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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Limoges septembre 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soient $x = \dfrac27$\:  et $y = \dfrac43$.

Calculer : 

\[A = x - y\:, \quad B = 7x - 3y\:, \quad C = x-2 - y-2\:, \quad  D = \dfrac xy\]

On donnera chaque résultat sous forme fractionnaire ou éventuellement sous forme d'un entier positif ou négatif.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre

Le point B appartient au segment [AE] et le point O au segment [AD]. 

ABCD est un carré de côté $x$, ($x > 1$).

AEFG est un rectangle et l'on a BE $= 5$ et GD $= 1$.

\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.2,2.8)
\psframe(0.2,0.2)(2.3,2.3)%DCBA
\psframe(0.2,0.9)(5.8,2.3)%GFEA
\uput[ul](0.2,2.3){A} \uput[u](2.3,2.3){B} \uput[dr](2.3,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](5.8,2.3){E} \uput[dr](5.8,0.9){F} \uput[l](0.2,0.9){G}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du rectangle AEFG en fonction de $x$ et donner le résultat sous forme développée.

Calculer l'aire du carré ABCD en fonction de $x$.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour que l'aire du rectangle AEFG soit égale à celle du carré ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, placer les points A, B, C définis par:

\[\text{A}(3~;~4) \qquad\text{B}(8~;~4) \qquad\text{C}(0~;~8)\]

Faire le dessin sur du papier millimétré. (On prendra 1 cm pour unité en abscisse et en ordonnée.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
\item Calculer AC.
\item Montrer que ABC est un triangle isocèle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.64\linewidth}
L'unité de longueur est le centimètre.

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.

On donne

AC = 4, AO = 8, BC = 2. 

On ne demande pas de refaire la figure.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,6.1)
\psframe(0.2,0.2)(2.7,5)%ABFE
\psline(2.7,0.2)(3.5,1.1)(3.5,5.9)(2.7,5)%BCGF
\psline(3.5,5.9)(1,5.9)(0.2,5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1,1.1)(3.5,1.1)%ADC
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.1)(0.2,0.2)(3.5,5.9)%CAG
\psline[linestyle=dashed](1,1.1)(1,5.9)%DH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[d](2.7,0.2){B} \uput[r](3.5,1.1){C} \uput[ur](1,1.1){D}
\uput[l](0.2,5){E} \uput[dl](2.7,5){F} \uput[r](3.5,5.9){G}
\psline(3.5,1.3)(3.3,1.1)(3.3,0.9)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB et OC.

(On rappelle que l'angle $\widehat{\text{ACG}}$
 est droit; on donnera les valeurs exactes de AB et GC.)
\item Calculer cos $\cos \widehat{\text{CAG}}$.
\item En déduire la valeur en degrés de l'angle $\widehat{\text{CAG}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette première question, l'unité est le centimètre.

Soit ABCD un carré de côté 10 cm. Soit E le milieu du segment [AB].

Le cercle de centre E et de rayon EC coupe en F la demi-droite d'origine A contenant B.

Soit H le quatrième sommet du rectangle DAFH.
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item Calculer EC et l'exprimer sous la forme $n\sqrt 5$, $n$ étant un
entier.
		\item En déduire AF.
		\item Calculer le quotient $q = \dfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}$ vaut $\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$ dans le rectangle DAFH.
	\end{enumerate}	
\item Un rectangle dans lequel le quotient $\dfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}$ 
s'appelle un rectangle d'or.
	\begin{enumerate}
		\item Soient $L$ et $l$, la longueur et la largeur d'un rectangle exprimées avec la même unité. 
		
Exprimer $L$ en fonction de $l$ sachant que le rectangle est un rectangle d'or.
		\item La nef de l'église Notre-Dame-du-Port à Clermont-Ferrant a la forme d'un rectangle d'or.
		
Sa largeur est de $13,30$ m. Déterminer la valeur arrondie au dixième de mètre près de la longueur de cette nef.
	\end{enumerate}
\item Le rectangle DAFH de la première question est un rectangle d'or. 

Soit M un point quelconque de la diagonale [FD], distinct de F.

On projette M orthogonalement en R sur (AF) et en S sur (FH) ; le quadrilatère FRMS est donc un rectangle.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\dfrac{\text{FR}}{\text{FA}} = \dfrac{\text{FM}}{\text{FD}}$ et que $\dfrac{\text{FS}}{\text{FH}} = \dfrac{\text{FM}}{\text{FD}}$.


		\item En déduire que $\dfrac{\text{FR}}{\text{FS}} = \dfrac{\text{FA}}{\text{FH}}$, puis que le rectangle FRMS est un rectangle d'or.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}