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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Amiens}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'expression $A = (2x - 1)(x + 3) - (2x - 1)^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer puis réduire cette expression.
		\item Écrire $A$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
	\end{enumerate}	
\item Soit $A = - 2x^2 + 9x - 4.$

Calculer les valeurs exactes de $A$ pour $x = 0$ ; $x = -\dfrac13$
et $x = \sqrt 2$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 1)(- x + 4) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La documentaliste d'un collège a fait le bilan des emprunts de livres par les 100 élèves de 6e. Le diagramme en bâtons ci-dessous présente par les résultats.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(12,17)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(12,17)
\multido{\n=1+1,\na=0+1}{11}{\uput[d](\n,0){\small \na}}
\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,6)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,11)
\psline[linewidth=1.5pt](3,0)(3,9)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,15)
\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,5)
\psline[linewidth=1.5pt](6,0)(6,11)
\psline[linewidth=1.5pt](7,0)(7,3)
\psline[linewidth=1.5pt](8,0)(8,10)
\psline[linewidth=1.5pt](9,0)(9,14)
\psline[linewidth=1.5pt](10,0)(10,7)
\psline[linewidth=1.5pt](11,0)(11,8)
\uput[r](0,16.7){Nombre d'élèves}
\uput[d](8.5,-1){Nombre de livres empruntés par élève}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Utiliser ce diagramme pour compléter le tableau suivant (à reproduire sur la copie).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{3.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de livres qu'un élève peut emprunter&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
Nombre d'élèves suivant le nombre
de livres qu'ils  ont empruntés&6 &11 &9 &15&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer le nombre total de livres empruntés par les élèves.
\item Calculer le nombre moyen de livres empruntés par élève.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre d'élèves ayant emprunté $6$~livres ou davantage?
		\item En déduire le pourcentage d'élèves ayant emprunté $6$~livres ou davantage.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC inscrit dans un cercle de centre O et 
de $4$~cm de rayon tel que : BC $= 7$ cm, $\widehat{\text{ABC}} = 50\degres$, A et O étant du même côté par rapport à (BC).
\item Construire A$'$ la projection orthogonale de A sur (BC) et C$'$ celle de C sur (AB).

Calculer la mesure de $\widehat{\text{BCC}'}$.
\item (AA$'$) et (CC$'$) se coupent en H.

Que représente H pour le triangle ABC ?

En déduire que (BH) est perpendiculaire à (AC).
\item (AH) recoupe le cercle en D.

On rappelle que, dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

Démontrer que : $\widehat{\text{BAD}} = \widehat{\text{BCD}} = 40\degres$.
\item En déduire que (BC) est la bissectrice de $\widehat{\text{DCC}'}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour réaliser un décor le long d'une autoroute, une entreprise fabrique des bornes en béton qui ont la forme de pyramides régulières à base carrée de $1,5$~m de côté et de $1,20$~m de hauteur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que le volume d'une pyramide est
$V = \dfrac13 B \times h$, \: $B$ étant l'aire de la base et $h$ la hauteur, calculer $B$ en m$^2$ et $V$ en m$^3$ pour une borne.
\item Combien peut-on fabriquer de pyramide avec $30$ m$^3$ de béton?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Soit OAB un triangle isocèle rectangle en O avec OA = 4 cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4,4)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.6,0.2)(3.6,3.6)%BOA
\psline(1.85,0.1)(1.95,0.3)\psline(1.9,0.1)(2,0.3)
\psline(3.5,1.85)(3.7,1.95)\psline(3.5,1.9)(3.7,2)
\psframe(3.6,0.2)(3.4,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](3.6,0.2){O} \uput[ur](3.6,3.6){A}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter la figure ci-contre en construisant le symétrique D de A par rapport à (BO).
\item On considère la rotation de centre O qui transforme B en A.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la mesure de l'angle de cette rotation ?
		\item Construire le point C, image de A par cette rotation.
		\item Démontrer que les points B, O et C sont alignés.
		\item Démontrer que O est milieu de [BC].
	\end{enumerate}	
\item  Démontrer que ABDC est un carré.
\item E est le point de [AB] tel que AE $= 4$ cm.

La parallèle à (BC) passant par E coupe [OA] en F{}.

Calculer AB et AF.
\item On rapporte le plan à un repère orthonormal (O, I, J) tel que I appartient à [OC] et J à [OA], l'unité étant le centimètre.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées de A ; de B ; de D ?
		\item Calculer les coordonnées de M milieu de [AB].
	\end{enumerate}	
\item Calculer MC, puis une valeur approchée de $\widehat{\text{ACM}}$
à $1\degres$ près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}