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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Australie }
\lfoot{\small juin 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Australie  juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


Calculer, en faisant apparaître les étapes du calcul, les nombres $A,\: B,\: C,\: D$. (On donnera le résultat sous forme d'un nombre entier ou d'une fraction irréductible).


\[A = \dfrac23  + \dfrac53 \times 2\:, \qquad B = \left(\dfrac13 - 1\right) : \left(\dfrac56 - \dfrac49 \right);\]

\[C = \dfrac{10^{-3} \times  12\times  10^7}{3 \times  10^3 \times  10^{-4} \times  8}\:, \qquad 
D = \left(2\sqrt 7 - 5\right)\left(2\sqrt 7 + 5\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire $E$ sous la forme $a\sqrt 5$, avec $a$ entier :

\[E = \sqrt{80} - 10\sqrt{20} + 2\sqrt{45}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $F$ et écrire le résultat sous forme simplifiée :

\[F = (4x - 3)^2 - 12x(x - 1).\]

En déduire l'expression de $F$ sous forme d'un carré.
\item Résoudre les équations suivante
	\begin{enumerate}
		\item $(2x + 5) (x - 3) = 0$.
		\item $x^2 = 13$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit SABCD une pyramide régulière à base carrée.

On donne les dimensions. suivantes en mètres : AB $= 4$,\: SA $= 6$,\: SO $= 2\sqrt 7$. 

On admet que le triangle SOA est rectangle en O.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.7)(2,3.5)
\psline(0,3)(-1.8,-0.5)(1.2,-0.5)(0,3)(1.8,0.5)(1.2,-0.5)%SDASBA
\psline[linestyle=dashed](1.8,0.5)(-1.2,0.5)(1.2,-0.5)%BCA
\pspolygon[linestyle=dashed](-1.8,-0.5)(-1.2,0.5)(1.8,0.5)%DCB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3)(-1.2,0.5)%OSC
\uput[dr](1.2,-0.5){A} \uput[r](1.8,0.5){B} \uput[d](-1.2,0.5){C}
\uput[dl](-1.8,-0.5){D} \uput[d](0,0){O} \uput[u](0,3){S}
\psline(0,0.2)(0.18,0.15)(0.18,-0.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée de $\widehat{\text{OSA}}$ à 1 degré près par
défaut.
\item Donner une valeur exacte du volume de la pyramide.
\item On réalise une maquette de cette pyramide à l'échelle $\dfrac14$.

Donner une valeur exacte du volume de la maquette, puis une valeur approchée, arrondie au dm$^3$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Toutes les données sont indiquées sur le dessin. Les dimensions sont en centimètres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4,4.7)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,0.7)(0.4,2.7)\uput[l](0.4,1.7){8}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(0.4,2.7)(0.4,4.1)\uput[l](0.4,3.4){4,8}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(1,0.5)(3.4,0.5)\uput[d](2.2,0.5){9,6}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,4.4)(2.3,2.9)\uput[ur](1.75,3.75){6}
\pspolygon(1,0.7)(1,4.1)(3.4,0.7)%ABC
\psline(1,2.7)(2,2.7)%EF
\uput[dl](1,0.7){A} \uput[r](1,4.1){B} \uput[dr](3.4,0.7){C}
\uput[l](1,2.7){E} \uput[d](2,2.7){F}
\psframe(1,0.7)(1.2,0.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le triangle rectangle ABC, calculer BC.
\item Les droites (EF) et (AC) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3} Même dessin qu'à l'exercice 2

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le symétrique de A par rapport à B ; on l'appellera D.
\item Construire le symétrique de A par rapport à la droite (BC) ; on l'appellera E.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$ ; on l'appellera F.

		\item Démontrer que $\vect{\text{FC}} = \vect{\text{BA}}$.
		\item Écrire plus simplement $\vect{\text{DF}} + \vect{\text{BA}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Toutes les constructions se feront sur une feuille de papier millimétré où l'on tracera la droite $D_1$ (la droite $D_1$ est parallèle à $(x'x)$ et passe par le point A(0~;~2).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'équation de la droite $D_1$ ?
		\item Tracer la droite $D_2$ d'équation
$y = 2x$.
		\item Placer les points B(1~;~3) et C(0~;~5) ; tracer la droite $D_3$
passant par B et C.
		\item Déterminer l'équation de $D_3$.
		\item Les droites $D_2$ et $D_3$ se coupent en K. Lire les coordon-
nées de K puis les retrouver par le calcul.
	\end{enumerate}
\item On rappelle la formule donnant l'aire d'un triangle :

\[a = \dfrac{B \times h}{2}.\]

Les longueurs sont données en mètres. Les aires sont demandées en mètres carrés.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.7,3.7)
\pspolygon(0,0.6)(9.5,0.6)(2.6,3.2)%PRN
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.5)(7.1,1.5)%TV
\psline(4.1,0.6)(7.1,1.5)%SV
\psline(2.6,3.2)(2.6,0.6)%NM
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(2.3,0.6)(2.3,3.2)\uput[l](2.3,1.9){2}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.4)(2.6,0.4)\uput[d](1.3,0.4){2}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(2.6,0.4)(4.1,0.4)\uput[d](3.85,0.4){1}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt]{<->}(4.1,0.4)(9.5,0.4)\uput[d](6.8,0.4){4}
\uput[dl](0,0.6){P} \uput[u](9.5,0.6){R} \uput[u](2.6,3.2){N}
\uput[ur](2.6,0.6){M} \uput[u](4.1,0.6){S}\uput[ur](2.6,1.5){T}\uput[u](7.1,1.5){V}
\psframe(2.6,0.6)(2.4,0.8)
\end{pspicture}
\end{center}

Toutes les indications sont portées sur le dessin. 

On sait, de plus, que la droite (TV) est parallèle à la droite (MR).

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle MNR.
		
Calculer ensuite l'aire $A_1$ du triangle MNP. (Exprimer en fonction de $x$ l'aire $A_2(x)$ du triangle SVR et l'aire $A_3(x)$ du quadrilatère MNVS (on pourra trouver cette dernière par différence).
		\item Indiquer pour quelle distance $x$, les aires $A_2(x)$ et $A_3(x)$ ont égales et quelle est leur valeur commune (on pourra utiliser les résultats du 1. du problème).
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{document}