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%Merci à : Sébastien Rivillon pour la fourniture du sujet
%Tapuscrit : François Kriegk
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
Amérique du Nord~\decofourright}}\\[6pt]
{\Large \textbf{3 juin 2021}}


\medskip

\emph{L'usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé.\\
L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 26 points}

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse.

\medskip

\textbf{On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.}

\begin{enumerate}[itemsep=5mm]
	\item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 7$
	
	\textbf{Affirmation \no 1 :} \og{}L’image par $f$ du nombre $- 1$ est 2 \fg{}.
	
	\item On considère l'expression $\mathrm{E} = (x - 5)(x + 1)$.
	
	\textbf{Affirmation \no 2 :} \og{} L'expression $ \mathrm{E} $ a pour forme développée et réduite $x^2 - 4x - 5 $\fg{}.
	
	\item $n$ est un nombre entier positif.
	
	\textbf{Affirmation \no 3 :} \og{}lorsque $n$ est égal à 5, le nombre $2^n +1$ est un nombre premier \fg{}.
	
	\item On a lancé 15 fois un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et on a noté les fréquences d'apparition dans le tableau ci-dessous :
	
	\smallskip
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Numéro de la face apparente & 1& 2& 3& 4& 5& 6 \\ \hline
Fréquence d'apparition&$\dfrac{3}{15}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{5}{15}$&$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{1}{15}$ &\dots\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
	\end{tabularx}
	
	\smallskip
	
	\textbf{Affirmation \no 4 :} \og{}la fréquence d'apparition du 6 est 0 \fg{}.
	
	\item On considère un triangle RAS rectangle en S.
	
Le côté [AS] mesure 80 cm et l'angle $ \widehat{\mathrm{ARS}} $ mesure $26\degres$.
	
	\textbf{Affirmation \no 5 :} le segment [RS] mesure environ 164~cm.
	
	\item Un rectangle ABCD a pour longueur 160 cm et pour largeur 95~cm.
	
	\textbf{Affirmation \no 6 :} les diagonales de ce rectangle mesurent exactement 186~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 21 points}

	Une athlète a réalisé un triathlon d’une longueur totale de 12,9 kilomètres. Les trois épreuves se déroulent dans l’ordre suivant :
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{14 cm}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
		Épreuve \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (8pt) node (x) {1};}\rule{0pt}{14pt} :     & Épreuve \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (8pt) node (x) {2};} :     & Épreuve \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (8pt) node (x) {3};} : \\
		Natation          & Cyclisme          & Course à pied. \\
		Distance = 400 m  &                   & Distance = 2,5 km\\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}

	Entre deux épreuves, l’athlète doit effectuer sur place un changement d'équipement.
	
	Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par l’athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minute) de l’athlète pendant son triathlon.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=1.8mm,y=9mm,> = latex]
			\draw [gray,xstep=5,ystep=1] (0,0) grid (65,15);
			\draw[<->] (0,15.2) node [above right] {\textbf{Distance en kilomètre}}--(0,0)--(66,0) node[shift={(0,-1)}, left] {\textbf{Temps en minute}};
			\foreach \x in {5,10,...,60}{
				\draw (\x,2pt)--(\x,-2pt) node [below] {\x};}
				%%%%%%%%
           \foreach \y in {1,2,...,15}{
                \draw (2pt,\y)--(-2pt,\y) node [left] {\y};}
            \node at (0,0) [below left] {0};
	
