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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Dijon}
\lfoot{\small juin 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Dijon juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit

\[H = (5x - 4)^2 - 49.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $H$ sous forme d'un produit de facteurs.
\item Calculer la valeur de $H$ pour $x = \dfrac{1}{3}$ (donner le résultat
sous forme d'une fraction).
\item Résoudre l'équation

\[(5x + 3)(5x - 11)= 0.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère $E = \sqrt{12} - 2\sqrt{27} + 5\sqrt{48}$.

Écrire E sous forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une classe de troisième de 24 élèves, l'orientation de fin d'année a abouti aux résultats regroupés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Section&2\up{de} générale&2\up{de} techno&BEP&Apprentissage\\ \hline
Nb. d'élèves&10&5&8&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter par un diagramme en bâtons les données du tableau ci-dessus.
\item Calculer le pourcentage des élèves admis dans chaque section (on donnera les résultats arrondis à $0,1$ près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J) on considère les points: A (5~;~0); B (7~;~6); C (1~;~4);
O$(-1~;~-2)$.

/medskip

	\begin{enumerate}
		\item Faire la figure.
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$.
		\item Calculer les distances AB et AD.
		\item Démontrer que le quadrilatère ABCO est un losange.
	\end{enumerate}	
\item L'unité est le centimètre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.8)
\pspolygon(0.2,0.2)(6.2,0.2)(3.2,3.2)%AFCD(3.2,0.2)
\psline(2,0.2)(1.1,1.1)%EB
\psline(3.2,3.2)(3.2,0.2)%CD
\psframe(3.2,0.2)(3.4,0.4)
\uput[l](0.2,0.2){A} \uput[ul](1.1,1.1){B} \uput[u](3.2,3.2){C}
\uput[d](3.2,0.2){D} \uput[d](2,0.2){E} \uput[dr](6.2,0.2){F}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{center}AB $= 2$ ; AE $= 3$ ; ED $= 1$ ; DF $= 5$ ; (BE) $\perp$ (AB) ; (CD) $\perp$ (AF).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser la figure ci-dessus en vraie grandeur.
\item En précisant chaque fois dans quel triangle on opère, calculer $\cos \widehat{\text{BAE}}$
; puis utiliser ce résultat pour montrer que AC $= 6$.
\item Démontrer que (BE) est parallèle à (CF).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Un commerçant vend un parfum dans des flacons de même forme mais de contenances différentes.
Pour les flacons de contenance $15$ ml ; $10$ ml ; $20$ ml ; $30$ ml,  les prix respectifs sont les suivants : $56$ F ; $39$ F ; $73$ F ; $107$ F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant et placer les nombres donné dans ce tableau :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Contenance du flacon (ml)	&	&	&	&\\ \hline
Prix (F)					&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire un graphique.
		
En abscisse, représenter la contenance des flacons (unité : $2$ cm pour $5$ ml).

En ordonnée, représenter le prix : (unité : $1$ cm pour $10$ F).

Placer les points du tableau précédent. Qu'observe-t-on ?
		\item Montrer, par le calcul, que la droite d'équation

\[y = 3,4x +5\]

passe par les quatre points du graphique.
		\item Trouver graphiquement le prix correspondant à un flacon
de $25$ ml.
	\end{enumerate}
\item Le commerçant augmente le prix des flacons de $20\,\%$.

Calculer les nouveaux prix des quatre flacons. On les représentera dans un tableau analogue à celui de la question 1. et on placera les points correspondants sur le graphique précédent.
\end{enumerate}
\end{document}