\begin{CORRIGE}{1}
    \def\carteGen#1%
  {%
    \def\liste{#1}
    \StrBetween{\liste}{(}{)}[\forme]
    \StrBetween[2,2]{\liste}{(}{)}[\cheveux]
    \StrBetween[3,3]{\liste}{(}{)}[\yeux]
    \StrBetween[4,4]{\liste}{(}{)}[\bras]
    \StrBetween[5,5]{\liste}{(}{)}[\jambe]
    \StrBehind[5]{\liste}{)}[\nom]
    \begin{tikzpicture}[color=colLogo,font=\sffamily\bfseries\Large]
      \draw[colLogo,line width=1pt] (0,0) grid (2,5) ;
      \node at (0.5,4.5) {\StrBefore{\forme}{,}} ;
      \node at (1.5,4.5) {\StrBehind{\forme}{,}} ;
      \node at (0.5,3.5) {\StrBefore{\cheveux}{,}} ;
      \node at (1.5,3.5) {\StrBehind{\cheveux}{,}} ;
      \node at (0.5,2.5) {\StrBefore{\yeux}{,}} ;
      \node at (1.5,2.5) {\StrBehind{\yeux}{,}} ;
      \node at (0.5,1.5) {\StrBefore{\bras}{,}} ;
      \node at (1.5,1.5) {\StrBehind{\bras}{,}} ;
      \node at (0.5,0.5) {\StrBefore{\jambe}{,}} ;
      \node at (1.5,0.5) {\StrBehind{\jambe}{,}} ;
      \node at (1.0,-.5) {\nom} ;
      \draw[line width=1pt] (0,0) --(0,-1) --(2,-1) --(2,0) ;
    \end{tikzpicture}
  }%
  \begin{enumerate}
  \item Il y a $2 \times 2 \times 3 \times 4 \times 4 = 192$
    possibilités.
  \item Il y a $2$ possibilités à chaque cases et $10$ cases, soit
    $2^{10} = \num{1024}$, possibilités.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item On obtient les deux personnages de la figure
      \ref{fig_Bo_19AC}.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[line width=1pt,draw=colLogo,scale=0.75]
          \path[use as bounding box] (-2.3,-2.3) rectangle (2.3,2) ;
          % corps
          \filldraw[draw=colLogo,fill=white] (0,0) circle (1) ;
          % cheveu
          \draw[shift={(0,1)}]
          (0,0)--++(45:0.5)--++(45:-0.5)--++(90:0.5)--++(90:-0.5)--++(135:0.5)
          ;
          % yeux
          \fill[shift={(-0.41,0.45)},colLogo] (0,0) circle (0.3) ;
          \fill[shift={(0.41,0.45)},colLogo] (0,0) circle (0.3) ;
          % bras
          \draw[rotate=5] (1,0) -- (2.3,0)
          --++(180:0.3)--++(25:0.3)--++(25:-0.3)--++(-25:0.3) ;
          % jambes
          \draw[rotate=-105] (1,0) -- (2.3,0) --++(-90:0.3) ;
        \end{tikzpicture}
        \begin{tikzpicture}[line width=1pt,draw=colLogo,scale=0.75]
          \path[use as bounding box] (-2.3,-2.3) rectangle (2.3,2) ;
          % corps
          \filldraw[draw=colLogo,fill=white] (0,0) circle (1) ;
          % cheveu
          % \draw[shift={(0,1)}]
          % (0,0)--++(45:0.5)--++(45:-0.5)--++(90:0.5)--++(90:-0.5)--++(135:0.5)
          % ;
          % yeux
          \fill[shift={(-0.41,0.45)},colLogo!25] (0,0) circle (0.3) ;
          \fill[shift={(0.41,0.45)},colLogo!25] (0,0) circle (0.3) ;
          % bras
          % \draw[rotate=5] (1,0) -- (2.3,0)
          % --++(180:0.3)--++(25:0.3)--++(25:-0.3)--++(-25:0.3) ;
          % jambes
          \draw[rotate=-105] (1,0) -- (2.3,0) --++(-90:0.3) ;
          \draw[rotate=-75] (1,0) -- (2.3,0) --++(90:0.3) ;
        \end{tikzpicture}
        \caption{}
        \label{fig_Bo_19AC}
      \end{figure}
    \item Par exemple en changeant, la première ligne de $(0,1)$ en
      $(1,0)$.
    \item Seule la première ligne peut donner des jumeaux de A. Il y a
      donc $\frac{3}{\num{1024}}$ d'avoir un jumeau de A.

