3,1} ;
            \carreF{0,2} ;
            \carreF{3,2} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Bo19B_02Bb}
      \end{subfigure}
      \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
          \draw[lightgray] (0,0) grid (7,6) ;
          \begin{scope}[shift={(2,2)}]
            \carreC{1,0} ;
            \carreF{0,1} ;
            \carreF{1,1} ;
            \carreF{2,1} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}\hfill
        \caption{ }
        \label{fig_Bo19B_02Bc}
      \end{subfigure}
      \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
          \draw[lightgray] (0,0) grid (7,6) ;
          \begin{scope}[shift={(1,2)}]
            \carreF{0,0} ;
            \carreC{1,0} ;
            \carreC{2,0} ;
            \carreF{1,1} ;
            \carreF{2,1} ;
            \carreC{3,1} ;
            \carreF{3,2} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Bo19B_02Bd}
      \end{subfigure}
      \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
          \draw[lightgray] (0,0) grid (7,6) ;
          \begin{scope}[shift={(1,2)}]
            \carreC{1,0} ;
            \carreC{2,0} ;
            \carreF{3,0} ;
            \carreC{0,1} ;
            \carreF{1,1} ;
            \carreF{2,1} ;
            \carreF{0,2} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Bo19B_02Be}
      \end{subfigure}
      \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
          \draw[lightgray] (0,0) grid (7,6) ;
          \begin{scope}[shift={(1,2)}]
            \carreF{0,0} ;
            \carreC{1,0} ;
            \carreC{2,0} ;
            \carreF{3,0} ;
            \carreF{1,1} ;
            \carreF{2,1} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Bo19B_02Bf}
      \end{subfigure}
      \caption{ }
      \label{fig_Bo19_02B}
    \end{figure}
    \begin{enumerate}
    \item Justifier que si la configuration $C$ contient l’un des
      motifs des figures \ref{fig_Bo19B_02Ba}, \ref{fig_Bo19B_02Bb},
      \ref{fig_Bo19B_02Bc}, \ref{fig_Bo19B_02Bd} ou \ref{fig_Bo19B_02Be}
      alors on peut augmenter la taille du bloc $B$ sans modifier le
      nombre de carrés noirs.
    \item Expliquer pourquoi il en est également ainsi si la
      configuration $C$ contient deux fois le motif de la figure
      \ref{fig_Bo19B_02Bf} ? En déduire que si $p=a_n$, la
      configuration $C$ contient au plus deux séries de deux carrés
      noirs accolés horizontalement.
    \item  Justifier que dans la configuration représentée la figure
      \ref{fig_Bo19_02C}, on peut augmenter le nombre de carrés gris 
      sans modifier le nombre de carrés noirs. 

      En est-il toujours ainsi pour une configuration  $C$ qui
      contient deux séries de deux carrés noirs accolés
      horizontalement. 

      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture} [scale=0.6]
          \draw[lightgray] (0,0) grid (10,9) ;
          \begin{scope}[shift={(1,1)}]
            \carreF{2,0} ;
            \carreF{3,0} ;
            \ligne{2}{1,1} ;
            \ligne{4}{0,2} ;
            \ligne{4}{1,3} ;
            \ligne{4}{2,4} ;
            \ligne{2}{3,5} ;
            \carreF{4,6} ;
            \carreF{5,6} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Bo19_02C}
      \end{figure}
    \end{enumerate}
  \item Soient  $a$ et  $b$ deux entiers strictement positifs. On
    considère deux types de configurations de $n$ carrés noirs de
    côté $1$ notées  $C_1(a,b)$ et  $C_2(a,b)$.
    
