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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Lille Paris}
\lfoot{\small septembre 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Lille Paris septembre 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$A = \dfrac83 + 5 : \left(1 - \dfrac25 \right)$
\smallskip

$B = \dfrac{55 \times 10^3 \times 2^{10}}{10^4 \times 2^9}$
\medskip

$C = \left(4 + \sqrt 5\right)\left(4 - \sqrt 5\right)$
\medskip

$D = 2\sqrt{45} + \sqrt{8l}-3\sqrt{20}+ 2$.
\medskip

Démontrer que $A = B = C = D$.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$E = (2x + 3)^2 + (x - 5)(2x + 3)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x =- \dfrac13$.
\item Résoudre l'équation: $(2x + 3)(3x - 2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Des élèves ont comparé les tarifs pratiqués dans 5 cinémas différents. Chacun d'entre eux a emmené quelques amis dans un cinéma et ils ont noté leurs dépenses dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Cinéma A &Cinéma B &Cinéma C &Cinéma D &Cinéma E\\ \hline
Nombre de places achetées&3 &5 &7 &4 &6\\ \hline
Sommes dépensées (en \euro)&16,02 &25&42,70& 24,80&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'élève qui est allé au cinéma E a perdu le ticket, mais il sait que le tarif était le même que dans le cinéma D.

Calculer le prix payé par cet élève pour les 6 places achetées.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le cinéma qui pratique le tarif le moins cher.
		\item Calculer, en euros, la moyenne des tarifs pratiqués dans chaque cinéma.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur le schéma ci-après :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{A}_1$, image de $\mathcal{A}$ par la symétrie de centre A
\item Tracer $\mathcal{A}_2$, image de $\mathcal{A}$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Quelle transformation permet de passer directement de $\mathcal{A}_1$ à $\mathcal{A}_2$ ?
\item Tracer $\mathcal{A}_3$, image de $\mathcal{A}$ par la rotation de centre O qui transforme I en J.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(21,18)
\multido{\n=1+1}{22}
	{\multido{\na=1+1}{18}
		{\rput(\n,\na){$\bullet$}
		}
	}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.7](7,13)(6,12)(13,10)(12,7)(11,4)%JIABC
\uput[ur](7,13){J} \uput[dl](6,12){I} \uput[ur](13,10){A}
\uput[dr](12,7){B} \uput[dr](11,4){C} \uput[d](7,12){O}\rput(9.5,12){$\mathcal{A}$}
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](7,12)(8,13)(10,13)(11,12)(10,11)(8,11)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}On sait que:

\begin{itemize}
\item EF $= 4$ cm ; FG$ = 3$ cm ; EG $= 5$ cm ; 

AE $= 7$ cm ;
\item $\widehat{\text{DAB}} = 30\degres$ ;
\item les points A, E et G sont alignés ;
\item les points D, E et F sont alignés ;
\item (AB) est la hauteur issue de A dans le triangle AED.
\end{itemize}

\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.47\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2.8)(6,1.4)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(5.7,0)(4.8,1.2)(0.6,-2.1)%AGFD
\psline(0,0)(1.17,-1.66)%AB
\uput[u](0,0){A} \uput[dr](1.2,-1.7){B} \uput[d](0.6,-2.1){D}
\uput[ul](3.4,0){E} \uput[u](4.8,1.2){F} \uput[d](5.7,0){G}
\psarc(0,0){0.5}{-77}{-55}\rput{-66}(0.45,-0.9){\small $30\degres$}
\rput{37}(1.17,-1.66){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

On considère la figure ci-dessus (les dimensions ne sont pas respectées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que EFG est un triangle rectangle.
\item En déduire que (FG) est parallèle à (AB).
\item Calculer BE et AB.
\item Calculer DB. On donnera la valeur exacte en s'aidant du tableau ci-dessous.
\item Calculer l'aire du triangle AED à 0,01 cm$^2$ près.
\end{enumerate}

\begin{center}\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&$\cos$ &$\sin$ &$\tan$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{10mm}$30\degres$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{10mm}$60\degres$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

M. Untel propose des boules de glace de $1,5$~cm de rayon. 

Calculer le volume d'une boule (arrondi à 1 cm$^3$).

Des clients très gourmands ont réclamé des boules plus grosses. 

M. Untel double le rayon de ses boules de glace. Par combien le volume d'une boule a-t-il été multiplié ?

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Première partie}

La figure ci-après est à compléter.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\pscircle(0,0){3}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](3;110)(3;-125)(3;-40)(3;-70)(0;0)%ABCEO
\uput[ul](3;110){A} \uput[dl](3;-130){B} \uput[dr](3;-40){C} \uput[dr](3;-70){E} \uput[ur](0,0){O}
\psline(3;110)(3;-70)
\end{pspicture}
\end{center}

B et C sont deux points du cercle  de centre O et de diamètre [AE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ACE et ABE sont des triangles rectangles.
\item La parallèle à (EC) passant par B coupe [AC] en K.

La parallèle à (EB) passant par C coupe [AB] en J.

(BK) et (CJ) se coupent en H.

Démontrer que BHCE est un parallélogramme.
\item Placer le milieu A$'$ de [BC] et démontrer que A$'$ est le milieu de [HE].
\item Dans le triangle AHE, démontrer que: $\text{AH} = 2 \times  \text{OA}'$.
\item Démontrer que H est le point de concours des hauteurs.
\end{enumerate}

%%%%%
\textbf{Deuxième partie}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Le triangle ABC, inscrit dans le cercle ~ de centre O, est tel que :
$\widehat{\text{BOC}} = 90\degres$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(3,3)
%\psgrid
\pscircle(0,0){3}
\uput[ul](3;110){A} \uput[dl](3;-130){B} \uput[dr](3;-40){C} \uput[dr](3;-70){E} \uput[ur](0,0){O}\uput[ul](-0.5,-1.4){H}\uput[ur](1.17,-0.24){K}\uput[ul](-0.4,-2.2){I}\uput[ur](-1.7,-1.17){J}
\pspolygon(3;110)(3;-130)(3;-40)%ABC
\psline(3;110)(3;-70)%AE
\psline(3;-130)(0;0)(3;-40)%BOC
\psline(3;-130)(3;-70)(3;-40)%BEC
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](3;110)(-0.4,-2.18)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](3;-130)(1.16,-0.25)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](3;-40)(-1.73,-1.14)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](3;-70)(-0.5,-1.4)
\end{pspicture}
\end{minipage} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien mesure l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ ? Justifier la réponse.
\item A$'$ est le milieu de [BC]. Démontrer que: OA$' = \dfrac{1}{2}$BC.
\item On appelle H le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC.

On rappelle que : AH $=2 \times  \text{OA}$. 

En déduire que : AH = BC.
\end{enumerate}

\textbf{Troisième partie}

\medskip

La figure ci-après est à compléter.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,6.3)
\pspolygon(0,0)(2.7,2.85)(0,5.7)%BCA
\uput[u](0,5.7){A} \uput[d](0,0){B} \uput[r](2.7,2.85){C} \uput[d](0.27,5.3){$45\degres$}
\psarc(0,5.7){0.5}{-90}{-45}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}