      Pour un B, il y a trois possibilités pour la forme, $3$ pour les
      cheveux, et $2$ pour les yeux, soit  $\frac{3 \times 3 \times
        2}{\num{1024}} = \frac{18}{\num{1024}}$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Non, car les bras et les jambes ne seront pas du même côté.
    \item
      \begin{itemize}
      \item X et Y sont ronds, donc il y a au moins un $1$. Mais Z est
        carré, donc ils ont chacun un $0$. Z est carré, donc Z hérite
        des deux $0$.
      \item X et Y sont chauves, donc il y au moins un $0$, mais Z est
        chevelu, donc, ils ont chacun un $1$. Z est chevelu, donc Z
        hérite des deux $1$.
      \item Z a les yeux gris, il a donc un $0$ et $1$, comme X. Y a
        deux $1$, puisqu'il a les yeux noirs.
      \item Ils ont un bras, soit un $1$ et un $0$. Z n'a pas de bras,
        il hérite donc des deux $0$.
      \item Ils ont une jambe soit un $1$ et un $0$. Z a deux jambes,
        il hérite donc des deux $1$.
      \end{itemize}

      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \carteGen{(1,0)(1,0)(1,0)(0,1)(0,1)X}
        \hspace*{1ex}
        \carteGen{(0,1)(1,0)(1,1)(0,1)(1,0)Y}
        \hspace*{1ex}
        \carteGen{(0,0)(1,1)(0,1)(0,0)(1,1)Z}
        \label{fig_Bo19_02CaC}
        \caption{ }
      \end{figure}
    \item X et Y ont comme code génétique forme, l'une des trois
      possibilités suivantes : $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Il y a
      donc $9$ possibilités d'avoir une forme ronde pour $X$ et $Y$.

      Les combinaisons pouvant données des carrés sont :
      \begin{itemize}
      \item  $(1,0)$ et $(1,0)$
      \item  $(1,0)$ et $(0,1)$
      \item  $(0,1)$ et $(1,0)$
      \item  $(0,1)$ et $(0,1)$
      \end{itemize}
      Et sur ces quatre combinaisons, il y a $\nicefrac{1}{4}$ d'avoir
      un carré. Donc la probabilité d'avoir un carré est de :
      \[
        \frac{4}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{9}\cdotp
      \]
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{2}
    \def\carreC#1
    {
      \filldraw[colLogoTeinte,draw=white] (#1) rectangle +(1,1) ;
    }
    \def\carreF#1
    {
      \filldraw[colLogoFort,draw=white] (#1) rectangle +(1,1) ;
    }
    \def\ligne#1#2
    {
      \StrBefore{#2}{,}[\X]
      \StrBehind{#2}{,}[\Y]
      \carreF{#2} ;
      \foreach \x in {1,2,...,#1}
      {
        \carreC{\X+\x,\Y} ;
      }
      \carreF{\X+#1+1,\Y}
    }
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $a_4 = 1$, $a_5 = 1$, $a_6 = 2$, $a_7 \geq 3$.
      \item Pour entourer $4$ carrés clairs, on a les cas de la
        figure \ref{fig_Bo_19B_01_C}.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \begin{tikzpicture}[scale=0.25]
            \begin{scope}% carre
              \carreC {0,0} ; \carreC {1,0} ; \carreC {1,1} ;
              \carreC {0,1} ; \carreF {0,-1} ; \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,1} ; \carreF {2,0} ; \carreF {0,2} ;
              \carreF {1,2} ; \carreF {-1,1} ; \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}
            \begin{scope} [shift={(5,0)}]% L
              \carreC {0,0} ;
              \carreC {1,0} ;
              \carreC {2,0} ;
              \carreC {2,1} ;
              \carreF {0,-1} ;
              \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,-1} ;
              \carreF {3,0} ;
              \carreF {3,1} ;
              \carreF {2,2} ;
              \carreF {1,1} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}                   %  *
            \begin{scope} [shift={(12,0)}]% ***
              \carreC {0,0} ;
              \carreC {1,0} ;
              \carreC {2,0} ;
              \carreC {1,1} ;
              \carreF {0,-1} ;
              \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,-1} ;
              \carreF {3,0} ;
              \carreF {2,1} ;
              \carreF {1,2} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}
            \begin{scope} [shift={(18,0)}]% barre
              \carreC {0,0} ;
              \carreC {1,0} ;
              \carreC {2,0} ;
              \carreC {3,0} ;
              \carreF {0,-1} ;
              \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,-1} ;
              \carreF {3,-1} ;
              \carreF {4,0} ;
              \carreF {3,1} ;
              \carreF {2,1} ;
              \carreF {1,1} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}
            \begin{scope} [shift={(25,0)}]%s
              \carreC {0,0} ;
              \carreC {1,0} ;
              \carreC {1,1} ;
              \carreC {2,1} ;
              \carreF {0,-1} ;
              \carreF {1,-1} ;
              \carreF {2,0} ;
              \carreF {3,1} ;
              \carreF {1,2} ;
              \carreF {2,2} ;
              \carreF {0,1} ;
              \carreF {-1,0} ;
            \end{scope}
          \end{tikzpicture}
          \caption{ }
          \label{fig_Bo_19B_01_C}
        \end{figure}
        Il y a donc au minimum $8$ carrés foncés qui encadrent $4$
        carrés clairs.

