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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 2000}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Bordeaux juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous forme de fraction irréductible le nombre $\dfrac{325}{\np{1053}}$ .

Indication: on pourra calculer le PGCD des nombres \np{1053} et $325$.
\item Déterminer les nombres $x$ tels que: $x^2 = \dfrac{325}{\np{1053}}$.
\item Calculer $A = \sqrt{\np{1053}} - 3\sqrt{325} + 2\sqrt{52}$.

(On donnera le résultat sous la forme $a\sqrt{13}$, où $a$ est un nombre entier.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'expression: $E = (x - 3)^2 - (x - 1) (x -2)$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E$.
		\item Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de $\np{99997}^2 - \np{99999}\times \np{99998}$ ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser l'expression: $F = (4x + 1)^2 - (4x + 1) (7x - 6)$. 
		\item Résoudre l'équation: $(4x + 1) (7 - 3x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline
5 JOURS DE BRADERIE\\
Le tee-shirt : prix unique $x$ francs\\
Le jean : prix unique $y$ francs \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Antoine a acheté cinq tee-shirts et deux jeans : il a payé 680 francs. 

Thomas a acheté quatre tee-shirts, un jean, et un blouson qui coûte 600 F : il a payé \np{1060} francs.

Quel est le prix d'un tee-shirt ? Quel est le prix d'un jean ?
\item Le tableau ci-dessous indique la fréquentation quotidienne de la braderie : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Jours	&Vendredi&	Samedi&	Dimanche&Lundi&Mardi\\ \hline
Nombre de personnes&	770	&\np{1925}	&\np{9009}	&\np{3080}	&616\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Sur le nombre total de personnes ayant fréquenté la braderie, quel est le pourcentage de celles qui sont venues le dimanche ? 
		\item Quel est le nombre moyen de visiteurs, par jour, pendant la durée de la braderie ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Le plan est rapporté au repère orthonormé (O ; I, J) ; l'unité graphique est le centimètre. La figure sera réalisée sur papier quadrillé.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A(4~;~5), B$(- 3~;~3)$ et C$(2~;~-2)$.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\item Soit D l'image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. 

Calculer les coordonnées du point D.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Un aquarium a la forme d'une calotte sphérique de centre O (voir figure ci-après), qui a pour rayon $R = 12$ et pour hauteur $h = 19,2$ (en centimètres).
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-3.,-2.5)(4,2.5)
%\psgrid
\psellipse(0,1.44)(1.5,0.3)
\psarc(0,0){2.1}{135}{45}
\psline(0,1.44)(1.5,1.44)%IA
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](0,1.44)(0,0)(1.5,1.44)
\psframe(0,1.44)(0.2,1.24)
\uput[ul](0,1.44){I} \uput[ur](1.5,1.44){A} \uput[d](0,0){O} \uput[r](2.6,-0.33){$h = 19,2$}
\uput[dr](0.8,0.6){$R = 12$} 
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2.6,-2.1)(2.6,1.44)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt](0,-2.1)(2.6,-2.1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt](1.5,1.44)(2.6,1.44)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur OI, puis la longueur IA.
\item Le volume d'une calotte sphérique est donné par la formule : $V = \dfrac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, où $R$ est le rayon de la sphère et $h$ la hauteur de la calotte sphérique. 

Calculer une valeur approchée du volume de cet aquarium au cm$^3$ près.
\item On verse six litres d'eau dans l'aquarium. Au moment de changer l'eau de l'aquarium, on transvase son contenu dans un récipient parallélépipédique de $26$ cm de longueur et de $24$ cm de largeur. 

Déterminer la hauteur $x$ d’eau dans le récipient ; arrondir le résultat au mm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\emph{L'unité graphique est le centimètre. La figure sera réalisée sur papier quadrillé.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un segment [AB] tel que AB $= 12$ et placer le point H du seg­ment [AB] tel que AH $= 1$.
\item Tracer un demi-cercle de diamètre [AB] et la perpendiculaire en H à la droite (AB).
\item On désigne par C leur point d'intersection. Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Exprimer, de deux façons, le cosinus de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ et en déduire que AC $=  2\sqrt{3}$.

Donner la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D de la droite (BC) tel que B, C et D soient dans cet ordre et que 
		
CD = 6.
		\item Calculer, la mesure, en degrés, de l'angle $\widehat{\text{ADC}}$  et la valeur exacte de la longueur AD.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point E du segment [AD] tel que AE $= 2$, et le point F du segment [AC] tel que  $\widehat{\text{ADC}}  = 30\degres$.
		\item Démontrer que les droites (EF) et (DC) sont parallèles. 
		\item Calculer la longueur AF.
	\end{enumerate}
\item La droite (EF) coupe la droite (CH) en K. 

Démontrer que le point K appartient à la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}