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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Créteil, Paris, Versailles}
\lfoot{\small juin 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Créteil\footnote{Paris, Versailles} juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles :

\[A = 1 + \dfrac25 - \dfrac14 ; \quad B = \dfrac{15}{14} \times \dfrac{28}{25} ; \quad C = \dfrac{13}{11} : \dfrac{39}{44}.\]

\item Écrire sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers :

\[D = 2\sqrt{18} + 5\sqrt{50}.\]

\item Développer :

\[E = \left(\sqrt 2 + \sqrt 3\right)^2.\]

\item Trouver les valeurs de $x$ telles que:

\[(2x + 1)(3 - x) = 0.\]

\item Factoriser l'expression

\[P = 2(3x-1) + 9x^2 - 1.\]

\item Les notes suivantes ont été écrites dans l'ordre croissant :

\[x~;~4~;~6~;~7~;~10~;~11~;~13~;~14~;~15~;~y.\]

On sait que la moyenne est 10 et que la différence entre la plus
haute et la plus basse des notes est $16$. Calculer les notes $x$ et $y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Des élèves participent à un cross. Avant l'épreuve, un plan
leur a été remis. Il est représenté ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.6,4)
\psline(0.3,3.6)(2,3.6)(0.3,2.4)(0.3,0.2)(4.75,3.6)(6.6,3.6)%ABCDE
\psline[ArrowInside=->](0.3,3.6)(2,3.6)
\psline[ArrowInside=->](2,3.6)(0.3,2.4)
\psline[ArrowInside=->](0.3,2.4)(0.3,0.2)
\psline[ArrowInside=->](0.3,0.2)(4.75,3.6)
\psline[linestyle=dashed](0.3,3.6)(0.3,2.4)
\psline[linestyle=dashed](2,3.6)(4.75,3.6)
\uput[l](0.3,3.6){A} \uput[u](2,3.6){B} \uput[l](0.3,2.4){C} \uput[l](0.3,0.2){D}
\uput[u](4.75,3.6){E} \uput[u](0.3,3.6){Départ} \uput[dr](4.75,3.6){Arrivée}
\end{pspicture}
\end{center}

On peut y lire les indications suivantes :

\[\text{AB} = 400~ \text{m} \quad;\quad  \text{AC} = 300~ \text{m}\]

Il est précisé que l'angle $\widehat{\text{A}}$ est droit, que BE $= 2$ AB et que la droite (BC) est parallèle à la droite (DE).


	\begin{enumerate}
		\item Calculer BC.
		\item Calculer AD, puis CD.
		\item Calculer DE.
		\item Vérifier que la longueur du parcours ABCDE est \np{3000}m.
\end{enumerate}
\item  Voici deux figures $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F'}$ du plan de mêmes dimensions.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3,arrowinset=0,arrowlength=2}
\begin{pspicture}(4.6,1.8)
%\psgrid
\def\fig{\pspolygon(-0.8,0)(0.8,0)(0,0.9)\pscircle(0,0.9){0.6}\psline{->}(0.9,0.9)(0.92,0.9)}

\rput(0.9,0.4){\fig}\rput(0.2,1.7){$\mathcal{F}$}\rput(3.6,0.4){\fig}\rput(4.4,1.7){$\mathcal{F'}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On les assemble de 4 façons différentes, représentées ci-dessous:

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3,arrowinset=0,arrowlength=2}
\begin{pspicture}(8,6)
\psframe(8,6)\psline(0,3)(8,3)
\psline(4,0)(4,6)
%\psgrid
\def\fig{\pspolygon(-0.8,0)(0.8,0)(0,0.9)\pscircle(0,0.9){0.6}\psline{->}(0.9,0.9)(0.92,0.9)}
\def\figa{\pspolygon(-0.8,0)(0.8,0)(0,0.9)\pscircle(0,0.9){0.6}\psline{->}(-0.9,0.9)(-0.92,0.9)}
\rput(0.9,4){\fig}\rput(1.5,5.5){$\mathcal{F}$}
\rput(2.8,3.2){\fig}\rput(3.3,4.8){$\mathcal{F'}$}
%%%

\rput{-90}(4.6,4.4){\figa}\rput{90}(7.6,4.4){\figa}
\rput(5.4,3.5){$\mathcal{F}$}\rput(7,5.2){$\mathcal{F'}$}
%%%
\rput{-90}(0.4,1.2){\fig}\rput{90}(3.4,1.2){\figa}
\rput(0.8,0.4){$\mathcal{F}$}\rput(2.8,2){$\mathcal{F'}$}
%%%
\rput(5.2,1.2){\fig}\rput(6.78,1.2){\fig}
\rput(4.4,2.6){$\mathcal{F}$}\rput(7.4,2.7){$\mathcal{F'}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur chacun des schémas, marquer en couleur, s'il y a lieu, l'axe de la symétrie, le centre de la symétrie ou le vecteur de la translation transformant $\mathcal{F}$ en $\mathcal{F'}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calcul de volume
Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH représente un cube dont l'arête a pour longueur 2 mètres.

Le point M est un point de l'arête [BF] et on pose BM $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner un encadrement de $x$.
		\item Calculer le volume $V$ du cube ABCDEFGH.
		\item Exprimer en fonction de $x$ le volume $P$ de la pyramide de base ABCD et de hauteur [BM].
		\item Exprimer en fonction de $x$ le volume $R$ de la partie du cube extérieure à cette pyramide.
	\end{enumerate}	
\item Étude d'un graphique

Sur une feuille de papier millimétré, marquer le point O en bas à gauche de la partie quadrillée.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal d'origine O. On choisit pour unités : 10~cm sur l'axe des abscisses, 3~cm sur l'axe des ordonnées.

On appelle $f$ la fonction définie par

\[f(x) = 8 -\dfrac43 x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement $f$ pour $0 \leqslant x \leqslant  2$.
		\item Déterminer graphiquement $f\left(\dfrac34 \right)$.
		\item Résoudre graphiquement $f(x) = 6$.
		\item Résoudre graphiquement : $6 \leqslant f(x) \leqslant 7$.
	\end{enumerate}	
\textbf{N. B.} Exprimer clairement les résultats sur le graphique ou à l'aide d'une phrase.
\item On remarque que $f(x) = R$. 

Traduire alors, géométriquement, les réponses aux questions du 2. b., c., d.
\end{enumerate}
\end{document}