        Comme $a_8 \geq 4$, on en déduit que $a_7 < 4$
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item La figure \ref{fig_Bo19B_02_C} donne les transformations
        qui permettent de gagner un clair sans changer le nombre de foncés.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreC{0,0} ;
                \carreC{1,1} ;
                \carreC{-1,1}
                \carreF{0,1} ;
                \carreF{-1,2} ;
                \carreF{1,2} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (3,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(5,0)}]
                \carreC{0,0} ;
                \carreC{1,1} ;
                \carreC{-1,1} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{0,2} ;
                \carreF{-1,2} ;
                \carreF{1,2} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_aC}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
                \carreC{3,1} ;
                \carreF{0,2} ;
                \carreF{3,2} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (5,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(6,0)}]
                \carreC{1,1} ;
                \carreC{2,1} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{1,2} ;
                \carreF{2,2} ;
                \carreC{3,1} ;
                \carreF{0,2} ;
                \carreF{3,2} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_bC}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreC{1,0} ;
                \carreF{0,1} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (5,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(6,0)}]
                \carreC{1,1} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreF{0,1} ;
                \carreF{1,2} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}\hfill
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_cC}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
                \carreC{3,1} ;
                \carreF{3,2} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (5,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(6,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreC{2,1} ;
                \carreF{2,2} ;
                \carreC{3,1} ;
                \carreF{3,2} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_dC}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.25\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.275]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
                \carreF{0,2} ;
              \end{scope}
              \node[above] at (5,1) {$\Rightarrow$} ;
              \begin{scope}[shift={(6,0)}]
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreC{0,1} ;
                \carreF{1,2} ;
                \carreC{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
                \carreF{0,2} ;
              \end{scope}
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_Bo19B_02B_eC}
          \end{subfigure}
          \caption{ }
          \label{fig_Bo19B_02_C}
        \end{figure}
      \item La figure \ref{fig_Bo19B_02B_fC} donne les différents
        cas possibles, en considérant que les motifs sont contigües.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \begin{subfigure}{0.5\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.45]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \begin{scope}[shift={(4,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \draw[line width=2pt,-colLogo!40!black] (2,0)--++(4,0) --++(0,2)
              --++(-4,0) --cycle;
            \end{tikzpicture}
