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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Nantes}
\lfoot{\small juin 2000}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Nantes juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : $A = \dfrac{1,5 \times 10^7 \times 4 \times 10^{-5}}{25 \times10^2}$

Donner une écriture décimale du nombre $A$.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les nombres $65$ et $42$ sont premiers entre eux.
\item Démontrer que : $\dfrac{520}{336} = \dfrac{65}{42}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère le nombre $A$ suivant : $A = \sqrt{20} - 12 \sqrt5 + 2\sqrt{125}$.

Démontrer que $A = 0$.

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un club de kayak doit renouveler son matériel pour la nouvelle saison. 

Lors d'une première commande, trois kayaks et cinq pagaies sont achetés pour la somme de \np{8500} francs. 

On décide de compléter l'équipement du club par une nouvelle commande ; le club achète deux autres kayaks et trois autres pagaies pour la somme de \np{5600} francs.

Calculer le prix d'un kayak et le prix d'une pagaie.

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

On considère l'expression: $E =(3x + 5)(2x - 1) + 9x^2 - 25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $9x^2 - 25$, puis l'expression $E$.
\item Résoudre l'équation: $(3x + 5)(5x - 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un triangle ACD rectangle et isocèle de sommet principal A. On complétera la figure ci-après au fur et à mesure.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.4,4.3)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.9,0.2)(0.2,3.9)%ACD
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](0.2,3.9){D} \uput[dr](3.9,0.2){C}
\psline(0.1,2.1)(0.3,1.9)\psline(2,0.3)(2.1,0.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point B image de D dans la rotation de centre A et d'angle $60\degres$. On prendra le sens des aiguilles d'une montre comme sens de rotation.
\item Démontrer que le triangle ABD est un triangle équilatéral.
\item Placer E, l'image du point D dans la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$.

Démontrer que ACED est un carré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-dessous représente un champ rectangulaire ABCD traversé par une route de largeur uniforme (partie hachurée).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(6.7,2.9)%DCBA
\pspolygon[fillstyle=hlines](0.2,2.9)(6.7,0.2)(6.7,0.8)(1.7,2.9)%ACNM
\uput[ul](0.2,2.9){A} \uput[ur](6.7,2.9){B} \uput[dr](6.7,0.2){C}
\uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[u](1.7,2.9){M} \uput[r](6.7,0.8){N}
\end{pspicture}
\end{center}

On donne :

AB $= 100$ m, BC $= 40$ m et AM $= 24$ m ; les droites (AC) et (MN) sont parallèles.

Calculer:

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur arrondie au décimètre près de la longueur AC.
\item La longueur MB.
\item La longueur BN.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une boîte de chocolats a la forme d'une pyramide régulière de base carrée, sectionnée par un plan parallèle à la base. La partie supérieure est le couvercle et la partie inférieure contient les chocolats.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.4)
%\psgrid
\pspolygon(4,4)(0,0.2)(5.2,0.2)%SAB
\psline(5.2,0.2)(7.8,1.5)(4,4)%BCS
\psline(2.7,2.8)(4.4,2.8)(5.3,3.2)%EFG
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](2.7,2.8)(3.7,3.2)(5.3,3.2)%EHG
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](0,0.2)(2.6,1.5)(4,4)%ADS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](2.6,1.5)(7.8,1.5)%DC
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](4,0.85)(4,4)%OS
\uput[d](0,0.2){A} \uput[d](5.2,0.2){B} \uput[dr](7.8,1.5){C} \uput[ul](2.6,1.5){D}
\uput[ul](2.7,2.8){E} \uput[dr](4.4,2.8){F} \uput[ur](5.3,3.2){G} \uput[ul](3.7,3.2){H}
\uput[l](4,0.85){O} \uput[l](3.95,2.9){O$'$} \uput[u](4,4){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On donne: AB $= 30$ cm, SO $= 18$ cm, SO$' = 6$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item En déduire celui de la pyramide SEFGH.
\item Calculer le volume du récipient ABCDEFGH qui contient les chocolats. CZËU
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle de centre O et de rayon 3.

Tracer un diamètre [AB] et un rayon [OC] perpendiculaire au diamètre [AB].
\item Démontrer que le triangle ACB est un triangle rectangle et isocèle en C.
\item Calculer l'aire du triangle ACB.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On considère un point M sur le segment [OC] et on pose CM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle AMB ? On justifiera la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'encadrement : \quad $\ldots \leqslant x \leqslant \ldots$
		\item Exprimer OM en fonction de $x$.
		\item On pose $\mathcal{A}(x)$ l'aire du triangle AMB. 
		
Démontrer que :
$\mathcal{A}(x) = \dfrac{6(3 - x)}{2}$.

Démontrer que l'aire $\mathcal{A}(x)$ du triangle est fonction affine de $x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle AMB est-elle égale à
3 cm$^2$ ?
		\item Démontrer que, pour la position du point M correspondant à cette
valeur de $x$, les aires des triangles AMC, AMB et BMC sont égales. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur un quadrillage, réaliser en couleur une représentation graphique de la fonction affine qui à $x$ fait correspondre $9 - 3x$.
\item Résoudre l'inéquation : $9 - 3x > 4,5$.
\item Quelles sont les positions du point M sur le segment [OC] pour
lesquelles l'aire du triangle AMB est supérieure ou égale à 4,5 cm$^2$ ?
\end{enumerate}
\end{document}