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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Koweit}
\lfoot{\small juin 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Koweit juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Voici trois nombres :

\[A = \left(2 - \dfrac18\right)\left(\dfrac57 + 1\right), \quad B = \dfrac19 +\dfrac52 : \dfrac34, \quad 
 C = \dfrac{0,005 \times 10^{-4}}{25 \times  10^{-6}}.\]

Calculer $A, B, C$.

$A$ et $B$ seront donnés sous forme de fractions, $C$ en écriture décimale.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit

\[a = 2 - \sqrt 7 \quad \text{et}\quad 
b = 2 + \sqrt 7 .\]

Calculer $a + b \:;\:a - b \:;\:ab \:;\: b^2$ ; (donner les valeurs exactes).

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un magasin fait un rabais de 15\,\% sur tous les articles en rayon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel sera le nouveau prix d'un article anciennement vendu $750$~F ?
\item Soit $x$ l'ancien prix d'un article.

Soit $y$ le prix de l'article soldé.

Exprimer $y$ en fonction de $x$.
\item Un article est soldé $375,70$~F{}. Quel était son ancien prix ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Factoriser l'expression :

\[(3x - 2)(x +1)- 7(3x - 2).\]

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un cercle de centre O et de rayon 5 cm. 

[AB] est un diamètre de ce cercle.

La médiatrice du segment [OA] coupe le cercle en E et D, et le segment [OA] en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure.
\item Démontrer que le triangle AOE est équilatéral.
\item Démontrer que le triangle AEB est rectangle.
\item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{EBA}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le cône représenté ci-dessous a pour hauteur CE $= 12$ cm.

Le disque de base a pour rayon EA $= 5$ cm.

On place le point D, sur la hauteur [CE] tel que CD $= 4$cm. On coupe le cône par un plan parallèle à la base, passant par D : on obtient un disque de rayon [DB].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-0.5)(2.2,5)
\psellipticarc(0,0)(1.9,0.5){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,2.9)(1.9,0.5){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(0.65,0.2){180}{360}
\psframe(0,0)(0.2,0.2) \psframe(0,2.9)(0.2,3.1) 
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,2.9)(0.65,0.2){0}{180}
\psline(-1.9,0.05)(0,4.5)(1.9,0.05)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,4.5)
\psline[linestyle=dashed](1.9,0)(1.9,0)
\uput[l](-1.9,0){A} \uput[l](-0.65,2.9){B} \uput[u](0,4.5){C} \uput[dr](0,2.9){D} \uput[d](0,0){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur CA.
\item Calculer le rayon DB. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de cm, le plus près.
\item Calculer le volume du cône, de rayon EA.

Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'entier le plus proche. L'unité est le cm$^3$.

On rappelle que le volume du cône est donné par la formule $\dfrac{(\text{aire de la base}) \times  \text{hauteur}}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un carré a pour côté $x$ : $x$ est un nombre strictement positif. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le périmètre $P$ de ce carré en fonction de $x$.
		\item Exprimer l'aire $S$ de ce carré en fonction de $x$.
	\end{enumerate}	
\item Un rectangle a pour longueur $\dfrac{x}{2} + 2$ et pour largeur $\dfrac{x}{2}$
($x$ est un nombre strictement positif).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le périmètre du rectangle si $x = 3$.
		\item Exprimer le périmètre $P'$ du rectangle en fonction de $x$.
		\item Exprimer l'aire $S'$ du rectangle en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur papier millimétré un repère orthogonal en prenant 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.
		\item Dans le repère construire la droite D d'équation $y = 4x$
et la droite $D'$ d'équation $y = 2x + 4$.
		\item Lire les coordonnées du point d'intersection E des droites
$D$ et $D'$, les écrire puis vérifier par le calcul les résultats obtenu par la lecture graphique.
		\item Utiliser le graphique pour déterminer les valeurs de x pour lesquelles

\[2x + 4 > 4x.\]

Expliquer brièvement l'utilisation du graphique.
	\end{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ le carré et le rectangle ont-ils le même périmètre ? 

Justifier la réponse.
\item Pour quelles valeurs de $x$ le périmètre du rectangle est-il strictement supérieur au périmètre du carré ? Justifiez votre réponse.
\item Pour quelle valeur de $x$ le carré et le rectangle ont-ils la même aire ?
\end{enumerate}
\end{document}