				%%%%%%%%
			\draw[line width=0.8pt] (0,0)--(14,0.4)--(15,0.4)--(42,10.4)--(44,10.4)--(56,12.9);
			\foreach \c in {(14,0.4),(15,0.4),(42,10.4),(44,10.4),(56,12.9)}
				\draw[shift=\c,line width=0.8pt] (-3pt,0)--(3pt,0) (0,3pt)--(0,-3pt);
			\draw[fill = white] (7,.8) circle (8pt) node (x) {1};
			\draw[fill = white] (27.2,6.1) circle (8pt) node (y) {2};
			\draw[fill = white] (52.5,11.3) circle (8pt) node (z) {3};
			\draw (42,10.4) node[above left] {M};
			\draw[<-](14,0.6)--(14,5) node[text width=38 mm, align = center, fill=white, draw] {Premier changement d'équipement};
			\draw[<-](43,10.6)--(43,14.2) node[text width=38 mm, align = center, fill=white, draw] {Deuxième changement d'équipement};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	

Le point M a pour abscisse 42 et pour ordonnée 10,4.
	
À l’aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu’il permet, répondre aux questions suivantes, en justifiant la démarche.

\medskip
	
	\begin{enumerate}
		\item Au bout de combien de temps l’athlète s’est-elle arrêtée pour effectuer son premier changement d'équipement ?
		
		\item Quelle est la longueur, exprimée en kilomètre, du parcours de l'épreuve de cyclisme ?
		
		\item En combien de temps l’athlète a-t-elle effectué l'épreuve de course à pied ?
		
		\item Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l’athlète a été la moins rapide ?
		
		\item On considère que les changements d'équipement entre les épreuves font partie du triathlon.
		
		La vitesse moyenne de l’athlète sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à 14 km/h ?
	\end{enumerate}
	
\newpage
	
\textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 16 points}
	
\begin{minipage}[t]{7 cm}
		\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.}
		
		On a construit un carré ABCD. 
		
		\smallskip
		
		On a construit le point O sur la droite (DB), à
		l'extérieur du segment [DB] et tel que : OB = AB.
		
		\smallskip
		
		Le point H est le symétrique de D par rapport à O.
		
		\bigskip
		
		On a obtenu la figure ci-contre en utilisant plusieurs
		fois la même rotation de centre O et d'angle 45°.
		
		\bigskip
		
		La figure obtenue est symétrique par rapport à l’axe
		(DB) et par rapport au point O.
\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tikzpicture}[baseline={(D)}]
		\foreach \a in {0,45,...,315}
			\draw [line width=0.8pt] (0+\a:1.414)--++(-45+\a:1.414)--++(45+\a:1.414)--++(135+\a:1.414)--cycle;
		\foreach \a/\l in {2/E,3/F,4/G,6/I,7/J,8/K}
			\draw (135-\a*45:2.414) circle (7pt) node {\a}
			(135-\a*45:3.7) node{\l};
		\draw (0.4,2.414) circle (7pt) node {1};
		\draw (-0.4,-2.414) circle (7pt) node {5};
		\draw[line width=0.8pt] (0,-4)--(0,4) 
		(-3pt,-3pt)--(3pt,3pt) (-3pt,3pt)--(3pt,-3pt) (1pt,0)node[right] {O};
		\node (A) at (67.5:2.6) [above right]{A};
		\node (B) at (90:1.414) [below right] {B};
		\node (C) at (112.5:2.6) [above left] {C};
		\node (D) at (90:3.7) [right] {D};
		\node (H) at (-90:3.7) [left] {H};
	\end{tikzpicture}

	\begin{enumerate}
		\item Donner deux carrés différents, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe (DB).
		
		\item Le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {3};} est-il l’image du carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {8};} par la symétrie centrale de centre O ?
		
		\item On considère la rotation de centre O qui transforme le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {1};} en le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {2};}.
		
		Quelle est l’image du carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {8};} par cette rotation ?
		
		\item On considère la rotation de centre O qui transforme le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {2};} en le carré \tikz[baseline=(x.base)]{\draw (0,0) circle (7pt) node (x) {5};}.
		
