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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Nancy--Metz}
\lfoot{\small juin 1992}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy--Metz juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On pose 

\[A = 64x^2- 49 - (8x - 7)(x + 3).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $64x^2 - 49$ puis factoriser $A$.
\item Développer et réduire

\[A = 64x^2- 49 - (8x - 7)(x + 3).\]
\item Développer et réduire

\[(8x - 7)(7x + 4).\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

En 1896, Pierre de Coubertin eut l'idée de faire revivre les Olympiques.

Treize pays ont participé aux Jeux cette première année et le tableau suivant donne la répartition des 37 médailles d'or attribuées.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
États-Unis	&Allemagne	&Grèce	& France& Autres pays\\ \hline
 11			& 5			& 9		& 3		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de médailles d'or obtenues par les \og Autres pays \fg{} ?
\item Traduire le tableau par un diagramme circulaire. On prendra un rayon de $4$ cm et on dressera un tableau précisant pour chacune des 4 premières classes l'angle correspondant, calculé à $1\degres$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

J'ai 45 \og pin's \fg{} et j'ai décidé d'arrêter ma collection.

J'échange chaque \og pin's\fg{} publicitaire contre 4 autocollants et chaque \og pin's\fg{}  non publicitaire contre 3 autocollants. 

J'ai maintenant $156$ autocollants.

Combien de \og pin's\fg{}  de chaque catégorie avais-je dans ma collection ?

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur un plan à l'échelle 1/\np{12000}, un jardin public est représenté par un rectangle dont l'aire est de $12$~cm$^2$.

Quelle est, en hm$^2$ (ou ha), l'aire réelle du jardin public ? 

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit deux points M et N, et une droite $\Delta$, sécante à (MN)
en O. 

On appelle I le milieu de [MN].

Les points I et O sont distincts.

Soit A et B deux points distincts de $\Delta$.

On considère les triangles AMN et BMN. Soit G et H leurs centres de gravité respectifs.

(On rappelle que le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des médianes et qu'il se trouve aux deux tiers de celles-ci à partir des sommets).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la figure.

Recopier et compléter :

\[\text{IG} = \ldots\text{IA}\quad  \text{et\: IH} = \ldots \text{IB}.\]

\item Prouver que (GH) et $\Delta$ sont parallèles en énonçant avec précision le théorème utilisé.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Tracer un triangle quelconque ABC. Placer un point M sur le segment [AB] et le point N sur [AC] tels que les droites (MN) et (BC) soient parallèles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit K le point de (BC) tel que (NK) soit parallèle à (AB). 

Recopier et compléter :`

\[\begin{array}{l c l}
\vect{\text{BK}} + \vect{\text{BM}} &= &\ldots\\
\vect{\text{MN}} + \vect{\text{KC}} &=&\ldots
\end{array}\]

\item Quelle est l'image de B par la translation de vecteur $\vect{\text{MN}} + \vect{\text{KM}}$ ?

Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Un restaurant d'entreprise est constitué d'un pavé droit de base carrée surmonté d'une pyramide régulière SABCD dont la base ABCD a pour centre 1.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.5)(4.2,1.8)
%\psgrid
\psline(0,1.3)(-2.5,-0.9)(0.6,-0.9)(0,1.3)(2.5,0.9)(0.6,-0.9)%SABSCB
\psline(0,1.3)(1.6,0)%SM
\psline(0,1.3)(-0.6,0.9)(-2.5,-0.9)%SDA
\psline(-2.5,-0.9)(-2.5,-1.6)(0.6,-1.6)(0.6,-0.9)
\psline(0.6,-1.6)(2.5,0.2)(2.5,0.9)
\psline[linestyle=dashed](0,1.3)(0,0)(1.6,0)%SIM
\psline[linestyle=dashed](-2.5,-0.9)(2.5,0.9)%AC
\psline[linestyle=dashed](0.6,-0.9)(-0.6,0.9)%BD
\psline[linestyle=dashed](-2.5,-1.6)(-0.6,0.2)(-0.6,0.9)(2.5,0.9)
\psline[linestyle=dashed](-0.6,0.2)(2.5,0.2)
\uput[l](-2.5,-0.9){A} \uput[r](0.6,-0.9){B} \uput[ur](2.5,0.9){C} \uput[ul](-0.6,0.9){D}
\uput[u](0,1.3){S} \uput[d](0,0){I} \uput[dr](1.6,0){M}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3,0.2)(3,0.9)\uput[r](3,0.55){2,4 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-2.5,-1.8)(0.6,-1.8)\uput[d](-0.95,-1.8){15 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On donne SI $= 2$ m.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume total du bâtiment.
		\item On désigne par M le milieu de [BC].
Expliquer pourquoi IM mesure $7,5$ m.
		\item En déduire SM arrondi à $0,01$ m près, puis, l'aire totale de
la toiture à 1 m$^2$ près par excès.
	\end{enumerate}
\item  Dans cette partie, on désigne par $x$ la hauteur SI.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $x$ le volume $v(x)$ du bâtiment.
		\item On considère un repère orthogonal. Représenter graphique-
ment la fonction $v$ définie par :

\[v(x) = 75x +540\]
pour $0 \leqslant x \leqslant 4$ ;
\begin{itemize}
\item en ordonnée : 1 cm représente $50$ m$^3$.
\item en abscisse: 1 cm représente $0,5$ m,
\end{itemize}
		\item Des normes de chauffage imposent que le volume total soit inférieur à $750$ m$^3$. 
		
À l'aide du graphique précédent, déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles cette condition est satisfaite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B.} : On rappelle que le volume de la pyramide est donné par : 
$V = \dfrac13 B \times h.$
\end{document}