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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants (on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible)

\[A = \dfrac12 - \dfrac23\left(2 - \dfrac72 \right), \qquad B = \dfrac{18 \times \left(5 \times 10^{-}\right)^2}{25 \times \left(6 \times 10^{-1}\right)^3}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $C = 2\sqrt{27} - 8\sqrt{48}$  sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers.
\item Calculer $D = \left(2\sqrt{3} -3\sqrt{2}\right)^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E = (2x - 5)^2 - (4x - 3)(2x + 1)$
\item Factoriser $F = 16x^2 - 25$ puis $G = (2x - 3)(x - 8) - (2x - 3)(2x + 1)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre :

\begin{enumerate}
\item l'équation $(2x - 3)(- x - 9) = 0$
\item l'inéquation $3x - 3 \geqslant 6x + 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Dans l'après-midi du 24 décembre, au distribanque de la rue des Maths ont été faits les retraits suivants (tous multiples de 200~F).

Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize }X|}}\hline
\footnotesize Sommes retirées en francs	&200& 400	& 600	&800 	&1000	&\np{1200}	&\np{1400}\\ \hline
\footnotesize Nombres de personnes
 ayant retiré cette somme				& 35& 40	&33		&75		&25		&20			&22\\ \hline
\footnotesize Fréquence en \,\% de chaque type de retrait&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire le diagramme en bâtons des effectifs (on prendra 1cm pour 10 personnes) 
\item Quel est le pourcentage de retraits égaux à \np{1000}~F ou plus ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
ABCDEFGH est un cube d'arête $a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle EBG ?
\item Exprimer en fonction de $a$ : 
	\begin{enumerate}
		\item l'aire du triangle EGF.
		\item le volume de la pyramide EBGF{}. On pourra prendre pour base le triangle EFG.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(7.5,7.2)
\psframe(0.2,0.2)(5,5)%ABFE
\psline(5,0.2)(6.8,2)(6.8,6.8)(5,5)%BCGF
\psline(6.8,6.8)(2,6.8)(0.2,5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2,2)(6.8,2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2,2)(2,6.8)%DH
\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[d](5,0.2){B} \uput[r](6.8,2){C} \uput[l](2,2){D}
\uput[l](0.2,5){E} \uput[r](5,5){F} \uput[ur](6.8,6.8){G} \uput[ul](2,6.8){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormal (O, I, J), I ayant pour coordonnées (1~;~0), soit A$(3~;~-4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu B de [IA].
\item Déterminer une équation de la droite (IA).
\item Vérifier que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 0,5x - 3$ est la médiatrice de [IA].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Reproduire la figure ci-dessous, la compléter et la joindre à votre copie.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10.5,10)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(9.7,0.2)(3,9.5)%BCA
\psline(0,6.3)(10.5,6.3)%DE
\uput[u](3,9.5){A} \uput[l](0.2,0.2){B} \uput[r](9.7,0.2){C} \uput[ul](2,6.3){D} \uput[ur](5.3,6.3){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item D est un point du segment [AB] tel que AD $= \dfrac13$AB ; La droite (DE) est parallèle à la droite (BC). 

Sachant que BC $= 8$ cm, calculer la valeur exacte de DE.
\item La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{DBC}}$ coupe la droite (DE) en F. 

Montrer que $\widehat{\text{DFB}} = \widehat{\text{DBF}}$.

Quelle est la nature du triangle BDF ? Justifier.
\item J désigne le milieu du segment [BF] et L le symétrique de D par rapport à J. 

Quelle est la nature du quadrilatère BDFL ? Justifier.

Démontrer que L appartient à la droite (BC).
\item Le cercle de diamètre [BL] coupe la droite (AB) en B et K. 

Quelle est la nature des triangles BJL et BKL ?
\item Les droites (BJ) et (KL) se coupent en H. Montrer que les droites (DH) et (BL) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}