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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Liban}
\lfoot{\small septembre 2000}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Liban septembre 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne: $G =(2x - 3)^2 - 36$.

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $G$.
\item Factoriser $G$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 9)(2x + 3) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voici un système de deux équations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& 40\\
9x + 5y &=&312.
\end{array}\right.\]

Démontrer, en le résolvant, que ce système admet pour solution $x = 28$ et $y =12$.
\item Un groupe de $40$ personnes s'est inscrit pour une visite guidée en
bus de Paris. 

Ce groupe est composé de $x$ adultes et de $y$ enfants.

Les adultes paient $90$~\euro{} et les enfants $50$~\euro. 

Le responsable du groupe a remis \np{3120}~\euro{} à l'organisateur du circuit.

Combien y a-t-il d'adultes et d'enfants dans ce groupe?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Calculer en donnant les étapes intermédiaires et présenter les résultats sous la forme de fractions irréductibles:

\smallskip

$A = \dfrac78 - \dfrac34 \times \dfrac{20}{9}$

$C = \dfrac{36 \times 10^{-4} \times 22 \times 10^3}{ 33 \times 10^2 \times 30 \times 10^{-3}}$.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On donne : $D = 3\sqrt{28} - 2\sqrt{700}$.

Écrire $D$ sous la forme $a\sqrt 7$, où $a$ est un entier relatif.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la figure ci-dessous:

\begin{center}
\psset{unit=4mm}
\begin{pspicture}(-10,-11)(10,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-10,-11)(10,13)
\psline(-5,2)(-5,6)%DE
\pspolygon(5,6)(5,2)(2,3)%ABC
\uput[u](5,6){A} \uput[dr](5,2){B} \uput[dl](2,3){C} \uput[d](-5,2){D}
\uput[u](-5,6){E} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire en bleu l'image du triangle ABC par la symétrie orthogonale d'axe (OI).
\item Construire en vert l'image du triangle ABC par la translation qui transforme D en E.
\item Construire en rouge l'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle $90\degres$, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-dessous, donnée à titre indicatif, n'est pas en vraie grandeur.

\medskip

\begin{minipage}{0,47\linewidth}

On donne:

AB = 4 cm

AE = 5 cm

AC = 6,4 cm

AD = 8 cm.

Question: les droites (BE) et (CD) sont-elles parallèles ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0,50\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.7)
\pspolygon(2,2.3)(0.2,0.2)(5.6,0.2)%ACD
\psline(0.8,1)(4.4,1)%BE
\uput[l](2,2.3){A} \uput[ul](0.8,1){B} \uput[dl](0.2,0.2){C}
\uput[dr](5.6,0.2){D} \uput[ur](4.4,1){E} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La figure ci-dessous, donnée à titre indicatif, n'est pas en vraie grandeur.

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
ABC est un triangle rectangle en B.

H est le pied de la hauteur issue de B.

On donne: AB $=8 $ cm,  BH$ = 4$ cm,  $\widehat{\text{BCA}} = 60\degres$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.5,2.5)(5.7,0.2)%ABC
\psline(4.5,2.5)(4.5,0.2)%BH
\uput[l](0.2,0.2){A} \uput[u](4.5,2.5){B} \uput[r](5.7,0.2){C} \uput[d](4.5,0.2){H} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en centimètres, la mesure du segment [AH],arrondie au mm.
\item Calculer, en centimètres, la mesure du segment [HC],approchée à $0,1$ près par défaut.
\item Soit J le point du segment [AC] tel que $\dfrac{\text{AJ}}{\text{AC}} = \dfrac14$. 

La parallèle à la droite (BC) passant par J coupe le segment [AB] en K. Expliquer pourquoi AK $= 2$~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L'unité de longueur est le centimètre. On donne les points A(1~;~- 3); B(- 3~;~5) et C(3~;~3). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur la feuille de papier millimétré que vous joindrez à votre copie le repère orthonormal (O, I, J) et placer les trois points A, B, C dans ce repère.

On veillera à placer le point O au centre de la feuille.
\item Calculer les valeurs exactes des longueurs AC, BC et AB. 

Expliquer pourquoi le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle.
\item Montrer que le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées
$(- 1~;~1)$.

Calculer les coordonnées du vecteur CK.
\item Construire le point D tel que $\vect{\text{KD}} = \vect{\text{CK}}$.

Montrer que le point D est le symétrique du point C par rapport au point K.

Montrer que le quadrilatère ADBC est un carré.
\item Construire les points A$'$, B$'$ et D$'$, symétriques respectifs des points A, B et D dans la symétrie de centre C.

Quelle est la nature du quadrilatère A$'$D$'$B$'$C$'$ ? Quels résultats de cours permettent d'arriver à cette conclusion ?
\end{enumerate}
\end{document}