\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Burundi juin 1992},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Burundi}
\lfoot{\small juin 1992}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Burundi juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{I} - Factoriser

\[(3x +2)(2x - 1) - (2x - 1)^2.\]


\textbf{II} - Résoudre l'équation

\[(2x - 1)(x + 3) = 0.\]

\textbf{III }- Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $a\sqrt 7$,
$a$ étant un entier

\[\begin{array}{l c l}
x &=&\sqrt{28} - \sqrt 7 + \sqrt{63}\\
y &=& \left(3 + \sqrt 7\right)^2 - 16.
\end{array}\]

\textbf{IV }- Dans le cadre de l'association sportive d'un collège chaque élève pratique un sport :
50\,\%des élèves font de l'athlétisme, 33\,\%du tennis et les autres font du hand-ball.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter ces données sur un diagramme semi-circulaire.
\item Sachant que $51$ élèves font du hand-ball, calculer combien
d'élèves sont inscrits à l'association sportive de ce collège.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{I} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,3.4)
\pspolygon(0.3,0.3)(8.3,0.3)(8.3,3.5)%ODC
\psline(3.2,0.3)(3.2,1.485)%BA
\psframe(8.3,0.3)(8.1,0.5)
\uput[ul](3.2,1.485){A} \uput[d](3.2,0.3){B} \uput[u](8.3,3.5){C} \uput[dr](8.3,0.3){D} \uput[l](0.3,0.3){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Les droites (OD) et (DC) sont perpendiculaires.

OB = 6 cm, \quad  AB =2 cm, \quad  OA = 2, \quad OA $= 2\sqrt{10}$ cm,\quad CD = 5 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle OBA est rectangle en B, puis en déduire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
\item Calculer OD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II }- Dans un repère orthonormal (unité le cm), placer les points A(- 4~;~2); B (1~;~7); et C (6~;~2).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification, une équation de la droite (AB) puis une équation de la droite (AC).
\item Tracer la droite d'équation

\[y = -x + 8.\]

\item Calculer AB.
\item Placer le point D tel que $\vect{\text{BD}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III} - SABCD est une pyramide régulière à base carrée.

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
SA = SB = SC = SD = 5 cm\\
AB = BC = CD = DA = 4 cm.
\end{tabular}
\end{center}

Dessiner en vraie grandeur un patron de cette pyramide.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,4.6)
%\psgrid
\psline(2.5,4.3)(0.2,0.2)(3.5,0.2)(4.6,2.3)(2.5,4.3)(3.5,0.2)%SABCSB
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,2.3)(4.6,2.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.5,4.3)(1.5,2.3)%SD
\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[d](3.5,0.2){B} \uput[r](4.6,2.3){C} \uput[dr](1.5,2.3){D} \uput[u](2.5,4.3){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Jean dispose de $48$ mètres de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney. Il cherche quelle forme donner à son enclos pour que celui-ci soit le plus vaste possible.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sa première idée est de faire un rectangle dont la longueur soit le double de la largeur.

Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle lorsque son périmètre est $48$ mètres.
Calculer son aire.
\item Sa deuxième idée est de faire un carré.
Calculer l'aire d'un carré de $48$ mètres de périmètre.
\item Sa troisième idée est de faire un hexagone régulier.

La figure ci-dessous représente un hexagone régulier ABCDEF de $48$ mètres de périmètre. Il est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon $8$ mètres. Le segment [OH] est une hauteur du triangle équilatéral OBA.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer une valeur approchée à $1$~cm près de OH.
		\item En déduire une valeur approchée à $0,1$~m$^2$ près de l'aire du triangle OBA.
		\item En déduire une valeur approchée à $1$m$^2$ près de l'aire d'un hexagone régulier de 48 m de périmètre.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.6,-2.6)(2.6,2.6)
\pscircle(0,0){2.4}
\pspolygon(2.4;0)(2.4;60)(2.4;120)(2.4;180)(2.4;240)(2.4;300)
\multido{\n=0+60}{6}{\psline(0,0)(2.4;\n)}
\uput[r](2.4;0){A} \uput[ur](2.4;60){B} \uput[ul](2.4;120){C} \uput[l](2.4;180){D} 
\uput[dl](2.4;240){E} \uput[dr](2.4;300){F} \uput[ul](0,0){O}\uput[ul](2.1;30){H}
\psline(0,0)(2.1;30)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Sa quatrième idée est de faire un octogone régulier.

La figure ci-dessus représente un octogone régulier MNPQRSTU de $48$~m de périmètre. 

Cet octogone est inscrit dans un cercle de centre I. 

Le segment [IK] est une hauteur du triangle isocèle IMN et MN $= 6$~m.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'angle $\widehat{\text{MIN}}$, puis l'angle $\widehat{\text{INM}}$.
		\item En déduire que IK = NK $\times  \tan 67,5\degres$.
		\item En déduire une valeur approchée à 0,1 m$^2$ près de l'aire du triangle MIN.
		\item Calculer une valeur approchée à 1 m$^2$ près de l'aire d'un octogone régulier de $48$~m de périmètre.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.6,-2.6)(2.6,2.6)
\pscircle(0,0){2.4}
\pspolygon(2.4;0)(2.4;45)(2.4;90)(2.4;135)(2.4;180)(2.4;225)(2.4;270)(2.4;315)
\multido{\n=0+45}{8}{\psline(0,0)(2.4;\n)}
\uput[r](2.4;0){M} \uput[ur](2.4;45){N} \uput[ul](2.4;90){P} \uput[l](2.4;135){Q} 
\uput[dl](2.4;180){R} \uput[dl](2.4;225){S} \uput[d](2.4;270){T}\uput[dr](2.4;315){U}
\uput[ul](2.23;22.5){K}
\psline(0,0)(2.23;22.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Ces recherches ont permis à Jean de constater que l'aire d'un polygone régulier de $48$~mètres de périmètre semble augmenter quand on augmente le nombre de ses côtés. n en déduit qu'un enclos circulaire doit être encore plus vaste.

Calculer le rayon, puis l'aire d'un disque de $48$ mètres de périmètre, et vérifier si l'idée de Jean est juste.
\end{enumerate}
\end{document}