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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants. (On donnera les résultats
sous forme d'un entier ou d'une fraction irréductible.) 

\[\dfrac{- \dfrac{21}{6}}{\dfrac{18}{7}}\:;\qquad \dfrac{5}{21} + \dfrac{6}{14} + \dfrac13\:;\qquad  \left(3 - 2 \sqrt 5\right)\left(3 + 2 \sqrt 5\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$x$ étant un nombre réel, on pose 

\[A = (3x - 4)(x - 7)+ \left(x^2 - 14x + 49\right).\]

\begin{enumerate}
\item Établir que $A = (x - 7)(4x - 11).$
\item Résoudre l'équation 

\[(3x- 4)(x - 7)+ \left(x^2 - 14x + 49\right) = 0.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Éric ne possède que des billets de $20$ francs et de $50$ francs.

Sachant qu'il utilise $16$ billets pour payer exactement $470$ francs, combien de billets de chaque sorte donnera-t-il ?
\item Pour $470$ francs, Éric a acheté $3$ disques compacts et $8$ cassettes.

Sachant que le prix d'une cassette est les $\dfrac{5}{18}$
de celui d'un disque compact, calculer le prix d'un disque compact et celui
d'une cassette.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. Placer les points A, B, C, D et E définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A$(1~;~-2)$, B$(-3~;~-4)$, C$(- 1~;~2)$, D(3~;~2) et E(5~;~0).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que A est le milieu du segment [BE].
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{OC}}$ sont orthogonaux.
\item Démontrer que AD = AB.
\item Démontrer que le cercle de diamètre [BE] passe par les points C et D.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans cet exercice, l'unité utilisée est le centimètre.

La figure ci-dessous représente un prisme droit ABCDEF. Le triangle ABC est rectangle isocèle en B ; BA = BC = AD = 5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que AC $= 5\sqrt 2$.
\item On désigne par M le milieu du segment [AC]. Les droites (DC) et (MF) se coupent en I.

Dans le triangle ACD, calculer $\tan \widehat{\text{ACD}}$.

Dans le triangle CFM, calculer $\tan \widehat{\text{CFM}}$.

En déduire que $\widehat{\text{ACD}} = \widehat{\text{CFM}}$.
\item Démontrer que les droites (DC) et (MF) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.1,-0.4)(3.1,6.3)
%\psgrid
\psframe(-2.85,0.3)(2.85,4.3)
\psline(2.85,0.3)(-2.85,4.3)(0,5.9)(2.85,4.3)(0,0.3)%CDEFM
\psline[linestyle=dashed](-2.85,0.3)(0,1.9)(0,5.9)%ABE
\psline[linestyle=dashed](0,1.9)(2.85,0.3)%BC
\psline(-0.2,1.8)(0.02,1.65)(0.22,1.78)
\uput[dl](-2.85,0.3){A} \uput[ul](0,1.9){B} \uput[dr](2.85,0.3){C} \uput[ul](-2.85,4.3){D}
\uput[u](0,5.9){E} \uput[ur](2.85,4.3){F} \uput[d](0,0.3){M}\uput[ul](1.08,1.63){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité utilisée est le centimètre.

On donne un segment [EC] tel que EC = 12 et le point D de ce segment tel que ED = 8.

Soit le rectangle DCBA tel que AD = 6. 

La droite (EA) coupe la droite (CB) en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer EA.
\item Calculer AM et MB.
\item Soit G le symétrique de M par rapport à B et F le symétrique de A par rapport à B.

Démontrer que AMFG est un losange.
\item Justifier que G est le milieu du segment [BC], puis que $\vect{\text{GM}} = 2\vect{\text{GB}} = \vect{\text{DA}}$.
\item Démontrer que les droites (DG) et (AM) sont parallèles.
\item En déduire que les points D, G et F sont alignés et que G est le milieu du segment [DF].
\end{enumerate}

\emph{Figure à compléter} :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,5.4)
\psline(0.1,0.3)(6.1,0.3)
\psframe(6.1,0.3)(9.1,4.9)
\psframe(6.1,0.3)(5.9,0.5)
\uput[ul](6.1,4.9){A}\uput[ur](9.1,4.9){B}\uput[dr](9.1,0.3){C}
\uput[d](6.1,0.3){D}\uput[d](0.1,0.3){E}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}