    \begin{itemize}
    \item Les $n$ carrés noirs sont placés de façon que leurs centres
      sont situés sur les côtés d’un rectangle de côtés $a\sqrt 2$ et
      $b\sqrt 2$ comme indiqué sur la figure \ref{fig_Bo19B_04a}.
    \item Les $n$ carrés noirs sont placés de façon que leurs centres
      sont situés sur les côtés d’un polygone dont les côtés
      successifs ont pour mesure $1$, $a\sqrt 2$, $b\sqrt 2$, $a\sqrt 2$,
      $1$ et $(b-1)\sqrt 2$ si $b>1$, comme indiqué sur la figure
      \ref{fig_Bo19B_04b}.
    \end{itemize}
    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{subfigure}{0.45\linewidth}
        \centering
        \begin{tikzpicture} [scale=0.5]
          \begin{scope}[shift={(7,1)}]
            \carreF{ 0,0} ;
            \ligne{1}{-1,1} ;
            \ligne{3}{-2,2} ;
            \ligne{5}{-3,3} ;
            \ligne{5}{-4,4} ;
            \ligne{5}{-5,5} ;
            \ligne{5}{-6,6} ;
            \ligne{3}{-5,7} ;
            \ligne{1}{-4,8} ;
            \carreF{-3,9} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{Configuration $C_1(a,b)$}
        \label{fig_Bo19B_04a}
      \end{subfigure}
      \begin{subfigure}{0.45\linewidth}
        \centering 
        \begin{tikzpicture} [scale=0.5]x
          \begin{scope}[shift={(7,1)}]
            \carreF{ 0,0} ;
            \ligne{1}{-1,1} ;
            \ligne{3}{-2,2} ;
            \ligne{5}{-3,3} ;
            \ligne{6}{-4,4} ;
            \ligne{6}{-5,5} ;
            \ligne{6}{-6,6} ;
            \ligne{4}{-5,7} ;
            \ligne{2}{-4,8} ;
            \carreF{-3,9} ;
            \carreF{-2,9} ;
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}
        \caption{Configuration $C_2(a,b)$}
        \label{fig_Bo19B_04b}
      \end{subfigure}
      \caption{ }
      \label{fig_Bo19B_04}
    \end{figure}
    \begin{enumerate}
    \item Soit $p$ le nombre de carrés gris entourés par les $n$
      carrés noirs dans la configuration $C_1(a,b)$.

      Justifier que $n=2a+2b$ et démontrer que
      $p=ab+(a-1)(b-1)$
      
    \item Soit $q$ le nombre de carrés gris entourés par les $n$
      carrés noirs dans la configuration $C_2(a,b)$.

      Justifier qu’en supprimant un carré noir, on peut se ramener à
      la configuration $C_1(a,b)$.

      En déduire que $n=2a+2b+1$ et $q=a(n-2-2a)$.
    \end{enumerate}
  \item On admet que si $n$ est un entier impair alors le nombre
    maximum $a_n$ de carrés gris est obtenu avec une configuration
    $C_2(a,b)$ où $a$ et $b$ sont deux entiers strictement positifs.
      
    Calculer  $a_{2019}$. 

    (On pourra s’intéresser aux variations de la fonction définie
    sur $\R$ par $f\left(x\right)=-2x^2+2017x$ ). 
  \end{enumerate}
  \begin{Corrige}
    \def\carreC#1
    {
      \filldraw[colLogoTeinte,draw=white] (#1) rectangle +(1,1) ;
    }
    \def\carreF#1
    {
      \filldraw[colLogoFort,draw=white] (#1) rectangle +(1,1) ;
    }
    \def\ligne#1#2
    {
      \StrBefore{#2}{,}[\X]
      \StrBehind{#2}{,}[\Y]
      \carreF{#2} ;
      \foreach \x in {1,2,...,#1}
      {
        \carreC{\X+\x,\Y} ;
      }
      \carreF{\X+#1+1,\Y}
    }
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $a_4 = 1$, $a_5 = 1$, $a_6 = 2$, $a_7 \geq 3$.
      \item Pour entourer $4$ carrés clairs, on a les cas de la
        figure \ref{fig_Bo_19B_01_C}.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \begin{tikzpicture}[scale=0.25]
            \begin{scope}% carre
              \carreC {0,0} ; \carreC {1,0} ; \carreC {1,1} ;
              \carreC {0,1} ; \carreF {0,-1} ; \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,1} ; \carreF {2,0} ; \carreF {0,2} ;
              \carreF {1,2} ; \carreF {-1,1} ; \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}
            \begin{scope} [shift={(5,0)}]% L
              \carreC {0,0} ;
              \carreC {1,0} ;
              \carreC {2,0} ;
              \carreC {2,1} ;
              \carreF {0,-1} ;
              \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,-1} ;
              \carreF {3,0} ;
              \carreF {3,1} ;
              \carreF {2,2} ;
              \carreF {1,1} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}                   %  *
            \begin{scope} [shift={(12,0)}]% ***
              \carreC {0,0} ;
              \carreC {1,0} ;
              \carreC {2,0} ;
              \carreC {1,1} ;
              \carreF {0,-1} ;
              \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,-1} ;
              \carreF {3,0} ;
              \carreF {2,1} ;
              \carreF {1,2} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}
            \begin{scope} [shift={(18,0)}]% barre
              \carreC {0,0} ;
              \carreC {1,0} ;
              \carreC {2,0} ;
              \carreC {3,0} ;
              \carreF {0,-1} ;
              \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,-1} ;
              \carreF {3,-1} ;
              \carreF {4,0} ;
              \carreF {3,1} ;
              \carreF {2,1} ;
              \carreF {1,1} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}
            \begin{scope} [shift={(25,0)}]%s
              \carreC {0,0} ;
              \carreC {1,0} ;
              \carreC {1,1} ;
              \carreC {2,1} ;
              \carreF {0,-1} ;
              \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,0} ;
              \carreF {3,1} ;
              \carreF {1,2} ;
              \carreF {2,2} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}
          \end{tikzpicture}
          \caption{ }
          \label{fig_Bo_19B_01_C}
        \end{figure}
        Il y a donc au minimum $8$ carrés foncés qui encadrent $4$
        carrés clairs.

