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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1992}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz septembre 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Deux frères possèdent en commun un terrain ABCD (voir figure) 
qu'ils décident de clôturer.

Le premier clôture la partie MABP du pourtour, le second la partie PCDM. 

Ils ne mettront pas de barrière en MP.

On pose AM $= x$ ($x$ en dam)
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.4)
\pspolygon(0.2,0.5)(6.2,0.5)(6.2,2.5)(2.2,2.5)%BCDA
\psline(3.3,0.5)(3.3,2.5)%PM
\psline[linestyle=dashed](2.2,0.5)(2.2,2.5)%HA
\psframe(2.2,2.5)(2.4,2.3) \psframe(2.2,0.5)(2.4,0.7) \psframe(3.3,0.5)(3.5,0.7) 
\psframe(3.3,2.5)(3.5,2.3) \psframe(6.2,2.5)(6,2.3) \psframe(6.2,0.5)(6,0.7) 
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.3)(2.2,0.3)\uput[d](1.2,0.3){15 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.2,2.7)(6.2,2.7)\uput[u](4.2,2.7){50 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6.4,0.5)(6.4,2.5)\rput{90}(6.55,1.5){20 m}
\uput[u](2.2,2.5){A} \uput[l](0.2,0.5){B} \uput[dr](6.2,0.5){C} \uput[u](6.2,2.5){D}
\uput[d](2.2,0.5){H} \uput[u](3.3,2.5){M} \uput[d](3.3,0.5){P}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $x$ les longueurs $\mathcal{L}_1$ de MABP et $\mathcal{L}_2$ de
PCDM.

On exprimera $\mathcal{L}_1$ et $\mathcal{L}_2$ en dam.
\item Représenter graphiquement dans un repère orthonormal (O, I, J) (unité le cm) les applications
\begin{description}
\item[ ] $f$ définie par $f(x) = 2x + 4$,
\item[ ] et $g$ définie par $g(x) = - 2x + 12$.
\end{description}

Par lecture graphique, déterminer $x$ pour que $f(x) = g(x)$.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle chacun des frères aura la
même longueur de clôture à poser. 

On pourra utiliser la question 2.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une somme $x$ augmente de 4\,\%. Par quel nombre est-elle multipliée ?
\item Soit $x$ le montant des économies d'Alain.

Il place les $\dfrac25$ de ses économies à 4\,\% et le reste $\left.(\text{soit les }\:\dfrac35\right)$
à 6\,\%.

Au bout d'un an, il possède \np{13150}~francs.

Déterminer $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit ABC un triangle isocèle de sommet B, de hauteur AH = 3,6 cm et d'aire 9 crn-.
\item Construire un triangle isocèle de sommet B, connaissant la lon- gueur commune de deux côtés : 5 cm et une hauteur non principale: 3,6 cm. Expliquer. A A

Calculer le sinus de l'angle B, puis l'angle B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne le point M de coordonnées (4,3) dans un repère orthonormal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le rayon du cercle de centre 0 et passant par M.

On appelle A et B les points d'intersection de ce cercle avec l'axe des abscisses (l'abscisse de A est négative). 

Soit H la projection orthogonale de M sur (AB) et soit P le point d'intersection de (AM) avec l'axe des coordonnées.
\item Quelle est la nature du triangle ABM ?
\item Calculer la distance OP.
\item Tracer l'image du triangle ABM par la translation de vecteur $\vect{\text{OM}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Voici le développement d'une pyramide régulière à base carrée ABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\pspolygon(-3,0)(-0.625,0.625)(0,3)(0.625,0.625)(3,0)(0.625,-0.625)(0,-3)(-0.625,-0.625)
\psframe(-0.625,-0.625)(0.625,0.625)
\psline[linestyle=dashed](-0.625,0.625)(0.625,-0.625)%AC
\psline[linestyle=dashed](-0.625,-0.625)(0.625,0.625)%BD
\psline[linestyle=dashed](0,3)(0,0.625)%SH
\uput[ul](-0.625,0.625){A} \uput[ur](0.625,0.625){B} \uput[dr](0.625,-0.625){C} \uput[dl](-0.625,-0.625){D}
\uput[ur](0,0.625){H} \uput[d](0,0){O} \uput[u](0,3){S}
\psframe(0,0.625)(-0.2,0.825)
\psdots(-1.8125,0.3125)(-1.8125,-0.3125)(1.8125,0.3125)(1.8125,-0.3125)(-0.3125,1.8125)(0.3125,1.8125)
(0.3125,-1.8125)(-0.3125,-1.8125)
\rput(-2,2){\emph{figure $1$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter la \emph{figure} 2

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.6,5)
\psline(0.2,0.2)(3,0.2)(4,1.5)(1.6,4.5)%DCBMSC
 \uput[ur](4,1.5){B} \uput[dr](3,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[ur](2.3,3.65){M}  \uput[u](1.6,4.5){S}
\psdots(2.3,3.65)
\rput(3.5,4.5){\emph{figure $2$}}
\end{pspicture}
\end{center}

pour obtenir la représentation en perspective de la pyramide. (Les
arêtes cachées seront dessinées en pointillés.)

\item On donne: AB $= 6$ cm ; $\widehat{\text{SAB}} = 75\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'angle $\widehat{\text{SAB}}$, calculer la longueur SH (à 1 mm
près). 

En déduire l'aire latérale de cette pyramide .
		\item En utilisant l'angle $\widehat{\text{SAB}}$, calculer la longueur SA (à 1 mm près). En déduire la longueur totale des arêtes de la pyramide.
	\end{enumerate}	
\item On scie la pyramide par un plan parallèle à ABCD passant par le point M du segment [SB] tel que SM $= \dfrac13$SB (voir \emph{figure} 2).
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner les traits de scie sur le dessin en perspective de la pyramide (figure 2).
		\item Connaissant le volume $V$ de la pyramide, exprimer en fonction de $V$, les volumes $V_1$ et $V_2$ des deux morceaux découpés. ($V_1$ volume de la petite pyramide et $V_2$ volume du tronc de pyramide.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}