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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Antilles--Guyane}
\lfoot{\small juin 1992}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Antilles--Guyane juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression $F(x) = (x - 5)^2 - 16$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $F(x)$.
\item Résoudre l'équation $F(x) = 0$.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un magicien demande à un spectateur : 

\begin{itemize}
\item de penser à un nombre $x$,
\item de multiplier ce nombre $x$ par 2,
\item de retrancher $3$ à ce produit.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu.
\item Le spectateur annonce comme résultat 151.

Quelle était la valeur du nombre $x$ pensé au départ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Voici la première strophe du poème d'Arthur Rimbaud intitulé \og Sensation \fg{} :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{X}
\og Par les soirs bleus d'été, j'irai dans les sentiers,\\
Picoté par les blés, fouler l'herbe menue :\\
Rêveur, j'en sentirai la fraîcheur à mes pieds.\\
Je laisserai le vent baigner ma tête nue. \fg
\end{tabularx}
\end{center}

On a compté les voyelles utilisées dans cette strophe. Il y en a $62$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On arrondira à l'unité les fréquences exprimées en pourcentage.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Voyelles&a &e &i&o&u&y&Total\\ \hline
Effectifs &&30&&&&&62\\ \hline
Fréquences (en \,\%)&&48&&&&&100\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Réaliser un diagramme en bâtons des effectifs (0,5 cm pour une unité).
\end{enumerate}

%\begin{enumerate}
%\item
%\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le Maroni est le fleuve qui sépare la Guyane française de son voisin le Surinam. Les élèves du collège ont effectué les mesures indiquées sur le schéma suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14,5.8)
\pscurve(3,4.2)(4,4)(5,3.9)(6,4.1)(7,4)(8,3.8)(9,4)(10,3.92)(11,3.7)(12,4)(13,3.85)(14,4)
\pscurve(3,1.8)(4,2.05)(5,1.9)(6,2.1)(7,1.94)(8,2.08)(9,1.92)(10,2.04)(11,1.8)(12,2.12)(13,1.85)(14,2.2)
\pspolygon(9.5,1.6)(11.4,1.6)(9.5,4.7)%ABC
\rput(4.5,5){SURINAM}\rput(5.2,0.8){GUYANE FRANÇAISE}
\rput(5,3){Fleuve Maroni}
\uput[l](9.5,1.6){A} \uput[r](11.4,1.6){B} \uput[u](9.5,4.7){C}
\rput(1.1,3.5){AB = 150 m}
\rput(1.,2.7){$\widehat{\text{ABC}} = 87\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

Sachant que le triangle ABC est rectangle en A, calculer au mètre près, la distance entre les points A et C.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, les droites (D) et (D$'$) sont parallèles. 

On donne les mesures suivantes:

\begin{center}GI = 15 cm,\quad GF = 5 cm,\quad  GH = 12 cm,\quad  EF = 4 cm.\end{center}

Calculer GE et IH.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,6.5)
%\psgrid
\psline(0,1)(9.5,1)\psline(0,5.5)(9.5,5.5)
\psline(1.8,0)(6.6,6.5)%HF
\psline(2.5,6.5)(9.5,0)%EI
\uput[d](3.6,5.5){E} \uput[d](5.85,5.5){F} \uput[r](4.92,4.23){G} \uput[dr](2.55,1){H} 
\uput[d](8.4,1){I} \uput[u](1,5.5){(D)} \uput[u](1,1){(D$'$)} \uput[u](4.72,5.5){4} 
\uput[dr](5.36,4.85){5} \uput[ul](3.7,2.6){12} \uput[ur](6.65,2.6){15}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère une pyramide SABC de sommet S. [SA] est la hauteur de la pyramide et la base ABC est un triangle rectangle en A. 

Les dimensions en centimètres sont portées sur la figure. (Les unités ne sont pas respectées).

Soit I le milieu du segment [BC]. 

Le but de l'exercice est de calculer la longueur SI.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.3,5.1)
\psline(2.1,2.1)(2.1,4.7)(0.2,0.2)(7.8,1.9)(2.1,2.1)(0.2,0.2)%ASBCAB
\psline(2.1,4.7)(7.8,1.9)%SC
\uput[u](2.1,4.7){S} \uput[l](2.1,2.1){A} \uput[d](0.2,0.2){B} \uput[r](7.8,1.9){C} \uput[dr](4,1.05){I}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](4,1.05)
\psline(2.3,2.1)(2.15,1.95)(1.95,1.95)
\uput[r](2.1,3.4){5}\uput[dr](1.2,1.5){4,8}
\uput[u](4.95,2){6,4}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC.
\item Montrer que IA = IB = IC.
\item On sait que le triangle SAI est rectangle en A. 

Calculer la valeur exacte de SI puis une valeur arrondie au millimètre près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), l'unité étant le centimètre, on considère les points : 

\begin{center}A(3~;~5),\quad B(7~;~5) \quad et \quad C(2~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire ces points sur une feuille de papier millimétré.
\item Tracer la droite $\Delta_1$ d'équation : $x = 5$.

Montrer que $\Delta_1$ est la médiatrice du segment [AB].
\item Tracer la droite (BC). Montrer qu'elle admet pour équation: $y = x - 2$.
\item Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC]. 

Tracer la médiatrice $\Delta_2$ du segment [BC].

Montrer qu'elle admet pour équation: $y = - x + 7$ 
\item Soit S le point d'intersection des droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$.

Calculer les coordonnées de S.
\item Tracer le cercle de centre S et passant par A. 

Que représente ce cercle pour le triangle ABC ? 

Calculer son rayon.
\end{enumerate}
\end{document}