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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Grenoble juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le nombre

\[A = \dfrac53 - \dfrac{16}{45} \times \dfrac{35}{8}.\]

Exprimer $A$ sous la forme de la fraction la plus simple possible.
\item Montrer que $\sqrt{45}$ peut s'écrire sous la forme $n\sqrt{5}$ où $n$ est un nombre entier.

Donner une écriture simplifiée de

\[B = \sqrt{45} - 2\sqrt{20}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans une classe de troisième, on a demandé l'âge des élèves.

Les résultats obtenus ont été mis dans un tableau mais certains nombres ont été effacés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Pourcentages	&Elèves&Filles&Garçons\\ \hline
14 ans 					& 10\,\%		&		&	&1\\ \hline
15 ans 					&				&		&	&12\\ \hline
16 ans 					&20\,\%			&		&3	&\\ \hline
Totaux					&100\,\%		&30		&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Répondre aux questions suivantes, en expliquant les calculs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ce tableau montre qu'il y a $30$ élèves dans la classe et que 20\,\% d'entre eux ont $16$ ans.

Combien d'élèves ont 16 ans ? Combien de garçons ont 16 ans ?
\item Quel est le pourcentage d'élèves ayant 15 ans ? Combien d'élèves ont 15 ans ? Combien de filles ont 15 ans ?
\item Reproduire le tableau. Le compléter entièrement.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC sachant que AB $= 51$, BC $= 24$ et AC $= 45$.
\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
\item Construire le point D, image de B dans la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$ et le point E, symétrique de C par rapport à B.
\item Montrer que la droite (BD) est perpendiculaire à la droite (BC) puis que le triangle CED est isocèle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le cm. L'unité de volume est le cm$^3$.

 Un jouet a la forme d'une pyramide régulière de hauteur 12.
 
Sa base est un carré de côté 7.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.7)(4,5)
%\psgrid
\pspolygon[linestyle=dashed](-2,-0.7)(0.8,-0.7)(2,0.7)(-0.8,0.7)
\psline(-1.1,2)(0.4,2)(1.1,2.6)
\psline[linestyle=dashed](1.1,2.6)(-0.4,2.6)(-1.1,2)
\psline(0,4.8)(-1.1,2)
\psline(0,4.8)(0.4,2)
\psline(0,4.8)(1.1,2.6)
\psline[linestyle=dashed](0,4.8)(-0.4,2.6)
\psline[linestyle=dashed](-2,-0.7)(-1.1,2)
\psline[linestyle=dashed](0.8,-0.7)(0.4,2)
\psline[linestyle=dashed](2,0.7)(1.1,2.6)
\psline[linestyle=dashed](-0.8,0.7)(-0.4,2.6)
\psline(-3,1.5)(2,1.5)(3.8,3.5)(-1.2,3.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,0)(0,2.3)
\rput(2,3.2){surface de l'eau}
\rput(-2.2,2.5){AB = BC}
\uput[u](0,4.8){A} \uput[l](0,2.3){B} \uput[l](0,0){C}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $V$ de la pyramide.
\item La pyramide est lestée (alourdie) à sa base. 

Plongée dans une baignoire remplie d'eau, elle flotte pointe en haut, laissant hors de l'eau la moitié de sa hauteur. Le plan de sa base est alors parallèle à celui de la surface de l'eau.

Quel est le volume $V_1$ de la partie hors de l'eau ? 

En déduire le volume $V_2$ de la partie sous l'eau.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le cm. L'unité d'aire est le cm$^2$.

On considère le rectangle ABCD dessiné ci-dessous. 

On sait que AB = 8 et AD = 6.

M est un point du segment [AD], N est un point du segment [BC] tels que AM = CN $= x$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(6.8,5)
\psframe(0.8,0.2)(5.8,3.9)%DCBA
\psline(0.8,0.2)(5.8,1.3)%DN
\psline(0.8,2.7)(5.8,3.9)%MB
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.6,2.7)(0.6,3.9)\uput[l](0.6,3.3){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.2,0.2)(0.2,3.9)\uput[l](0.2,2.05){$6$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(6,0.2)(6,1.3)\uput[r](6,0.75){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.8,4.2)(5.8,4.2)\uput[u](3.3,4.2){$8$}
\rput(1.5,3.4){$\mathcal{A}_1$}\rput(3.3,2){$\mathcal{A}_2$}
\uput[ul](0.8,3.9){A} \uput[ur](5.8,3.9){B} \uput[dr](5.8,0.2){C}
\uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[dr](0.8,2.7){M} \uput[ul](5.8,1.3){N}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$, l'aire $\mathcal{A}_1$ du triangle AMB.
\item Montrer que l'aire $\mathcal{A}_2
$ du quadrilatère MBND est:

\[\mathcal{A}_2 = 48 - 8x.\]

\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal. On choisira 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 4 unités sur l'axe de ordonnées.

Représenter, dans ce repère, les droites d'équation:

\[y = 4x \, \left(d_1\right)\quad \text{et}\quad y = 48 - 8x \, \left(d_2\right)\]

\item Lire, sur le graphique, les coordonnées du point K commun aux droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.

Retrouver ces coordonnées en résolvant un système.
\item Quels renseignements les coordonnées du point K nous donnent-elles, au sujet des aires du triangle AMB et du quadrilatère MBND ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Dans la suite du problème on prend AM = CN $= 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner la figure dans ce cas. La droite (AC) coupe la droite
(BM) en E.
\item Montrer que :

\begin{center}BM $= 4\sqrt 5$\end{center}

puis que:

\begin{center}EB $= 4\sqrt 5 -$ EM.\end{center}

\item En remarquant que les droites (BC) et (AD) sont parallèles, montrer que :

\begin{center}$\dfrac{\text{EB}}{\text{EM}} =  \dfrac3 2$\end{center}

En déduire que :

\begin{center}$2\left(4\sqrt 5 - \text{EM}\right) = 3$EM.\end{center}
\item Résoudre l'équation précédente (l'inconnue est EM).
\end{enumerate}
\end{document}