        Comme $a_8 \geq 4$, on en déduit que $a_7 < 4$
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item La figure \ref{fig_Bo19B_02_C} donne les transformations
        qui permettent de gagner un clair sans changer le nombre de foncés.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreC{0,0} ;
                \carreC{1,1} ;
                \carreC{-1,1}
                \carreF{0,1} ;
                \carreF{-1,2} ;
                \carreF{1,2} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (3,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(5,0)}]
                \carreC{0,0} ;
                \carreC{1,1} ;
                \carreC{-1,1} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{0,2} ;
                \carreF{-1,2} ;
                \carreF{1,2} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_aC}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
                \carreC{3,1} ;
                \carreF{0,2} ;
                \carreF{3,2} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (5,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(6,0)}]
                \carreC{1,1} ;
                \carreC{2,1} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{1,2} ;
                \carreF{2,2} ;
                \carreC{3,1} ;
                \carreF{0,2} ;
                \carreF{3,2} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_bC}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreC{1,0} ;
                \carreF{0,1} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (5,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(6,0)}]
                \carreC{1,1} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreF{0,1} ;
                \carreF{1,2} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}\hfill
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_cC}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
                \carreC{3,1} ;
                \carreF{3,2} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (5,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(6,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreC{2,1} ;
                \carreF{2,2} ;
                \carreC{3,1} ;
                \carreF{3,2} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_dC}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
                \carreF{0,2} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (5,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(6,0)}]
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{1,2} ;
                \carreC{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
                \carreF{0,2} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_eC}
          \end{subfigure}
          \caption{ }
          \label{fig_Bo19B_02_C}
        \end{figure}
      \item La figure \ref{fig_Bo19B_02B_fC} donne les différents
        cas possibles, en considérant que les motifs sont contigües.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \begin{subfigure}{0.5\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.45]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \begin{scope}[shift={(4,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \draw[line width=2pt,-colLogo!40!black] (2,0)--++(4,0) --++(0,2)
              --++(-4,0) --cycle;
            \end{tikzpicture}
            \caption{ On retrouve la figure b}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.45\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \begin{scope}[shift={(3,0)},rotate=-90]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \draw[line width=2pt,-colLogo!40!black] (2,1)
              rectangle ++(3,-3) ;
            \end{tikzpicture}
            \caption{ On retrouve la figure e}
          \end{subfigure} 
          \begin{subfigure}{0.45\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.45]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \begin{scope}[shift={(2,0)},rotate=-90]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \draw[line width=2pt,-colLogo!40!black] (1,1) rectangle
              ++(3,-3) ;
            \end{tikzpicture}
            \caption{ On retrouve la figure a}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.5\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.45]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \begin{scope}[shift={(3,-1)},rotate=0]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \draw[line width=2pt,-colLogo!40!black] (3,-1) rectangle
              ++(3,2) ;
            \end{tikzpicture}
            \caption{ On retrouve la figure c }
          \end{subfigure}
          \caption{ }
          \label{fig_Bo19B_02B_fC}
        \end{figure}
        Il faut probablement comprendre que les deux motifs
        sont contigües. On retrouve bien les motifs a, b, c, d et
        e.
      \item On obtient la figure \ref{fig_Bo19B_04C}. Les cases
        marquées d'une croix blanche ont été déplacées vers le vas
        d'une case. Il y a toujours $14$ cases foncées, mais il y
        a maintenant $18$ cases claires contre $16$ auparavant.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \def\croixblanche#1
          {
            \draw[white,line width=1pt] (#1) --++(1,1) ++(0,-1) --++(-1,1) ;
          }
          \begin{tikzpicture} [scale=0.6]
            \draw[lightgray] (0,0) grid (20,9) ;
            \begin{scope}[shift={(1,1)}]
              \carreF{2,0} ;
              \carreF{3,0} ;
              \ligne{2}{1,1} ;
              \ligne{4}{0,2} ;
              \ligne{4}{1,3} ;
              \ligne{4}{2,4} ;
              \ligne{2}{3,5} ;
              \carreF{4,6} ;
              \carreF{5,6} ;
              \croixblanche{3,0} ;
              \croixblanche{4,1} ;
              \croixblanche{5,2} ;
              \croixblanche{6,3} ;
              \croixblanche{7,4} ;
              \croixblanche{6,5} ;
              \croixblanche{5,6} ;
            \end{scope}
            \begin{scope}[shift={(11,0)}]
              \carreF{2,0} ; \croixblanche{2,0} ;
              \ligne{1}{1,1} ; \croixblanche{3,1} ;
              \ligne{3}{0,2} ; \croixblanche{4,2} ;
              \ligne{5}{-1,3} ; \croixblanche{5,3} ;
              \ligne{5}{0,4} ; \croixblanche{6,4} ;
              \ligne{3}{1,5} ; \croixblanche{5,5} ;
              \ligne{1}{2,6} ; \croixblanche{4,6} ;
              \carreF{3,7} ; 
            \end{scope}
          \end{tikzpicture}
          \caption{}
          \label{fig_Bo19B_04C}
        \end{figure}
        La figure \ref{fig_Bo19B_01b} permet d'affirmer que toutes
        les figures ayants deux carrés foncés accolés
        horizontalement, ne peuvent pas être modifiés.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Pour $C_1(a,b)$, les carrés de côtés ont une diagonale
        de $\sqrt{2}$. Il y a $a-2$ carrés complets. Il y a une
        demi-diagonale dans chaque sommet. 
        
