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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Besançon}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Besançon\footnote{Dijon, Lyon, Reims }septembre 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\emph{Les exercices sont indépendants. On écrira les étapes de calcul. les réponses seront justifiées.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit le nombre:  $A = \dfrac67 - \dfrac47 : \dfrac25$.

Écrire $A$ sous la forme la plus simple possible sans utiliser de valeur approchée. 

Écrire les étapes de calcul.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le nombre $\sqrt{45}$ sous la forme $a\sqrt b$ ($a$ et $b$ étant des
entiers et $b$ le plus petit possible).
\item En déduire une écriture plus simple du nombre  $B = 8\sqrt5 - \sqrt{45}$ sous la forme $c \sqrt b$, $c$ étant un entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'expression : $C = (x + 2)^2 - 16$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation: $(x - 2)(x + 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un bar, 5 élèves ont commandé $2$ sodas et $3$ chocolats.

On sait que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le prix total des $5$ consommations est $55,50$ francs;
\item[$\bullet~~$]le soda coûte $1,50$ franc de plus que le chocolat.
\end{itemize}

On désigne par $x$ le prix d'un soda et par $y$ le prix d'un chocolat.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé par un système de deux équations à deux inconnues.
\item Déterminer le prix d'un soda et celui d'un chocolat.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}Sur un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 10$ cm, on a placé un point C tel que l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure $50\degres$. Sur le dessin ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer les longueurs AC et BC (on donnera les valeurs arrondies au millimètre).
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.7,-2.5)(2.7,2.7)
\pscircle(0,0){2.5}
\pspolygon(2.5;0)(2.5;80)(2.5;180)%BCA
\uput[l](2.5;180){A} \uput[r](2.5;0){B} \uput[ur](2.5;80){C} \uput[d](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4,dotangle=45](0,0)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCO, CDEO, EFGO et GHAO sont des carrés.

BDFH est un carré de centre O.

Quelle est l'image du triangle ABC dans les cas suivants ? On donnera ces résultats sans les justifier.

\medskip

\begin{minipage}{0.59\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Par la rotation de centre O, d'angle $90\degres$ qui amène G en E.
\item Par la translation de vecteur
$\vect{\text{OF}}$.
\item Par la symétrie orthogonale d'axe (AE).
\item Par la symétrie centrale de centre O.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psframe(-2,2)(2,-2)
\psline(-2,0)(2,0)\psline(0,2)(0,-2)
\uput[ul](-2,2){B} \uput[u](0,2){C} \uput[ur](2,2){D}
\uput[l](-2,0){A} \uput[ul](0,0){O} \uput[r](2,0){E}
\uput[dl](-2,-2){H} \uput[d](0,-2){G} \uput[dr](2,-2){F}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-2,0)(0,2)(-2,2)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On prend le centimètre pour unité de longueur.

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points : A$(2~;~- 2)$, B$(- 3~;~1)$ et C(1~;~2).

On complétera la figure au fur et à mesure de l'exercice.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances AB, AC et BC.
		\item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point M, milieu du segment [AC].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D, image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
		\item Que représente le point M pour le segment [BD] ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item La droite parallèle à (BC) passant par le point M coupe la droite (AB) en un point N.

Calculer les coordonnées du point N.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

On considère la fonction affine $f$ qui à $x$ fait correspondre le nombre $40 - 4x$.

On a donc : $f(x) = 40 - 4x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image du nombre 0 par la fonction $f$.
\item Quel nombre a pour image 16 par la fonction $f$ ?
\item Construire la représentation graphique de la fonction $f$ sur une feuille de papier millimétré (sur l'axe des abscisses,1 cm représente 1 unité et sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 5 unités).

On placera l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille.
\item Par lecture graphique, trouver la valeur du nombre $x$ ayant pour image 10 (faire les tracés nécessaires sur le graphique).
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip
\begin{minipage}{0.57\linewidth}
Les dimensions de ce pavé droit sont : EH $= 8$ cm ; DH $= 10$ cm ; 
GH $= 12$ cm.

La figure ci-contre n'est pas à vraie grandeur.

I est un point du segment [DH].

La pyramide de sommet D et de base EFGH est coupée par un plan parallèle
à la base passant par le point I.
\end{minipage}
\hfill
%%figure
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,6)
\pspolygon(0.2,0.9)(4.2,0.5)(4.2,3.8)(0.2,4.2)%EFBA
\psline(4.2,0.5)(5.1,1.7)(5.1,5)(4.2,3.8)%FGCB
\psline(5.1,5)(1.1,5.4)(0.2,4.2)%CDA
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](0.2,0.9)(1.1,2.1)(1.1,5.4)%EHD
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](1.1,2.1)(5.1,1.7)%HG
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](0.2,0.9)(1.1,5.4)(4.2,0.5)%EDF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](1.1,5.4)(5.1,1.7)%DG
\uput[l](0.2,4.2){A} \uput[dr](4.2,3.8){B} \uput[ur](5.1,5){C} \uput[ul](1.1,5.4){D}
\uput[dl](0.2,0.9){E} \uput[d](4.2,0.5){F} \uput[r](5.1,1.7){G} \uput[dr](1.1,2.1){H}\uput[l](1.1,3){I}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.1,3)
\end{pspicture}

\end{minipage}
\medskip

La section est un quadrilatère IJKL, J, K et L appartenant respectivement aux segments [DE], [DF] et [DG].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?
\item Représenter la section IJKL en perspective cavalière sur le dessin donné en fin de problème.
\item Le plan de section étant parallèle à la base, les droites (IJ) et (EH) sont parallèles ainsi que les droites (IL) et (GH).

Dans cette question, on pose IH $= 4$ cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer DI.
		\item Montrer que IJ $= 4,8$ cm, en utilisant le triangle DEH, puis que IL $= 7,2$ cm, en utilisant le triangle DGH.
		\item Calculer le périmètre $p$ du quadrilatère IJKL.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère maintenant que IH $= x$ (en cm).
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser la démarche précédente, sans la justifier à nouveau, pour exprimer DI, IJ et IL en fonction de $x$.
		\item Exprimer le périmètre $p$ du quadrilatère IJKL en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture}(5.8,6)
\pspolygon(0.2,0.9)(4.2,0.5)(4.2,3.8)(0.2,4.2)%EFBA
\psline(4.2,0.5)(5.1,1.7)(5.1,5)(4.2,3.8)%FGCB
\psline(5.1,5)(1.1,5.4)(0.2,4.2)%CDA
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](0.2,0.9)(1.1,2.1)(1.1,5.4)%EHD
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](1.1,2.1)(5.1,1.7)%HG
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](0.2,0.9)(1.1,5.4)(4.2,0.5)%EDF
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](1.1,5.4)(5.1,1.7)%DG
\uput[l](0.2,4.2){A} \uput[dr](4.2,3.8){B} \uput[ur](5.1,5){C} \uput[ul](1.1,5.4){D}
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\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.1,3)
\end{pspicture}
\end{center}
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