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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1992}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire :

\[\begin{array}{l c l}
A &=& 5\left(3x^2 + 2\right) + 3\left(x^2 - 9x\right) ;\\
B &=& (3x - 2)(6x - 5)\\
C &=&(4x - 3)^2+(2x - 1)(x - 1)
\end{array}.\]

\item Résoudre l'équation:

\[(3x - 2)(6x - 5) = 0.\]

\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en y portant les valeurs prises par


\[D = 18x^2- 27x + 10\]

 pour les valeurs indiquées de $x$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeurs prises par $x$	&0	&$\dfrac13$	& 0,5	& 1 	&2\\ \hline
Valeurs prises par 
$D = 18x^2 - 27x + 10$	&10	&			&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II}

\medskip

La consommation en carburant d'un engin de travaux public s'évalue en litres par heure de fonctionnement.

Cette consommation est variable et dépend du travail qui est demandé comme indiqué dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
TRAVAIL DEMANDÉ	&CONSOMMATION en LITRES par HEURE\\ \hline
Déplacement 	&8\\ \hline
Chargement 		&12\\ \hline 
Terrassement 	&20\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

Dans ce graphique, la ligne ABCDEF représente les variations du volume de gazole dans le réservoir de l'engin au cours d'une matinée d'emploi entre $6$~h et $12$~h.

\begin{center}
\psset{xunit=0.0275cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-20,-10)(370,85)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(370,85)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,50)(75,40)(165,10)(210,10)(210,70)(360,40)
\psline[linestyle=dashed](0,70)(210,70)(210,0)
\psline[linestyle=dashed](0,40)(360,40)(360,0)
\psline[linestyle=dashed](0,10)(165,10)(165,0)
\psline[linestyle=dashed](210,10)(210,0)
\psline[linestyle=dashed](75,40)(75,0)
\uput[u](0,50){A}\uput[u](75,40){B}\uput[u](165,10){C}\uput[dl](210,10){D}\uput[u](210,70){E}\uput[r](360,40){F}
\multido{\n=0+60,\na=6+1}{7}{\uput[d](\n,-5){\na h}}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel volume de gazole y-a-t-il dans le réservoir à 6 h ? à
12 h ?
\item À quelle heure a-t-on refait le plein du réservoir ?

Combien de litres y a-t-on mis ?
\item Combien de gazole l'engin a-t-il consommé entre 9~h 30 et
12 h ?

À quelle consommation horaire cela correspond-il ?
\item Interpréter le graphique segment par segment.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III}

 Montrer que les nombres :

\[A = \sqrt{600} - \sqrt{24} ; B = \sqrt{14} \sqrt{21} ;\, C = \left(3\sqrt{2} -\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3} + \sqrt{2}\right).\]

peuvent s'écrire sous la forme $A = a\sqrt{6} ; B = b\sqrt{6}$ et $C = c\sqrt{6}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres entiers.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(O, I, J) est un repère orthonormal. L'unité de longueur est
le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A de coordonnées $(- 2~;~1)$, \:
B de coordonnées (0~;~3), \: E de coordonnées $(1 ; - 2)$.
\item Calculer les coordonnées du vecteur AB et en déduire les coordonnées du point F, image de E dans la translation de vecteur AB.
\item Écrire l'équation de la droite (AB).
\item Tracer le quadrilatère ABFE. Quelle est sa nature ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On fait un sondage auprès d'un ensemble de votants pour connaître leurs choix à l'égard des cinq candidats à une élection: A, B, C, D,E.

Pour présenter les résultats sur un diagramme en demi-cercle, on a commencé le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
CANDIDAT &A &B&C&D&E\\ \hline

Pourcentage d'électeurs ayant voté pour:&10\,\%&20\,\% &15\,\%&25\,\%& 30\,\%\\ \hline
Angle au centre associé dons le diagramme en demi-cercle:&$18\degres$&\ldots&\ldots&\ldots&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Reproduire et compléter ce tableau et le diagramme en demi-cercle correspondant

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(1.5,1.5)
\psarc(0,0){1.5}{0}{180}
\pswedge[fillstyle=hlines](0,0){1.5}{162}{180} \uput[ul](1.5;171){A}
\psline(0,0)(1.5,0)
\uput[ur](1.5;15){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

III - Les dimensions d'un parallélépipède rectangle sont indiquées ur le dessin en perspective ci-dessous :
(AB $= 7,5$ cm ; BC $= 6$ cm ; AE $= 8$ cm).

