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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 1992}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip



La région Limousin comporte trois départements : Corrèze, Creuse et Haute-Vienne. Les recensements de la population en 1982 et 1990, exprimés en milliers d'habitants, ont donné les résultats contenus dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Année}{Département} &CORRÈZE&CREUSE&HAUTE-VIENNE\\ \hline
1982&241,5&140&355,6\\ \hline
1990&237,9&131,4&353,6\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source INSEE}}
\end{tabularx}
\end{center}

Calculer la population du Limousin pour chacune de ces années. 

Cette population a-t-elle augmenté ou diminué de 1982 à 1990 ? 

De combien de milliers d'habitants ?

De quel pourcentage par rapport à l'année 1982 ?

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $E = (3x - 2)^2 - (x - 5)(3x - 2)$.

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Mettre $E$ sous la forme d'un produit de facteurs. 
\item Résoudre l'équation

\[(3x - 2)(2x + 3) = 0.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.2)
\psframe(0.7,0)(5.7,2.85)
\psframe(8.5,0.5)(9.9,1.9)
\uput[l](0.7,1.425){$2x$}\uput[u](3.2,2.85){$4x$}
\uput[l](8.5,1.2){$x$}\uput[u](9.2,1.9){$x$}
\psframe(0.7,0)(0.9,0.2)
\psframe(8.5,1.9)(8.7,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}

Le dessin représente un rectangle et un carré. 

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $x$ l'aire du rectangle et celle du carré.
\item Sachant que la somme des deux aires est 450 cm$^2$, calculer le côté $x$ du carré.
\end{enumerate}

%\begin{enumerate}
%\item 
%\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC est un triangle tel que AB $= 4$ cm, BC $= 6$ cm et $\widehat{\text{B}} = 52\degres$.

On désigne par I le point de [AB] tel que BI $= 2,4$ cm.

Placer J sur [AC], tel que les droites (IJ) et (BC) soient parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
\item Calculer IJ.
\item Tracer la parallèle à (AB) passant par J. Elle coupe (BC) en K.

Montrer que IJKB est un losange.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-dessous représente un parallélépipède rectangle,
dont la longueur mesure 6 cm, la largeur 4 cm et la hauteur 4 cm.

I, J, K sont les milieux respectifs de [AB], [BC] et [BF].

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(9,6.5)
%\psgrid
\psframe(1.5,1)(6.3,4.2)
\psframe(6.3,4.2)(6.1,4)
\psline(6.3,1)(7.8,2.6)(7.8,5.8)(6.3,4.2)%FGCB
\psline(7.8,5.8)(3,5.8)(1.5,4.2)%CDA
\psline(6.3,1)(7.8,5.8)%FC
\pspolygon(6.3,2.6)(7.05,5)(3.9,4.2)%KJI
\uput[ul](1.5,4.2){A}\uput[ul](6.3,4.2){B}\uput[ur](7.8,5.8){C}
\uput[ul](3,5.8){D}\uput[dl](1.5,1){E}\uput[dr](6.3,1){F}
\uput[ur](7.8,2.6){G}\uput[l](3,2.6){H}\uput[l](3.9,4.2){I}
\uput[u](7.05,5){J}\uput[dl](6.3,2.6){K}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.2,1)(1.2,4.2)\uput[l](1.2,2.6){4 cm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(6.5,1)(8,2.6)\uput[r](7.25,1.8){4 cm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.5,0.8)(6.3,0.8)\uput[d](3.5,0.8){6 cm}
\psline[linestyle=dashed](1.5,1)(3,2.6)(7.8,2.6)%EHG
\psline[linestyle=dashed](3,2.6)(3,5.8)%HD
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de FC et JK. 
\item Quelle est l'aire du triangle BJK ?
\item Quel est le volume du tétraèdre IBJK ?
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un repère orthonormal (O, I, J) sur papier millimétré, l'unité étant le centimètre.

Placer les points A et C définis par leurs coordonnées : A(2~;~4) ; C(10~;~0).
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AC}}$, puis la longueur AC.
\item Placer le point M de coordonnées $(- 6~;~8)$ et le point N projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses.

Vérifier par le calcul que A est le milieu de [MC]. 

Quelles sont les coordonnées de N ?
\item Trouver une équation de la droite (OM).
\item Vérifier que les points A et N sont sur la droite d'équation

\[y = \dfrac12 x + 3.\]

\item  Résoudre le système:

\renewcommand\arraystretch{2}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y &=& - \dfrac43 x\\
y &=&\phantom{-}\dfrac12 x + 3.
\end{array}\right.\]

Quelles sont les coordonnées du point R, intersection des droites (AN) et (DM) ?
\end{enumerate}
\end{document}