        On en déduit qu'il y a $a+1$ carrés dans le côté longueur
        $a \sqrt{2}$, et $b+1$ carrés dans le côté de longueur $b
        \sqrt{2}$. Mais les sommets sont comptés deux fois. Au
        final, il y a $2(a+1) + 2(b+1) - 4 = 2a+2b$.
        
        Dans l'exemple donné, $a = 6$ et $b = 3$.
          
        Pour les carrés clairs il y a $b$ rangées de $a$ carrés et
        $b-1$ rangées de $a-1$, donc au total $ab + (a-1)(b-1)$.
      \item On décale la rangée supérieure de $C_2(a,b)$ de un carreau vers le
        bas, et on retrouve $C_1(a,b)$. On supprime alors un carré
        foncé (le carré en bas de l'alignement vertical).
        
        On en déduit que $n = 2a + 2b +1$.
        
        En passant de $C_2(a,b)$ à $C_1(a,b)$ on a supprimé une
        une rangé de $b-1$ carrés clairs. Donc, $q = ab +
        (a-1)(b-1) -b-1 = ab +a(b-1) = a(2b-1)  = a(n -2a -2)$.
      \end{enumerate}
    \item $n = 2019$, on cherche donc $a$ tel que $q = a(2107
      -2a)$ soit maximum.
      
      C'est un polynôme du deuxième degré donc, le maximum est
      atteint pour $ a = \frac{2017}{4} = 504,25$. Donc le
      maximum est atteint pour $a = 504$, qui est l'entier le
      plus proche de $504,25$.
      