\begin{center}
\psset{unit=1.cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.4,7.8)
\psframe(0.5,0.5)(4.5,5)%ABFE
\psline(4.5,0.5)(6.7,2.8)(6.7,7.3)(4.5,5)%BCGF
\psline(6.7,7.3)(2.7,7.3)(0.5,5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](6.7,2.8)(2.7,2.8)(4.5,0.5)(2.7,7.3)%CDBH
\pspolygon[linestyle=dashed](2.7,2.8)(0.5,0.5)(2.7,7.3)%DAH
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.3)(4.5,0.3)\uput[d](2.5,0.3){7,5 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.5)(0.3,5)\uput[l](0.3,2.75){8 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.7,0.5)(6.9,2.8)\uput[d](5.95,1.65){6 cm}
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](4.5,0.5){B} \uput[ur](6.7,2.8){C} \uput[d](2.7,2.8){D}
\uput[ul](0.5,5){E} \uput[r](4.5,5){F} \uput[u](6.7,7.3){G} \uput[u](2.7,7.3){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la longueur de HA est de 10 cm.
\item Calculer $\cos \widehat{\text{HAD}}$. En déduire la mesure, à un degré près, de 
$\widehat{\text{HAD}}$.
\item Calculer la longueur de HB puis la mesure à un degré près
de $\widehat{\text{AHB}}$.
\item Calculer le volume de la pyramide de sommet H et de base le triangle DAB.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Cette figure est formée d'un triangle rectangle ABC posé sur un rectangle BDEF.

L'unité étant le centimètre, on donne :

AB $= 6$ ; CD $= 1$ ;  BF $= 2$ ; BC $= x$.

\begin{center}
\psset{unit=1.cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,8.5)
\pspolygon(0.8,0.5)(0.8,8.5)(4.8,2.6)(6,2.6)(6,0.5)%FACDE
\psline[linestyle=dashed](0.8,2.6)(4.8,2.6)%BC
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.8,2.8)(6,2.8)\uput[u](5.4,2.8){1 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,2.4)(4.8,2.4)\uput[d](2.6,2.4){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,0.5)(0.6,2.6)\uput[l](0.6,1.55){2 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,2.6)(0.6,8.5)\uput[l](0.6,5.55){6 cm}
\uput[u](0.8,8.5){A} \uput[ur](0.8,2.6){B} \uput[ul](4.8,2.6){C}
\uput[dl](6,2.6){D} \uput[dr](6,0.5){E} \uput[dl](0.8,0.5){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $x$ l'aire du triangle ABC et porter
le résultat dans le tableau du 2.
		\item Calculer en fonction de $x$ l'aire du rectangle BDEF et porter le résultat dans le tableau du 2.
		\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle ABC est-elle égale à l'aire du triangle BDEF ?
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
longueur de BC en cm& $x$&3&&\\ \hline
Aire du triangle ABC en cm$^2$&&&12&\\ \hline
Aire du rectangle BDEF en cm$^2$&&&&16\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer dans un repère orthonormal, (unité 1cm), la droite $D_1$ d'équation $y = 3x$ et la droite $D_2$ d'équation $y =2x + 2$.
		\item On appelle I le point d'intersection de $D_1$ et de $D_2$.
		
 Calculer les coordonnées du point I et les vérifier en les faisant
apparaître sur le graphique.
	\end{enumerate}
\item En tournant autour de l'axe AF la figure engendre un cône posé sur un cylindre.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $x$ l'aire du disque de rayon BC, et l'aire du disque de rayon BD.
		\item Calculer en fonction de $x$ le volume du cylindre de hauteur DE $= 2$ et de base le disque de rayon BD.
		\item Calculer en fonction de $x$ le volume du cône de sommet A et de base le disque de rayon BC.
		\item Montrer que, quel que soit $x$, le volume du cône sera toujours inférieur au volume du cylindre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3,-2.2)(3,5.5)
%\psgrid
\psellipticarc(0,0)(1.7,0.7){180}{360}
\psline(-1.7,0)(0,5.1)(1.7,0)
\psellipticarc(0,0)(2.75,1.2){180}{360}
\psellipticarc(0,0)(2.75,1.2){0}{37}
\psellipticarc(0,0)(2.75,1.2){143}{180}
\psellipticarc(0,-1)(2.75,1.2){180}{360}
\psline[linestyle=dashed](0,5.1)(0,0)\uput[r](0,2.55){6 cm}
\psline(-2.75,0)(-2.75,-1)\psline(2.75,0)(2.75,-1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.95,0)(2.95,-1)\uput[r](2.95,-0.5){2 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0)(1.7,0)\uput[u](0.85,0){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.7,0)(2.75,0)\uput[u](2.225,0){1 cm}
\uput[u](0,5.1){A} \uput[l](0,0){B} \uput[dr](1.7,0){C} \uput[ur](2.75,0){D} \uput[dr](2.75,-1){E}
\end{pspicture}
\end{center}












\end{document}