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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 1992}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nantes juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$a$ et $t$ sont des nombres quelconques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire

\[\left(\dfrac13  a +\dfrac35\right)^2.\]

\item Factoriser :

\[16t^2- 8t + 1.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le nombre suivant sous la forme $a\sqrt 3$ où $a$ est un nombre entier :

\[2\sqrt{48} - \sqrt{27} + 2\sqrt{75}.\]

\item Sans utiliser la calculatrice, dire si les nombres
$\left[\left(\sqrt 2 + 1\right)^2 - 4\right]$ et $\left(\sqrt 2 - 1\right)\left(\sqrt 2 + 3\right)$ sont égaux.

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip 

Les données suivantes sont en centimètres.

AB = AE $= x$ ; BC $= 7,2$ ; CD $= 1,3$ ; ED $= 5$.

Trouver la valeur de $x$ pour que le périmètre de cette figure ABCDE soit $20$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\pspolygon(0.5,2)(3,3.4)(9.3,3.4)(8.6,0.5)(3.2,0.5)%ABCDE
\uput[l](0.5,2){A} \uput[u](3,3.4){B} \uput[u](9.3,3.4){C} \uput[d](8.6,0.5){D} \uput[d](3.2,0.5){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip 

Dans un collège, les \og statistiques \fg{} sur l'orientation des élèves en fin de la classe de 3\up{e} sont traduites sur un tableau.

Voici ce tableau, le compléter.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diverses orientations	&vie active	&redoublement	&seconde&BEP-CAP&Total\\ \hline
effectifs				&2 			&3				&		&		&125\\ \hline
fréquence en \,\%		&			&				&60\,\%	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Reproduire la figure ci-dessous en prenant :

AB $= 4,5$ cm, AD $= 3,5$ cm, $\widehat{\text{BAD}} = 40\degres$.

La compléter en construisant le point C tel que 

\[\vect{\text{AC}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}}\]

et le point E image de D par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0.2,-1.2)(2.5,0.8)
\psline(2.4;15)(0,0)(1.9;-25)%BAD
\uput[l](0,0){A} \uput[u](2.4;15){B}  \uput[d](1.9;-25){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

 Les points T, H, A, L, E sont disposés comme sur le dessin ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2.6,-1)(1.9,1)
%\psgrid
\psline(-2.6,0.4)(1.9,-0.3)%EA
\psline(-1.7,-0.3)(1.6,0.3)%LH
\psdots(1.2,-0.2)(-2,0.3)(-1.2,-0.2)(1.2,0.22)
\uput[d](1.2,-0.2){A} \uput[u](-2,0.3){E}  \uput[d](-1.2,-0.2){L}\uput[u](1.2,0.22){H}\uput[u](0,0){T}
\end{pspicture}
\end{center}

TE $= 4,2$ ; TA $= 3$ ; TL $= 2,8$ ; TH $= 2$. (L'unité de longueur est le mètre)

Les droites (LE) et (HA) sont-elles parallèles ?

Justifier la réponse.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip 

On se place dans un repère orthonormal et on prend le centimètre pour unité de longueur.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Placer dans ce repère les points A(2~;~0) et B(0~;~2).
\item Après avoir lu sur le graphique (ou après avoir trouvé par toute autre méthode) écrire, sans justification, une équation de (AB).
\item La droite ($\Delta$) a pour coefficient directeur (ou pente) 3, et passe par l'origine du repère.

Écrire, sans justifier, une équation de ($\Delta$) et tracer cette droite sur le dessin.
\item Trouver par le calcul une équation de la droite $(D)$ qui passe par A et qui est perpendiculaire à ($\Delta$). 

Tracer cette droite.
\item Tracer la droite $(L)$ dont une équation est $y = \dfrac12 x -3$.

Le point M$\left(1~;~\dfrac{- 12}{5}\right)$ est-il un point de $(L)$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(C)$ est un cercle de centre O, de rayon 4,2 cm. 

M est un point de ce cercle. La médiatrice du segment [OM] coupe le cercle $(C)$ en deux points R et P, et coupe [OM] en H.
	\begin{enumerate}
		\item Construire la figure.
		\item Pourquoi a-t-on OR = OM ? Pourquoi a-t-on OR = RM ?
		
En déduire la nature du triangle ORM.
		\item Calculer une valeur approchée au centième près de HR. En déduire une valeur approchée de l'aire du triangle ORM. (Dans la suite du problème, on prendra comme valeur approchée de cette aire  $7,6$ cm$^2$).
	\end{enumerate}	
\item Le cercle $(C)$ est la base d'un cône de révolution dont le sommet est S, et dont le hauteur mesure $5,6$ cm. (Le schéma ci- dessous n'est pas à l'échelle).

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2.1,-1.2)(2.1,5.8)
%\psgrid
\psellipticarc(0,0)(2,0.75){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2,0.75){0}{180}
\psline(-2,0.1)(0,5.1)(2,0.1)
\psline(0,5.1)(1.38,-0.56)%SM
\pspolygon[linestyle=dashed,fillstyle=vlines](0,5.1)(0,0)(1.38,-0.56)%SOM
\psline[linestyle=dashed](2,0)(-0.6,-0.7)%RP
\psline(1.3,-0.2)(0.85,0)(0.45,-0.15)%angle droit
\uput[l](0,0){O} \uput[dr](1.42,-0.6){M} \uput[dl](-0.6,-0.7){P}\uput[r](2,0){R}\uput[u](0,5.1){S}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans la justifier, la nature du triangle SOM et dessiner ce triangle en vraie grandeur.
		\item Calculer (et non mesurer) la valeur approchée, à un degré près par excès, de la mesure de l'angle $\widehat{\text{OSM}}$.
	\end{enumerate}	
\item Sur la hauteur [SO], on place le point T tel que 
ST $= \dfrac{5}{14}$ SO.

En coupant le cône par le plan qui passe par T et 
qui est parallèle à la base de ce cône, on obtient le cercle $(C')$ de centre T.

Ce plan coupe aussi [SM] en N et les droites (OM) et (TN) sont parallèles.

Calculer le rayon TN du cercle $(C')$.
\item Quelle est la nature du solide SORMP dont la base est le losange ORMP ?

Préciser sa hauteur et calculer son volume.
\end{enumerate}
\end{document}