      $q = 504 ( 2107 - 2 \times 504) = \num{508536}$ carrés clairs.
    \end{enumerate}
  \end{Corrige}
\end{Enonce}

\begin{Enonce}[Les triplets pythagoriciens]{}
  \newcommand\point[2][100]
  {
    \fill[colLogoFort!#1] (#2) circle (0.4) ;
  }
  \def\gnomon#1#2
  {
    \FPeval\y{#1-1}
    \foreach \x in {0,1,...,#1}
    {
      \point[#2]{#1,\x} ;
    }
    \foreach \x in {0,1,...,\y}
    {
      \point[#2]{\x,#1} ;
    }
    \ifnum#2=100
    \FPeval\x{\y+0.5}
    \draw[colLogoFort,line width=1pt] (\x,-0.5) --++(0,\x+0.5)
    --++(-\x-0.5,0) ; %--++(0,1) --++(\x+1.5,0) --++(0,-\x-1.5) --cycle  ;
    \fi
  }

  Étant donnés trois entiers naturels non nuls tels que $a<b<c$ , on dit
  que le triplet $\coord(a,b,c)$ est un triplet pythagoricien si et
  seulement si $a^2+b^2=c^2$.

  Rechercher un triplet pythagoricien revient donc à rechercher les
  dimensions d'un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont
  des entiers naturels.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \draw[colLogo,line width=1pt] (0,0) to node[midway,below] {$b$}  (4,0)
      to node[midway,above right] {$c$} (0,3) to node[midway,left] {$a$} (0,0)  ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_Bo19_Ca}
  \end{figure}


  \Partie{Partie A}
  
  \begin{enumerate}
  \item  En observant les figures \ref{fig_Bo19_Ca} et \ref{fig_Bo_19Cb}, et en conjecturant,
    recopier et compléter le tableau \ref{tab_Bo19_Ca}. 
    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[fill = colLogoFort,draw = colLogoFort]
        \point{0,0}
        \begin{scope}[shift={(2,0)}]
          \point[50]{0,0} ; \gnomon{1}{100} ;
        \end{scope}
        \begin{scope}[shift={(5,0)}]
          \point[33]{0,0} ; \gnomon{1}{50} ; \gnomon{2}{100} ;
        \end{scope}
        \begin{scope}[shift={(9,0)}]
          \point[25]{0,0} ; \gnomon{1}{33} ; \gnomon{2}{66} ;
          \gnomon{3}{100} ;
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{ }
      \label{fig_Bo_19Cb}
    \end{figure}

    
    \begin{table}[!h]
      \centering
      \begin{tabular}{|m{3cm}|*{7}{>{$}c<{$}|}}
        \hline
        Nombre de points sur un côté & 1 & 2& 3& 4& 5& 6& 7 \\
        \hline
        Nombre de points total & 1 & 4 & & & & & \\
        \hline
        Nombre de points rajoutés & \cellcolor{colLogoFort} & 3 & & & & & \\
        \hline
      \end{tabular}
      \caption{ }
      \label{tab_Bo19_Ca}
    \end{table}
    Que peut-on remarquer sur la dernière ligne du tableau ?
    \item On considère un carré dont le côté est formé de $n$ points
      où $n$ est un entier naturel non nul.
      \begin{enumerate}
      \item Démontrer que : $(n+1)^2 - n^2=2n+1$.
      \item Donner deux entiers consécutifs dont la différence des
        carrés est égale à $49$.

        En déduire un triplet pythagoricien.
      \item Donner un triplet pythagoricien dont le premier entier est
        35.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Démontrer qu’il existe une infinité de triplets
        pythagoriciens comportant deux entiers consécutifs.
      \item Écrire un algorithme qui affiche un triplet pythagoricien
        commençant par un entier impair du choix de l'utilisateur.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}  

    \Partie{Partie B}

    On rappelle qu’un entier naturel $n$ est
    un carré parfait si et seulement si il existe un entier naturel
    $m$ tel que $n=m^2$ .

    Sur la figure \ref{fig_Bo19_Cc}, les rectangles hachurés ont pour
    dimensions $x$ et $y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels non
    nuls tels que $x<y$.

    
    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[line width=1pt]
        \fill[fill=colLogoFort,draw=colLogoFort] (1,1) rectangle ++(2,2) ;
        \fill[pattern=north west lines,pattern color=colLogoTeinte,draw=colLogo] (0,0) rectangle
        ++(3,1);
        \begin{scope}[shift={(1,3)}]
          \draw[pattern=north west lines,pattern
          color=colLogoTeinte,draw=colLogo] (0,0) rectangle ++(3,1);
        \end{scope}
        \begin{scope}[shift={(1,1)},rotate=90]
          \draw[pattern=north east lines,pattern
          color=colLogoTeinte,draw=colLogo] (0,0) rectangle ++(3,1); 
        \end{scope}
        \begin{scope}[shift={(3,3)},rotate=-90]
           \draw[pattern=north east lines,pattern
           color=colLogoTeinte,draw=colLogo](0,0) rectangle ++(3,1);
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{ }
      \label{fig_Bo19_Cc}
    \end{figure}