		Préciser l’image du segment [EF] par cette rotation.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill  16 points}

	\begin{minipage}{12cm}
		\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.}
		
		On dispose d’un tableau carré ci-contre partagé en neuf cases blanches de mêmes dimensions qui constituent un motif.
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
		\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
							(0,1)/white,(1,1)/white,(2,1)/white,
							(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
	\end{tikzpicture}
		
	\medskip
	
	Quatre instructions A, B, C et E permettent de changer l'aspect de certaines cases, lorsqu'on applique ces instructions. Ainsi:
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\centering \arraybackslash}m{2cm} | m{8cm} | >{\centering \arraybackslash}X |} \hline
		Instruction & Descriptif & Effet de l'instruction   \\ \hline
		A &   La case centrale du motif est noircie.  & 
		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
			\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
			\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
				(0,1)/white,(1,1)/gray!50,(2,1)/white,
				(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
		\end{tikzpicture}  \\ \hline
		B &   Dans le motif, la case en bas à gauche et la case en haut à droite sont noircies. & 
				\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
			\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
			\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/white,(2,0)/white,
				(0,1)/white,(1,1)/white,(2,1)/white,
				(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/gray!50}
			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
		\end{tikzpicture}  \\ \hline
		
		C &   Dans le motif, la case médiane à gauche et la case médiane à droite sont noircies. & 
				\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
			\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
			\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
				(0,1)/gray!50,(1,1)/white,(2,1)/gray!50,
				(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
		\end{tikzpicture}  \\ \hline
		
		
		E &  Les couleurs du motif sont inversées: les cases blanches deviennent noires et les les cases noires deviennent blanches.&
				\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
			\clip (-0.2,-0.2) rectangle (3.2,3.2);
			\draw[] (0,0) rectangle (3,3) ;
			\node (t) at (1.5,1.5) [text width=1.5cm, align=center] {Inverser\\ les\\ couleurs};
		\end{tikzpicture}  \\ \hline

	\end{tabularx}

\smallskip

\emph{Remarque} : si une case du motif est déjà noire et une instruction demande de la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire à la suite de cette instruction.
	
\smallskip
	
\emph{Exemples} : à partir d’un motif dont toutes les cases sont blanches:
	
		\begin{tabularx}{\linewidth}{X c @{\hspace{5mm}}|@{\hspace{5mm}} X c} 
		la suite d'instructions A C permet d'obtenir ce motif &
		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
			\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/white,(2,0)/white,
								(0,1)/gray!50,(1,1)/gray!50,(2,1)/gray!50,
								(0,2)/white,(1,2)/white,(2,2)/white}
				\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);

		\end{tikzpicture}&
		la suite d'instructions A C E permet d'obtenir ce motif &
		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(current bounding box.center)}]
			\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
								(0,1)/white,(1,1)/white,(2,1)/white,
								(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
					\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
		\end{tikzpicture}\\		
	\end{tabularx}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d’un motif dont toutes les cases sont blanches.
	
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le motif obtenu avec la suite d'instructions A B.
		
		\item \begin{minipage}[t]{11 cm}
Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d'obtenir le motif ci-contre. Lesquelles ?
			
			\smallskip 
			
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\bfseries Proposition \no }l <{ :} @{~} X}}
1 & A B C   & 3 & B C E C\\ [6pt]
2 & C E     & 4 & C A E A\\
\end{tabularx}
		\end{minipage}
		\hfill
		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(0,1.6)}]
			\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
								(0,1)/white,(1,1)/gray!50,(2,1)/white,
								(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
				\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
		\end{tikzpicture}
		
		\item \begin{minipage}[t]{11 cm}
Donner une suite d'instructions qui permet d'obtenir le motif ci-contre.	
		\end{minipage}
		\hfill
%		\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(0,0.8)}]
%			\foreach \xy/\c in {(0,0)/gray!50,(1,0)/gray!50,(2,0)/white,
%								(0,1)/gray!50,(1,1)/white,(2,1)/gray!50,
%								(0,2)/white,(1,2)/gray!50,(2,2)/gray!50}
%			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
%		\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm, baseline={(0,0.8)}]
			\foreach \xy/\c in {(0,0)/white,(1,0)/gray!50,(2,0)/gray!50,
								(0,1)/gray!50,(1,1)/white,(2,1)/gray!50,
								(0,2)/gray!50,(1,2)/gray!50,(2,2)/white}
			\draw[fill=\c, shift={\xy}] (0,0) rectangle (1,1);
		\end{tikzpicture}
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill  21 points}

\medskip

On souhaite rénover une salle de bain qui a la forme d’un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n’en colle pas sur la porte, ni sur la fenêtre.
	
Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètre :
	
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=0.9cm,> = latex]
		\draw  (0,0) rectangle (9.6,6.1)
			   (2.3,0) rectangle (4.9,4.9)	
			   (0,6.1)--(4,9)--(13.7,9)--(13.7,2.9)--(9.6,0)
			   (9.6,6.1)--(13.7,9);
		\draw[dash pattern=on 2mm off 1.5mm] 
				(0,0)--(4,2.9)--(13.7,2.9)
				(4,2.9)--(4,9)
				(6.4,5.5) rectangle (9.3,8)
				(7.85,5.5)--(7.85,8)
				(6.4,6.75)--(9.3,6.75);
		\draw[<->, shift={(0,-0.25)}] (0,0)--(9.6,0)
		node[below,pos=0.5]{3,50};
		\draw[<->, shift={(-57:0.25)}] (9.6,0)--(13.7,2.9)
		node[below right,pos=0.5]{2,50};
		\draw[<->, shift={(0.25,0)}] (13.7,2.9)--(13.7,9)
		node[right,pos=0.5]{2,50};
		\draw[<->, shift={(-0.25,0)}] (2.3,0)--(2.3,4.9)
		node[left,pos=0.5]{2,10};
		\draw[<->, shift={(0,0.25)}] (2.3,4.9)--(4.9,4.9)
		node[above,pos=0.5]{0,80};
		\draw[<->, shift={(-0.25,0)}] (6.4,5.5)--(6.4,8)
		node[left,pos=0.5]{1,20};
		\draw[<->, shift={(0,0.25)}] (6.4,8)--(9.3,8)
		node[above,pos=0.5]{1,60};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
	
	On dispose des informations suivantes :
	
	\fbox{\rule[-2.1cm]{0mm}{4.4cm}\begin{minipage}{0.53\linewidth}
			Prix du papier peint :
			
			\begin{itemize}[label=\textbullet,leftmargin=*]
				\item le papier peint est vendu au rouleau entier ;
				
				\item un rouleau coûte 16,95 \euro{};
				\item un rouleau permet de recouvrir 5,3 m$^2$.
			\end{itemize}
			\emph{Conseil du vendeur :} 
			
			prévoir 1 rouleau de papier peint en plus afin de compenser les pertes liées aux découpes.
	\end{minipage}}
	\hfill
	\fbox{\rule[-2.1cm]{0mm}{4.4cm}\begin{minipage}{0.42\linewidth}
		Prix de la colle :
		\begin{itemize}[label=\textbullet,leftmargin=*]
			\item la colle est vendue au pot entier ;
			\item un pot a une masse de 0,2 kg;
			\item un pot coûte 5,70 \euro{}.
		\end{itemize}
				\emph{Conseil du vendeur :}
		
		compter 1 pot de colle pour 4 rouleaux de papier peint.		
	\end{minipage}}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la surface à recouvrir de papier peint est de 26,4 m$^2$.
		
		\item Calculer le prix, en euro, d’un mètre carré de papier peint.
		Arrondir au centime d'euro.
		
		\item Si on suit les conseils du vendeur, combien coûtera la rénovation de la salle de bain ?
		
		\item Le jour de l'achat, une remise de 8 \% est accordée.
		
		Quel est le prix à payer après remise ? Arrondir au centime d'euro.
	\end{enumerate}

\end{document}