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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Lyon juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne $a = 0,5$ et $b = - 1$.

\begin{enumerate}
\item Calculer : $a^2 ;\quad b^2 ;\quad 4a - ab ;\quad \dfrac a b + \dfrac b a$.

Les résultats seront donnés sous forme décimale.
\item Donner l'écriture en notation scientifique de $a^7$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre l'inéquation suivante:

\[5x - 7 < 9x - 12.\]

Représenter graphiquement les solutions sur une droite graduée.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Deux objets coûtent à eux deux $110$ francs. L'un coûte $100$ francs de plus que l'autre.

Quel est le prix de chacun des deux objets ?

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On donne les nombres :

\[\begin{array}{l c l}
a &=& \left(3 + \sqrt 2\right)^2\\
b &=& \left(3 - \sqrt 2\right)^2\\
c &=&2\left(3 + \sqrt 2\right)\\
d &=& \left(3 + \sqrt 2\right)\left(3 - \sqrt 2\right).
\end{array}\]

On affirme: \og Un seul de ces quatre nombres $a$, $b$, $c$, $d$ peut s'écrire sans radical\fg.

Cette phrase est-elle vraie ? Faire figurer sur la copie les développements de $a$, $b$, $c$, $d$ qui vous permettront de répondre à la question.

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCDE est une pyramide régulière à base carrée représentée par le dessin ci-dessous. 

BCDE est un carré de 4 cm de côté, dont les diagonales se coupent en H. 

Les arêtes issues de A mesurent 6 cm. [AH] est la hauteur issue de A.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-1)(2.3,2.5)
%\psgrid
\psline(0,2.2)(-2.3,-0.8)(0.9,-0.8)(2.3,0.8)(0,2.2)(0.9,-0.8)%ABCDAC
\pspolygon[linestyle=dashed](-2.3,-0.8)(-0.9,0.8)(2.3,0.8)%BEDB
\psline[linestyle=dashed](0.9,-0.8)(-0.9,0.8)(0,2.2)(0,0)%CEAH
\uput[u](0,2.2){A}\uput[d](-2.3,-0.8){B}\uput[d](0.9,-0.8){C}
\uput[r](2.3,0.8){D} \uput[l](-0.9,0.8){E} \uput[d](0,0){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter en vraie grandeur la base BCDE et calculer la longueur du segment [BD] : donner la valeur exacte puis la valeur approchée au millimètre près le plus proche.
\item Représenter en vraie grandeur le triangle ABD et placer le point H.

Calculer la longueur du segment [AH] : donner la valeur exacte puis la valeur approchée au millimètre près le plus proche.
\item Calculer, en utilisant éventuellement le formulaire ci-dessous, le volume de cette pyramide.
Donner la valeur approchée de ce volume arrondie au cm$^3$ le plus proche.

\medskip

\emph{Formulaire}

Volume d'un cylindre de révolution ou du prisme droit :

\[V = B \times h.\]

Volume de la sphère :

\[V = \dfrac43 \pi R^3.\]

Volume de la pyramide ou du cône de révolution :

\[V = \dfrac13 B \times h.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCD est un carré de 5 cm de côté. 

O est un point de la droite (DC) tel que OC $= 15$ cm et OD $= 10$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les segments [OB] et [AD] se coupent en B$'$. 

Calculer B$'$D.
\item On trace la parallèle à (OC) qui passe par B$'$, elle coupe
le segment [OA] en A$'$.

Calculer A$'$B$'$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur papier millimétré un repère orthonormal en prenant 1 cm pour unité sur les axes.

Placer les points A$(1~;~- 2)$ ; B $(- 3~;~- 4)$ ; C $(-1~;~2)$ et D(5~;~0).
\item Montrer que A est le milieu du segment [BD].
\item Déterminer les équations des droites (BC) et (CD). En déduire que ces droites sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\medskip

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Soit un cercle (C) de centre 0 et de rayon 3 cm. [AB] un diamètre de ce cercle, $(d)$ la tangente en B à ce cercle.

Sur $(d)$, placer D, tel que BD $= 4,5$ cm, et E tel que BE $= 8$ cm, B devant être entre D et E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item
	\begin{enumerate}
		\item La droite $(d)$ est perpendiculaire à (AB) ; pourquoi ?
		\item Calculer la tangente des angles $\widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{BAE}}$. 
		
En déduire les valeurs approchées de $\widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{BAE}}$, arrondies au degré le plus proche.
		\item En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{DAE}}$.
		
Que laisse prévoir ce résultat sur la nature du triangle DAE ?
	\end{enumerate}	
\item Calculer AD et AE ; en déduire que le triangle DAE est rectangle.
\item La droite (AD) coupe le cercle (C) en M.

Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
\end{document}