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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Antilles--Guyane}
\lfoot{\small juin 2000}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible :

\[A = \left(\dfrac53 - \dfrac19\right) \div \left(\dfrac12 + \dfrac23\right).\]

\item Écrire $B$ sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont deux entiers, $b$ le plus petit possible : 

\[B = 5\sqrt{27} - 3\sqrt 3 + \sqrt{112}.\]

\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression :

\[C = (2x + 1)^2 - 16.\]

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = - 2$, puis pour $x = \dfrac13$.
\item Factoriser D.
\item Résoudre l'équation $(1 - 3x)(3x + 11) = 0$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un grand magasin, le prix des compact-disques, en abrégé \og CD \fg{} est
unique, ainsi que celui des bandes dessinées, en abrégé \og BD \fg.

 Loïc achète 2 CD et 3 BD pour 330 francs.

Tania achète 4 CD et une BD pour 410 francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les équations qui traduisent le texte.
\item Résoudre le système d'équations et donner le prix d'un CD et le prix d'une BD.
\item Un mois plus tard, le magasin propose une réduction de 10\,\% sur les CD et 15\,\% sur les BD. 

Combien aurait alors payé Loïc ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous n'est pas dessinée en vraie grandeur. 

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,4)
%\psgrid
\psline(0,2)(7,2)
\psline(0.7,3.4)(3,0)%FE
\psline(3.4,3.8)(5.7,0)%CB
\psline(4.7,3.6)(6.8,0)%NM
\psline(0,0.5)(6.7,3.7)%EACN
\uput[ur](1.63,2){F} \uput[d](2,1.46){E} \uput[u](3.1,2){A}
\uput[l](4.2,2.55){C} \uput[dl](4.5,2){B} \uput[ur](5.1,2.96){N} \uput[dl](5.62,2){M} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On donne : AC $= 3$ cm; AN $= 5$ cm; AB $= 4,2$ cm; MN $= 3,5$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AM et BC.
\item On sait que AF $= 2,7$ cm et AE $= 2$ cm.

Les droites (FE) et (MN) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}Un récipient a une forme conique et a pour dimensions:
OM $= 5$ cm et OS $= 10$ cm

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en cm$^3$ le volume du récipient.
(On donnera une valeur approchée au dixième près.)
\item On remplit d'eau le récipient jusqu'au point O$'$, O$'$S vaut 5,3 cm.

On sait que le cône formé par le liquide est une réduction du premier cône
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le coefficient de la réduction.
		\item Calculer une valeur approchée du volume d'eau.
	\end{enumerate}
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{SMO}}$. 
\item Donner une valeur approchée de $\widehat{\text{SMO}}$ au degré près.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-6)(2.4,0.5)
\psellipse(0,0)(2.2,0.4)
\psellipticarc[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,-2.3)(1.38,0.3){0}{180}
\psellipticarc(0,-2.3)(1.38,0.3){180}{360}
\uput[u](0,0){O}\uput[r](2.2,0){M}\uput[ur](0,-2.3){O$'$}\uput[d](0,-6.2){S}
\psline(2.2,0)(0,-6.2)(-2.2,0)%MSM'
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](2.2,0)(-2.2,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,-6.2)(0,0)%SO
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](1.38,-2.3)(-1.38,-2.3)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé (O, I, J), placer les points : A$(-4~;~2)$, B$(-1~;~-3)$ et C(4~;~0).
\item Calculer les longueurs AB, AC et BC.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
\item Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme.

Montrer que les coordonnées de D sont (1~;~5).
\item Préciser alors la nature du quadrilatère ABCD et justifier la réponse.
\item On considère deux fonction affines $f$ et $g$ de représentations graphiques respectives (AC) et (BD).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'expression de $f$ est définie par $f(x) = - \dfrac14 x + 1$.
		\item Déterminer l'expression de $g$.
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection des droites (AC) et (BD).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
Soit un triangle ABC tel que AB $= 7,5$ cm, AC $= 4,5$ cm et BC $= 6$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point E du segment [AB] tel que BE $= 5$ cm. Le cercle de diamètre [BE] coupe le coté [BC] en F.
		\item Montrer que le triangle BFE est rectangle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites (FE) et (AC) sont parallèles.
		\item Calculer FB et FE.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\sin \widehat{\text{BAC}}$
		\item Donner une valeur approchée au degré près de $\widehat{\text{BAC}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%
Construire un parallélogramme EFGH et I le milieu de [EF].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item On considère la translation de vecteur.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de E ?
		\item Quelle est l'image de F? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Construire le point J, translaté du point I dans la translation de vecteur . 	

Que représente le point J pour le segment [GH]? Justifier la réponse. 	
\item Construire le point K tel que .

Montrer que J est le milieu de [EK].
\end{enumerate}
