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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Lille }
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lille septembre 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants en faisant apparaître les différentes étapes. 

Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.


\[A = 7 - 5(1 - 0,6)^2 \qquad B = \sqrt 2\left(\sqrt{50}  - 2\sqrt 8\right)\]


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire : $A = (3x - 2)^2 + (x + 3)(x - 1)$.
\item Factoriser : $B = (x + 5)^2 - 9x^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Lors du dernier cross du collège, les meilleurs participants des trois catégories : benjamins, minimes, cadets ont été récompensés par une médaille.

Sachant que : 
\begin{description}
\item[ ] 1/3 des médailles a été remise aux benjamins,
\item[ ] 2/7 des médailles a été remis aux minimes,
\item[ ] et que 16 médailles ont été remises aux cadets.
\end{description}

 Calculer le nombre de médailles distribuées.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le graphique ci-dessous représente le déplacement de Marc en fonction du temps.

Marc part de chez lui (A) à bicyclette, à 14 heures, pour se rendre au collège (C) situé à 10 km de chez lui.

Une panne de bicyclette l'oblige à s'arrêter quelques minutes, il décide alors de continuer à pied.

En cours de route (B), il croise Sophie qui rentre du collège et qui lui annonce un devoir surveillé pour 15 heures. Il se met alors à courir.

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(0,-0.7)(70,11)
\multido{\n=0.0+2.5}{29}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0.0+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,labelFontSize=\scriptstyle]{-}(0,0)(0,0)(70,11)
\uput[u](62.5,0){Temps (h)}\uput[r](0,10.8){Distance km)}
\uput[d](0,-0.5){14 h 00}\uput[d](30,-0.5){14 h 30}\uput[d](60,-0.5){15 h 00}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(15,5)(20,5)(45,7.5)(65,10)
\rput{59.03}(7.5,3){à byciclette}\rput{26.57}(32.5,6.5){en marchant}\rput{32}(55,9){en courant}
\uput[ur](0,0){A}\uput[u](45,7.5){B}\uput[u](65,10){C}
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Combien de temps Marc s'est-il arrêté ?
\item À quelle heure Marc croise-t-il Sophie ? et à combien de km du collège ?
\item Déterminer la vitesse moyenne de Marc sur la totalité de son parcours.
\item À quelle heure serait-il arrivé au collège s'il avait continué en marchant ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On considère la figure ci-contre qui n'est pas en vraie grandeur. Les droites (FG) et (HK) sont parallèles et :

FG $= 3$ cm ; EG $= 4,5$ cm ; EK $= 7,5$ cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.4,4.5)
\pspolygon(0.2,0.4)(3,0.2)(1.4,4.1)%HKE
\psline(0.67,1.8)(2.46,1.6)%FG
\uput[u](1.4,4.1){E} \uput[l](0.67,1.8){F} \uput[r](2.46,1.6){G} \uput[l](0.2,0.4){H} \uput[r](3,0.2){K} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer HK.
\item Le triangle EFG est une réduction du triangle EHK. 

Quel est le rapport de réduction ?
\item Démontrer que : $\dfrac{\text{aire du triangle EFG}}{\text{aire du triangle EHK}} = \dfrac{9}{25}$.
\item Sachant que l'aire du triangle EHK est $15$ cm$^2$, calculer l'aire du triangle EFG.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.6,4)
%\psgrid
\psframe(0,0.5)(4.2,2.9)
\psline(4.2,0.5)(6.3,1.3)(6.3,3.7)(4.2,2.9)%côté droit
\psline(6.3,3.7)(2.1,3.7)(0,2.9)%haut
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(2.1,1.3)(6.3,1.3)
\psline[linestyle=dashed](2.1,1.3)(2.1,3.7)
\rput{45}(5.25,2.1){\psellipse(0,0)(1.,0.85)}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.3)(4.2,0.3)\uput[d](2.1,0.3){24 mm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.5,1.3)(6.5,3.7)\rput{90}(6.7,2.5){15 mm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5,0.5)(7,1.3)\uput[dr](6,0.9){15 mm}
\psline[linestyle=dashed](5.2,2.98)(1.05,2.1)(5,1.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Pour fabriquer un taille-crayon, on enlève un cône de révolution dans un bloc de métal en forme de parallélépipède rectangle. (Ne pas reproduire le schéma.) 

La hauteur du cône est 24 mm et le diamètre de base du cône est $10$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en mm$^3$ le volume du bloc de départ.
\item Calculer en mm$^3$ le volume de métal restant.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(3.7,0.2)(2.8,1.6)(1.6,1.6)%ADCB
\psline(0.2,0.2)(0.2,3.7)%AD'
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](1.6,1.6){B} \uput[ur](2.8,1.6){C} \uput[dr](3.7,0.2){D} \uput[u](0.2,3.7){D$'$} \rput(1.95,0.9){$T_1$}
\end{pspicture}
\end{center}

Construire :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la figure $T_2$ transformée de $T_1$ par la symétrie centrale de centre D ;
\item[$\bullet~$] la figure $T_3$ transformée de $T_1$ par la rotation de centre A qui transforme D en D$'$ ;
\item[$\bullet~$] la figure $T_4$ transformée de $T_1$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$. (Indiquer sur chaque figure ainsi obtenue le numéro qui lui correspond.)
\end{itemize}

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité est le centimètre.On considère la figure ci-dessus pour laquelle :


\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]ABC est un triangle équilatéral de côté 10,
\item[$\bullet~$]K est le projeté orthogonal du point B sur la droite (AC),
\item[$\bullet~$]La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CBK}}$ coupe le segment [CK] en I,
\item[$\bullet~$]H est le projeté orthogonal du point I sur la droite (BC).
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que CK $= 5$.
\item Calculer la valeur exacte de BK.
\item On pose IK $= x$. En déduire que IC $= 5 - x$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(6.6,0.2)(3.4,5.54)%BCA
\psline(0.2,0.2)(5,2.87)%BK
\psline(5.7,0.2)(5.7,1.7)%HI
\uput[l](0.2,0.2){B} \uput[u](3.4,5.54){A} \uput[r](6.6,0.2){C} \uput[d](5.7,0.2){H} \uput[ur](5.7,1.7){I} 
\uput[ur](5,2.87){K}
\psline(0.2,0.2)(5.7,1.7)%BI
\rput(0.2,0.2){\psarc[linecolor=red](0,0){0.8}{15}{30}}
\rput(0.2,0.2){\psarc[linecolor=red](0,0){1}{0}{15}}
\rput{-150}(5,2.87){\psframe(0.2,0.2)}
\psframe(5.7,0.2)(5.5,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Utiliser la trigonométrie dans le triangle IHC pour prouver que HC $= \dfrac{5 - x}{2}$ 

$\left.(\text{on donne }\:\cos 60\degres = \dfrac12\right)$.

Exprimer ensuite BH en fonction de $x$.

\item Préciser, sans justifier, par quelle transformation on passe du triangle BIK au triangle BIH.

Quelle propriété de cette transformation permet de déduire que BK = BH ? 

Traduire cette égalité par une équation d'inconnue $x$. Trouver alors la valeur exacte de $x$.
\item Démontrer que $\widehat{\text{IBK}}= 15\degres$ et utiliser les résultats précédents pour
trouver la valeur exacte de $\tan 15\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}