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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Limoges}
\lfoot{\small juin 2000}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Limoges juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de \np{114400} et \np{60775}.
\item Expliquer comment, sans utiliser la touche \og fraction \fg{} d'une calculatrice, rendre irréductible la fraction $\dfrac{\np{60775}}{\np{114400}}$.
\item Donner l'écriture simplifiée de $\dfrac{\np{60775}}{\np{114400}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible :

\[A= \dfrac43 - \dfrac13 \times \left(3 + \dfrac12 \right)\]

\item Simplifier $B$ :

\[B = \dfrac{6 \times 10^{-2} \times 15 \times 10^7}{ 8 \times 10^2}\]

\item Écrire le nombre $C$ sous la forme $a + b\sqrt6$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs :

\[C = 3\sqrt2\left(\sqrt3 +1 \right) + \left(\sqrt2 - 1\right)\left(\sqrt2 - 2\right)\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $D = 9x^2 - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle identité remarquable permet de factoriser $D$ ?
		\item Factoriser $D$.
	\end{enumerate}
\item Soit $E = (3x + 1)^2 + 9x^2 - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer $E$.
		\item Factoriser $E$.
		\item Déterminer les solutions de l'équation $6x(3x + 1) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon 3 cm. 
\item Placer sur $\mathcal{C}$ deux points E et F tels que le triangle OEF soit équilatéral.
\item Tracer la tangente au cercle $\mathcal{C}$ passant par E ; elle coupe (OF) en A. 
\item Montrer que OEA est rectangle.
\item Calculer les mesures des angles du triangle AEF{}.
\item Démontrer que F est le milieu de [OA].
\item Donner les valeurs exactes de $\sin \widehat{\text{A}}$ et $\cos \widehat{\text{A}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
x - 3y 	&=& 0\\
x - y 	&=& 4,5
 \end{array}\right.$

\item Dans le triangle ABC ci-dessous, on donne: AB $= 6$ cm ; BC $ = 9$ cm. 

M est le point de [AB) tel que AM $= 2$ cm.

La droite parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(5,1.8)
%\psgrid
\pspolygon(2.8,1.4)(0.4,0)(4.8,0)%ABC
\psline(0.4,0.85)(4.8,0.85)
\uput[u](2.8,1.4){A} \uput[ul](0.4,0){B} \uput[ur](4.8,0){C} \uput[ul](1.8,0.85){M} \uput[ur](3.6,0.85){N}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer MN.
		\item Donner la valeur de $\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que [NC] mesure 4,5 cm et l'on pose AN $= y$ et AC $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Établir les égalités: $x - y= 4,5$ et $x - 3y = 0$.
		\item Calculer AN et AC, en utilisant éventuellement les questions 1. et 3. a.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\medskip

\textbf{Remarque :} les calculs sont possibles même si les questions 1. et 3. a. n'ont pas été traitées.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Soit (O, I, J) un repère orthonormal du plan. (Unité : le cm.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne la fonction affine $f$ définie par : $x \longmapsto \dfrac32 x + \dfrac92$, et la fonction affine $g$ définie par : $x \longmapsto - 3x + 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ ; $g(0)$ ; $f(2)$ ; $g(2)$.
		\item Quel est le nombre dont l'image par $g$ est 5 ?
		\item Tracer les représentations graphiques $\left(d_1\right)$ de $f$ et $\left(d_2\right)$ de $g$.
	\end{enumerate}
\item Dans la figure ci-dessous le rectangle ABCD est tel que : AB $= 6$ cm
AD $= 3$ cm.

F est le milieu de [AB].

E et G sont deux points de [DG] tels que DE = GC.

On pose DE $= x$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,3.5)
\psframe(0.5,0.5)(6.1,3.3)%DCBA
\psline(1.4,0.5)(3.3,3.3)(5.2,0.5)%EFG
\uput[u](0.5,3.3){A} \uput[u](6.1,3.3){B} \uput[d](6.1,0.5){C} \uput[d](0.5,0.5){D}
\uput[d](1.4,0.5){E} \uput[u](3.3,3.3){F} \uput[d](5.2,0.5){G}
\end{pspicture}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les aires de EFG, AFED et FBCG lorsque $x = 2$.
		\item Les points D, E, G et C doivent rester dans cet ordre; entre quelles val
varie $x$?
		\item Exprimer, en fonction de $x$, les aires de EFG, AFED et FBCG.
		\item Utiliser la première partie du problème pour déterminer graphiquement pour
quelle valeur de $x$ le rectangle est partagé en trois parties égales.
		\item Vérifier ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}