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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Clermont-Ferrand}
\lfoot{\small juin 1992}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Clermont-Ferrand juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et écrire le résultat sous la forme $p\sqrt q$  où 
$p$ et $q$ sont des entiers, $q$ le plus petit possible : 

\[A =  2\sqrt{18} \times  \sqrt{14}  \times \sqrt{21}.\]

\item Calculer $B$ et $C$ et écrire les résultats sous la forme d'un
entier relatif (on écrira sur la copie les calculs intermédiaires) :

\[B = \left(2\sqrt 3  + 7\right)\left(2\sqrt 3  - 7\right) , \qquad 
C = \left(\sqrt 2 + \sqrt 8\right)^2.\]
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer $D$ et écrire le résultat sous la forme $a \times  10^n$ où $a$ et $n$ sont des entiers relatifs, $a$ le plus petit possible.

\[D = \dfrac{2 \times 10^3 \times 5 \times 10^{-15}}{2 + 18}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'expression $E = (2x - 1)^2 - (2x - 1)(x + 3) $

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}


%\begin{enumerate}
%\item
%\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormal, l'unité choisie étant le centimètre, placer les points:
\begin{center}A(2~;~4);\quad B(-2~;~2);\quad C(0~;~- 2)\end{center}

\item Calculer AB$^2$, BC$^2$ et AC$^2$.
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

(Ne pas refaire la figure).

SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un rectangle de centre O, et dont la hauteur est le segment [SO]. 

On donne : 

\begin{center}AB = 32 ;\quad BC = 22 ;\quad SO = 36\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume en cm$^3$ de cette pyramide.
\item On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base. Ce
plan coupe la hauteur [SO] en H, tel que SH $= \dfrac{\text{SO}}{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de l'intersection de ce plan et de la
pyramide ?
		\item Dessiner cette intersection en vraie grandeur (on précisera ses dimensions).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,4.7)
\psline(0,4.4)(-2.7,-0.9)(1.3,-0.9)(2.7,0.7)(0,4.4)(1.3,-0.9)%SABCSB
\pspolygon[linestyle=dashed](-2.7,-0.9)(-1.3,0.7)(2.7,0.7)%ADCA
\psline[linestyle=dashed](1.3,-0.9)(-1.3,0.7)(0,4.4)(0,0)%BDSO
\psdots(0,3.2)
\uput[d](-2.7,-0.9){A} \uput[d](1.3,-0.9){B} \uput[r](2.7,0.7){C} \uput[l](-1.3,0.7){D} \uput[d](0,0){O} 
\uput[u](0,4.4){S} \uput[l](0,3.2){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 5,4 et AB = 9. 

O est le milieu du segment [AB] ; D est le milieu du segment [BC] ; I est le milieu du segment [AD]. 

Les droites (CI) et (AB) se coupent en P{}.

E est le point tel que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{CD}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure. 
\item Calculer BC.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère AEDC ? Justifier.
		\item Démontrer que les points C, I, P et E sont alignés.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère AEBD ? Justifier.
		
En déduire que O est le milieu du segment [ED].
	\end{enumerate}
\item Que représente P pour le triangle AED ? Justifier.
\item Établir : $\dfrac{\text{PQ}}{\text{PA}} = \dfrac{\text{OE}}{\text{AC}}= \dfrac12$.
\end{enumerate}
\end{document}