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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Amérique centrale}
\lfoot{\small juin 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique centrale juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{I.}  On pose

\[F(x) = (3x +2)( 4x +5) +(3x +2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F(x)$.
\item Écrire $F(x)$ sous forme d'un produit de facteurs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} On considère l'expression

\[E(x) = 21x^2 + 35x + 14.\]

Calculer $E\left(\sqrt 3\right)$.

\medskip

\textbf{III.} Résoudre l'équation

\[(3x +2)(7x +7) = 0.\]

\textbf{IV.} - Le diagramme circulaire ci-dessous représente les résultats des élèves des classes de troisième d'un collège à un contrôle commun. 

L'effectif total des élèves est de $300$.

%diagramme circulaire

\begin{enumerate}
\item Représenter ces données par un diagramme en bâtons (choisir convenablement les unités).
\item Déterminer le nombre d'élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à $8$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{I.} ABCD est un quadrilatère tel que les droites (AB) et (CD) ont parallèles, et les droites (BC) et (CD) perpendiculaires. H est le projeté orthogonal de A sur (CD). AD mesure 6 cm et AH
4,8 cm.

%fig

L'angle $\widehat{\text{AHB}}$ vaut $50\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance DH.
\item Calculer la distance AB. On donnera la valeur arrondie au millimètre près.
\item Montrer que le quadrilatère ABCH est un rectangle.
\item Calculer l'aire du quadrilatère ABCD. On prendra comme
valeur de AB la valeur approchée trouvée au 2.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} ABC est un triangle isocèle de sommet principal A tel que :
AB $= 8$ cm et BC $= 6$ cm.

Soit E le point du segment [AB] tel que : AE $= 5$ cm.

La parallèle à la droite (BC) passant par E coupe la droite (AC) en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure en respectant les unités.
\item Montrer que EB = FC.
\item Calculer le périmètre du quadrilatère EFCB.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), on
considère les points : 

\[\text{A}(-3~;~-1),\:\: \text{B}(3~;~1) \quad \text{et  C}(1~;~7).\]

\begin{enumerate}
\item Faire la figure sur papier millimétré.
\item Calculer les longueurs exactes de AB, BC et CA.
\item Montrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle en B.
\item Calculer les coordonnées du milieu du segment [AB].
\item La parallèle à la droite (BC) passant par O coupe la droite (AC) en K.

Calculer les coordonnées du point K.
\item Déterminer une équation de la droite (OK).
\item Montrer que la droite (BC) a pour coefficient directeur $- 3$.

Déterminer une équation de la droite (BC).
\item Construire le point D translaté du point C dans la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.

Montrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
\end{enumerate}
\end{document}