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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Aix--Marseille}
\lfoot{\small juin 1992}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Aix--Marseille juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture fractionnaire la plus simple possible de
$a$ et $b$.

On n'oubliera pas de donner le détail des opérations.

\[a = \dfrac75 - \left(\dfrac{7}{11} : \dfrac53\right),\qquad b = \left(1 + \dfrac43\right) \times 5.\]
 
\item Donner l'écriture décimale de

\[c = \left(-2,5 \times  10^{175}\right)\left(-3,7 \times  10^{-177}\right).\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser
		
\[(3x + 5)^2 + (3x +5)(2x +8).\]

		\item Résoudre l'équation
		
\[(3x + 5)(5x + 13) = 0.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II}

\medskip 

Examiner la figure suivante, représentant un carré ABCD. 

On donne (les mesures sont en cm) :

AB = BC $= x$ ; BE $= 3$ ; DG $= 1$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5.2)
\psframe(0.2,0.2)(4.5,4.5)%DCBA
\psframe(0.2,1.1)(2.1,4.5)%GFEA
\psframe(0.2,1.1)(0.4,1.3)\psframe(2.1,1.1)(1.9,1.3)
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)\psframe(4.5,0.2)(4.3,0.4)
\psframe(4.5,4.5)(4.3,4.3)\psframe(2.1,4.5)(1.9,4.3)
\uput[ul](0.2,4.5){A} \uput[ur](4.5,4.5){B} \uput[dr](4.5,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](2.1,4.5){E} \uput[dr](2.1,1.1){F} \uput[l](0.2,1.1){G}
\uput[d](3.3,4.5){3}\uput[l](0.2,0.65){1}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AE et AG en fonction de $x$. 

$S$ désigne l'aire du rectangle AEFG. 

Prouver, en écrivant vos calculs que

\[S = x^2 - 4x + 3.\]

\item Calculer la valeur exacte de $S$ lorsque

\[x = 2 + \sqrt 2.\]

\item On a nécessairement $x \geqslant 3$. Pourquoi ?

Calculer la longueur $x$ pour que l'aire $S$ soit égale à 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous est constituée de 5 triangles isocèles 

OA = OB = OC = OD = OE\, ; \quad AB = BC = CD = DE = EA.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.1,-3.1)(3.1,3.3)
\multido{\n=15+72}{5}{\psline(3;\n)}
\multido{\n=15+72}{5}{\rput(1.5;\n){\psline(-0.1,0.1)(0.1,-0.1)}}
\multido{\n=51+72}{5}{\rput(2.427;\n){$\bullet$}}
\pspolygon(3;15)(3;87)(3;159)(3;231)(3;303)
\uput[dl](3;231){A} \uput[dr](3;303){B} \uput[ur](3;15){C} \uput[u](3;87){D} \uput[ur](3;159){E} \uput[ur](0,0){O} 
\psarc(0,0){0.4}{231}{303}\rput(0.6;267){$72\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Cette figure est un pentagone régulier. On veut calculer le périmètre de ce polygone.

On donne : OA = 10 cm et $\widehat{\text{AOB}} = 72\degres$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner la bissectrice de $\widehat{\text{AOB}}$ qui coupe [AB] en H.

Quelle est la valeur des angles $\widehat{\text{AHO}}$ et $\widehat{\text{AOH}}$ ? Pourquoi ?
\item Prouver que la valeur exacte de AH en centimètres est $10 \sin 36\degres$, écrire ensuite son arrondi au dixième le plus proche.

Prouver que H est le milieu du côté [AB].

Calculer de même la valeur exacte du périmètre $p$ du polygone, ainsi que son arrondi au dixième le plus proche.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure $\mathcal{F}$ ci-dessous schématisant un skieur, est constituée des segments [AB], [MC], [CD], [ED] et du cercle de centre O, de diamètre $2$ cm. M$'$ est un point donné de la droite (AB).

\begin{center}
\psset{unit=4mm}
\begin{pspicture}(28,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\pscircle(12,12){2}
\psline(2,8)(12,12)
\psline(7,10)(10,7)(6,5)
\psline(0,6.5)(26,0)
\uput[ur](12,12){O} \uput[ul](7,10){D} \uput[ul](2,8){E} \uput[r](10,7){C}
\uput[dl](2,6){A} \uput[d](6,5){M} \uput[dl](10,4){B} \uput[dl](18,2){M$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dessiner le point C$'$, image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{MM}'}$.
\item On a (MC) // (M$'$C$'$) et MC = M$'$C$'$. Justifier ces affirmations.
\item Exprimer de trois façons différentes le vecteur $\vect{\text{CM}'}$, en complétant les égalités suivantes et en n'utilisant que les points C, M, C$'$ et M$'$:

\[\vect{\text{CM}'} = .... +....,\quad  \vect{\text{CM}'} = .... +....,\quad  \vect{\text{CM}'} =....+....\]

\item Dessiner la figure $\mathcal{F}'$, image de la figure $\mathcal{F}$ par la translation de vecteur $\vect{\text{MM}'}$. 

On appellera A$'$, B$'$, C$'$, D$'$, E$'$ et O$'$ les image des points A, B, C, D, E, et O.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

SABCD est une pyramide régulière à base carrée, de sommet S et de hauteur [SO] ; AB $= 4$ cm et SO $= 5 $cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5)
\psline(0.2,0.2)(3.5,0.2)(5,1.2)(2.6,4.6)(3.5,0.2)%ABCSB
\psline(2.6,4.6)(0.2,0.2)%SA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.7,1.2)(5,1.2)(0.2,0.2)%ADCA
\psline[linestyle=dashed](3.5,0.2)(1.7,1.2)(2.6,4.6)(2.6,0.7)%BDSO
\uput[d](2.6,0.7){O} \uput[u](2.6,4.6){S}
\uput[dl](0.2,0.2){A}  \uput[dr](3.5,0.2){B} \uput[r](5,1.2){C} \uput[ul](1.7,1.2){D} 
\psline(2.6,0.88)(2.8,0.95)(2.8,0.77)
\end{pspicture}
\end{center}

On demande de représenter, en grandeur réelle, les figures sui- vantes vues en perspective.
a) La base ABCD de la pyramide et son centre 0, b) Le triangle rectangle SAO,
c) La face SAB de la pyramide.


\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O ; I ; J) d'origine O (d'unité
1 cm) on considère les points A(13~;~4), B(10~;~0) et C(15~;~0)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C dans le repère.
\item Calculer les distances AB et BC.

Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ?
\item Calculer les coordonnées de E milieu de [AC].
\item Trouver, par le calcul, l'équation de la droite (OE).
\item Vérifier que l'équation de la droite (AB) est
$y= \dfrac43x - \dfrac{40}{3}$.
\item Soit F(11,2~;~1,6). Vérifiez que F est le point d'intersection des droites (OE) et (AB).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer BF{}. En déduire FA.
		\item Calculer FE.
		\item Par B, on trace la droite $(\Delta)$ parallèle à (AC). $(\Delta)$ coupe la droite (OE) en G.
		
En utilisant le théorème de Thalès, calculez FG.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}