            \caption{ On retrouve la figure b}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.45\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \begin{scope}[shift={(3,0)},rotate=-90]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \draw[line width=2pt,-colLogo!40!black] (2,1)
              rectangle ++(3,-3) ;
            \end{tikzpicture}
            \caption{ On retrouve la figure e}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.45\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.45]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \begin{scope}[shift={(2,0)},rotate=-90]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \draw[line width=2pt,-colLogo!40!black] (1,1) rectangle
              ++(3,-3) ;
            \end{tikzpicture}
            \caption{ On retrouve la figure a}
          \end{subfigure}
          \begin{subfigure}{0.5\linewidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}[scale=0.45]
              \begin{scope}[shift={(0,0)}]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \begin{scope}[shift={(3,-1)},rotate=0]
                \carreF{0,0} ;
                \carreC{1,0} ;
                \carreC{2,0} ;
                \carreF{3,0} ;
                \carreF{1,1} ;
                \carreF{2,1} ;
              \end{scope}
              \draw[line width=2pt,-colLogo!40!black] (3,-1) rectangle
              ++(3,2) ;
            \end{tikzpicture}
            \caption{ On retrouve la figure c }
          \end{subfigure}
          \caption{ }
          \label{fig_Bo19B_02B_fC}
        \end{figure}
        Il faut probablement comprendre que les deux motifs
        sont contigües. On retrouve bien les motifs a, b, c, d et
        e.
      \item On obtient la figure \ref{fig_Bo19B_04C}. Les cases
        marquées d'une croix blanche ont été déplacées vers le vas
        d'une case. Il y a toujours $14$ cases foncées, mais il y
        a maintenant $18$ cases claires contre $16$ auparavant.
        \begin{figure}[!h]
          \centering
          \def\croixblanche#1
          {
            \draw[white,line width=1pt] (#1) --++(1,1) ++(0,-1) --++(-1,1) ;
          }
          \begin{tikzpicture} [scale=0.6]
            \draw[lightgray] (0,0) grid (20,9) ;
            \begin{scope}[shift={(1,1)}]
              \carreF{2,0} ;
              \carreF{3,0} ;
              \ligne{2}{1,1} ;
              \ligne{4}{0,2} ;
              \ligne{4}{1,3} ;
              \ligne{4}{2,4} ;
              \ligne{2}{3,5} ;
              \carreF{4,6} ;
              \carreF{5,6} ;
              \croixblanche{3,0} ;
              \croixblanche{4,1} ;
              \croixblanche{5,2} ;
              \croixblanche{6,3} ;
              \croixblanche{7,4} ;
              \croixblanche{6,5} ;
              \croixblanche{5,6} ;
            \end{scope}
            \begin{scope}[shift={(11,0)}]
              \carreF{2,0} ; \croixblanche{2,0} ;
              \ligne{1}{1,1} ; \croixblanche{3,1} ;
              \ligne{3}{0,2} ; \croixblanche{4,2} ;
              \ligne{5}{-1,3} ; \croixblanche{5,3} ;
              \ligne{5}{0,4} ; \croixblanche{6,4} ;
              \ligne{3}{1,5} ; \croixblanche{5,5} ;
              \ligne{1}{2,6} ; \croixblanche{4,6} ;
              \carreF{3,7} ;
            \end{scope}
          \end{tikzpicture}
          \caption{}
          \label{fig_Bo19B_04C}
        \end{figure}
        La figure \ref{fig_Bo19B_01b} permet d'affirmer que toutes
        les figures ayants deux carrés foncés accolés
        horizontalement, ne peuvent pas être modifiés.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Pour $C_1(a,b)$, les carrés de côtés ont une diagonale
        de $\sqrt{2}$. Il y a $a-2$ carrés complets. Il y a une
        demi-diagonale dans chaque sommet.