    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Exprimer l'aire du carré grisé, l'aire du grand carré et
        l'aire de la zone hachurée en fonction de $x$ et $y$ .
      \item Démontrer que si $x$ et $y$ sont des carrés
        parfaits alors $4xy$ est aussi un carré parfait.
      \item En déduire l'expression d'un triplet pythagoricien en
        fonction de $x$ et $y$ lorsque $x$ et $y$ sont des
        carrés parfaits.
      \end{enumerate}
    \item Fabriquer quatre triplets pythagoriciens à l'aide de cette méthode.
    \end{enumerate}
    \begin{Corrige}
      \Partie{Partie A}
      \begin{enumerate}
      \item On obtient le tableau \ref{tab_Bo19_CaC}
        \begin{table}[!h]
          \centering
          \begin{tabular}{|m{3cm}|*{7}{>{$}c<{$}|}}
            \hline
            Nombre de points sur un côté & 1 & 2& 3& 4& 5& 6& 7 \\
            \hline
            Nombre de points total & 1 & 4 & 9  & 16 & 25 & 36 & 49\\
            \hline
            Nombre de points rajoutés & \cellcolor{colLogoFort} & 3 & 5 &
                                                                          7
                                                      & 9  & 11 & 13 \\
            \hline
          \end{tabular}
          \caption{ }
          \label{tab_Bo19_CaC}
        \end{table}
        La dernière ligne est remplie avec les nombres impairs.
      \item
        \begin{enumerate}
        \item $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n +1 - n^2 = 2n+1$.
        \item On cherche $n$ tel que $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1 = 49$. Donc
          $ n = 25$.

          On a donc le triplet pythagoricien $\coord(7,24,25)$.
        \item On cherche $p$ tel que $2p+1 = 35^2$, soit $ p =
          \frac{35^2-1}{2} = 612$.

          Le triplet cherché est donc $\coord(35,612,613)$.
        \end{enumerate}
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Soit $a = 2k+1$ un nombre entier impair. Considérons $n$
          tel que $2n+1 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k+1 $, soit $ n = 2k^2+2k$
          Alors $\coord(2k+1,2k^2+2k,2k^2+2k+1)$ est un 
          triplet pythagoricien comportant deux entiers consécutifs.
        \item On a l'algorithme suivant :
          \begin{algorithm}[!h]
            \KwData{Saisir $n$}
            $k \leftarrow (n-1)/2$\\
            $(2k+1,2k^2+2k,2k^2+2k+1)$
          \end{algorithm}
        \end{enumerate}
      \end{enumerate}
      \Partie{Partie B}
      \begin{enumerate}
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Le côté du grand carré mesure $x+y$ de côté. Le côté du
          carré grisé mesure $y - x$. On en déduit que :
          \[
            (x+y)^2 = 4xy + (y-x)^2.
          \]
        \item Si $x$ et $y$ sont des carrés parfaits alors, comme $4$
          est un carré parfait, $4xy$ est aussi un carré parfait.
        \item Si $x$ et $y$ sont des carrés parfaits, alors le triplet
          $\left(\sqrt{4xy}\,;\,y-x\,;\,x+y\right)$ est un triplet pythagoricien.
        \end{enumerate}
      \item
        \begin{itemize}
        \item $x=1$ et $y=4$ sont deux carrés parfait. $4xy = 16 =
          4^2$. On a donc comme triplets $\coord(3,4,5)$.
        \item $x = 4$ et $y = 9$, $4xy =  12^2$, $y-x = 5$ et $y+x =
          13$. $\coord(5,12,13)$ est un triplet pythagoricien.
        \item $x = 9$ et $y=16$, $4xy = 24^2$, $y-x = 7$ et $y+x =
          25$. $\coord(7,24,25)$ est un triplet pythagoricien.
        \item $x = 16$ et $y=25$, $4xy = 40^2$, $y-x = 9$ et $y+x =
          41$. $\coord(9,40,41)$ est un triplet pythaoricien.
        \end{itemize}
      \end{enumerate}
    \end{Corrige}
\end{Enonce}
%%% Local Variables:
%%% TeX-master: "olympiades"
%%% End:
