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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 2000}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Caen juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles :

\[A = \left(\dfrac57\right)^2 - \dfrac27, \qquad B = \dfrac{12 \times 10^{-3}}{16 \times 10^{-4}}, \qquad C = \dfrac19 + \dfrac{1}{12}.\]

\item En électricité, pour calculer des valeurs de résistances, on utilise la formule:

 $\dfrac1R = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$.

Sachant que $R_1 = 9$ ohms et $R_2 = 12$ ohms, déterminer la valeur exacte de $R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire le nombre $\sqrt{180} + 3\sqrt{80} - \sqrt{125}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ , avec $a$ et $b$ entiers.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{18}x + \phantom{18}y&=&630\\
18x + 30y&=&\np{14220}
\end{array}\right.\]

\item Dans un parc zoologique, la visite coûte $30$~F pour les adultes et $18$~F pour les enfants.

À la fin d'une journée, on sait que $630$ personnes ont visité le zoo et que la recette du jour est de \np{14220}~F.

Parmi les personnes qui ont visité le zoo ce jour-là, quel est le nombre d'enfants ? Quel est le nombre d'adultes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de $110$ et de $88$.
\item Un ouvrier dispose de plaques de métal de $110$ cm de longueur et de $88$ cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : \og Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte\fg. 

Quelle sera la longueur du côté d'un carré ?
\item Combien obtiendra-t-il de carrés par plaque ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; I, J). L 'unité est le cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(- 2~;~5)$, B (3~;~1) et C$(- 1~;~-4)$.
\item Calculer la longueur AC. En donner la valeur exacte.

Sachant, de plus, que AB = BC $= \sqrt{41}$, déterminer la nature du triangle ABC.
\item Construire le point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

Par lecture graphique, déterminer les coordonnées de D.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme particulier. Lequel ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un menuisier doit tailler des boules en bois de $10$ cm de diamètre pour les disposer sur une rampe d'escalier. Il confectionne d'abord des cubes de $10$ cm d'arête dans lesquels il taille chaque boule.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans chaque cube, déterminer le volume (au cm$^3$ près) de bois perdu, une fois la boule taillée.
\item Il découpe ensuite la boule de centre O suivant un plan pour la coller sur son emplacement. La surface ainsi obtenue est un disque D  de centre O$'$ et de diamètre AB $= 5$ cm.

Calculer à quelle distance du centre de la boule ($h$ sur la figure) il doit réaliser cette découpe. Arrondir $h$ au millimètre.
\end{enumerate}

Rappel: le volume d'une boule de rayon R est $\dfrac43 \pi R^3$.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-5,-4.3)(5,5)
%\psgrid
\psarc(0,0){5}{-61}{241}
\psellipticarc(0,0)(5,0.8){180}{360}
\psellipticarc[linewidth=1.1pt,linestyle=dashed](0,0)(5,0.8){0}{180}
\psellipticarc(0,-4.4)(2.5,0.5){180}{360}
\psellipticarc[linewidth=1.1pt,linestyle=dashed](0,-4.4)(2.5,0.5){0}{180}
\psline(5;-61)(5;241)
\psline[linewidth=1.1pt,linestyle=dashed](0,5)(0,-4.4)
\psline[linewidth=1.1pt,linestyle=dashed](-5,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-0.3,0)(-0.3,-4.4)\uput[l](-0.3,-2.2){$h$}
\uput[r](2.4,-4.4){A}\uput[l](-2.4,-4.4){B}\uput[ur](0,0){O}\uput[dr](0,-4.4){O$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

RKL est un triangle rectangle en R, avec RK $= 6$ cm et RL $= 9$ cm.

M est un point quelconque du côté [RK]. On pose RM $= x$. ($x$ en centimètres ). 

P est le point du segment [RL] tel que RP = RM $= x$.

On place alors le point N pour que RMNP soit un carré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question $x = 2$. On obtient la figure suivante (on remarque que le point N se trouve à l'intérieur du triangle RKL ).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(9.5,6.5)
\pspolygon(0,0)(9,0)(0,6)%RLK
\psframe(2,2)%RPNM
\psline(9,0)(2,2)(0,6)%LNK
\rput(1,3){$B_1$}\rput(1,1){$A_1$}\rput(5.5,0.6){$C_1$}
\uput[dl](0,0){R} \uput[dr](9,0){L} \uput[ul](0,6){K} 
\uput[l](0,2){M} \uput[ur](2,2){N} \uput[d](2,0){P}
\psframe(0,0)(0.25,0.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle RKL.
		\item Calculer l'aire $A_1$ du carré RMNP.
		
Calculer l'aire $B_1$ du triangle KMN.

Calculer l'aire $C_1$ du triangle NPL.
		\item Calculer $A_1 + B_1 + C_1$.
		
Vérifier que l'aire du quadrilatère RKNL est inférieure à l'aire du triangle RKL.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $x = 5$.
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure précise.
		\item Où se trouve maintenant le point N par rapport au triangle RKL? 
		\item On appelle maintenant $A_2$ l'aire du carré RMNP, $B_2$ l'aire du triangle KMN et $C_2$ l'aire du triangle NPL.
		
Calculer ces trois aires et vérifier que l'aire de RKNL est supérieure à celle du triangle RKL.
	\end{enumerate}
\item On prend maintenant $x$ quelconque.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire $A_3$ du carré RMNP en fonction de $x$. Calculer l'aire $B_3$ du triangle KMN en fonction de $x$. Calculer l'aire $C_3$ du triangle NPL en fonction de $x$.
		\item Montrer que  
		\item On cherche s'il existe une valeur de $x$ pour laquelle le point N se trouve sur le segment [KL]. Pour cela, résoudre l'équation obtenue en écrivant: 
		
\[A_3 + B_3 + C_3 = \text{aire du triangle RKL}.\]
		
Conclure.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthogonal (O; I, J), représenter la fonction $x \longmapsto \dfrac{15}{2}x$ pour $x$ compris entre 0 et 6. On prendra :
		
\begin{itemize}
\item en abscisses: 5 cm pour 3 unités,
\item en ordonnées: 1 cm pour 3 unités.
\end{itemize}
		\item Résoudre graphiquement l'équation $\dfrac{15}{2}x = 27$.
 Commenter.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}