        On en déduit qu'il y a $a+1$ carrés dans le côté longueur
        $a \sqrt{2}$, et $b+1$ carrés dans le côté de longueur $b
        \sqrt{2}$. Mais les sommets sont comptés deux fois. Au
        final, il y a $2(a+1) + 2(b+1) - 4 = 2a+2b$.

        Dans l'exemple donné, $a = 6$ et $b = 3$.

        Pour les carrés clairs il y a $b$ rangées de $a$ carrés et
        $b-1$ rangées de $a-1$, donc au total $ab + (a-1)(b-1)$.
      \item On décale la rangée supérieure de $C_2(a,b)$ de un carreau vers le
        bas, et on retrouve $C_1(a,b)$. On supprime alors un carré
        foncé (le carré en bas de l'alignement vertical).

        On en déduit que $n = 2a + 2b +1$.

        En passant de $C_2(a,b)$ à $C_1(a,b)$ on a supprimé une
        une rangé de $b-1$ carrés clairs. Donc, $q = ab +
        (a-1)(b-1) -b-1 = ab +a(b-1) = a(2b-1)  = a(n -2a -2)$.
      \end{enumerate}
    \item $n = 2019$, on cherche donc $a$ tel que $q = a(2107
      -2a)$ soit maximum.

      C'est un polynôme du deuxième degré donc, le maximum est
      atteint pour $ a = \frac{2017}{4} = 504,25$. Donc le
      maximum est atteint pour $a = 504$, qui est l'entier le
      plus proche de $504,25$.

      $q = 504 ( 2107 - 2 \times 504) = \num{508536}$ carrés clairs.
    \end{enumerate}
  
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{3}
      \Partie{Partie A}
      \begin{enumerate}
      \item On obtient le tableau \ref{tab_Bo19_CaC}
        \begin{table}[!h]
          \centering
          \begin{tabular}{|m{3cm}|*{7}{>{$}c<{$}|}}
            \hline
            Nombre de points sur un côté & 1 & 2& 3& 4& 5& 6& 7 \\
            \hline
            Nombre de points total & 1 & 4 & 9  & 16 & 25 & 36 & 49\\
            \hline
            Nombre de points rajoutés & \cellcolor{colLogoFort} & 3 & 5 &
                                                                          7
                                                      & 9  & 11 & 13 \\
            \hline
          \end{tabular}
          \caption{ }
          \label{tab_Bo19_CaC}
        \end{table}
        La dernière ligne est remplie avec les nombres impairs.
      \item
        \begin{enumerate}
        \item $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n +1 - n^2 = 2n+1$.
        \item On cherche $n$ tel que $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1 = 49$. Donc
          $ n = 25$.

          On a donc le triplet pythagoricien $\coord(7,24,25)$.
        \item On cherche $p$ tel que $2p+1 = 35^2$, soit $ p =
          \frac{35^2-1}{2} = 612$.

          Le triplet cherché est donc $\coord(35,612,613)$.
        \end{enumerate}
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Soit $a = 2k+1$ un nombre entier impair. Considérons $n$
          tel que $2n+1 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k+1 $, soit $ n = 2k^2+2k$
          Alors $\coord(2k+1,2k^2+2k,2k^2+2k+1)$ est un
          triplet pythagoricien comportant deux entiers consécutifs.
        \item On a l'algorithme suivant :
          \begin{algorithm}[!h]
            \KwData{Saisir $n$}
            $k \leftarrow (n-1)/2$\\
            $(2k+1,2k^2+2k,2k^2+2k+1)$
          \end{algorithm}
        \end{enumerate}
      \end{enumerate}
      \Partie{Partie B}
      \begin{enumerate}
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Le côté du grand carré mesure $x+y$ de côté. Le côté du
          carré grisé mesure $y - x$. On en déduit que :
          \[
            (x+y)^2 = 4xy + (y-x)^2.
          \]
        \item Si $x$ et $y$ sont des carrés parfaits alors, comme $4$
          est un carré parfait, $4xy$ est aussi un carré parfait.
        \item Si $x$ et $y$ sont des carrés parfaits, alors le triplet
          $\left(\sqrt{4xy}\,;\,y-x\,;\,x+y\right)$ est un triplet pythagoricien.
        \end{enumerate}
      \item
        \begin{itemize}
        \item $x=1$ et $y=4$ sont deux carrés parfait. $4xy = 16 =
          4^2$. On a donc comme triplets $\coord(3,4,5)$.
        \item $x = 4$ et $y = 9$, $4xy =  12^2$, $y-x = 5$ et $y+x =
          13$. $\coord(5,12,13)$ est un triplet pythagoricien.
        \item $x = 9$ et $y=16$, $4xy = 24^2$, $y-x = 7$ et $y+x =
          25$. $\coord(7,24,25)$ est un triplet pythagoricien.
        \item $x = 16$ et $y=25$, $4xy = 40^2$, $y-x = 9$ et $y+x =
          41$. $\coord(9,40,41)$ est un triplet pythaoricien.
        \end{itemize}
      \end{enumerate}
    
\end{CORRIGE}
