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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Nice--Corse}
\lfoot{\small juin 1992}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nice--Corse\footnote{Montpellier, Toulouse} juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{I -} Effectuer, en détaillant les calculs :

\[A = \dfrac37 - \dfrac57 \times \left(5 - \dfrac45\right)\: ; \qquad B = \dfrac{- \dfrac15 - \dfrac27}{1 - \dfrac{15}{49}}\]


\textbf{II -} On donne le nombre

\[ N = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $N + 1$ et $N^2$.
\item Comparer les deux nombres obtenus.
\end{enumerate}

\textbf{III -} Après la projection d'un film publicitaire, un club de plongée a enregistré, en 1992, 25\,\% d'inscriptions de plus que l'année précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $x$ le nombre d'inscriptions en 1991. Exprimer en fonction de $x$, le nombre d'inscriptions en 1992.
\item Sachant qu'il y a eu, en 1992, \np{7200} inscriptions, combien y en avait-il en 1991 ?
\end{enumerate}

\textbf{IV -} Le périmètre d'un rectangle est égal à $140$~mm.

On double la largeur initiale et on retranche $7$~mm à la longueur initiale.

Le périmètre est alors égal à $176$~mm.

Quelles sont les dimensions initiales du rectangle ?

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{I -} On a dessiné une figure F$_1$ et deux points A et B.

%fig

\begin{enumerate}
\item Dessiner la figure F$_2$ transformée de la figure F$_1$ par la symétrie centrale par rapport au point A.
\item Dessiner la figure F$_3$ transformée de la figure F$_1$ par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\end{enumerate}

\textbf{II -} Un fabricant d'enseignes lumineuses doit réaliser (en tube de verre soudés) la lettre Z pour la fixer sur le haut d'une vitrine.

Observer le schéma donnant la forme et certaines dimensions de l'enseigne.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,4.5)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.5pt](2.2,3.733)(5.333,3.733)(0.3,0.4)(5.3,0.4)%%ABCD
\psline[linestyle=dashed](2.2,3.733)(5.3,0.4)%AD
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.2)(5.3,0.2)\uput[d](2.8,0.2){\small 15 dm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.27,0.6)(3.22,2.62)\uput[ul](1.75,1.71){\small 12 dm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.37,3.9)(3.62,2.6)\uput[ur](2.85,3.25){\small 5 dm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.6,2.62)(5.42,0.6)\uput[ur](4.4,1.6){\small 9 dm}
\uput[l](2.2,3.733){A} \uput[r](5.333,3.733){B} \uput[l](0.3,0.4){C} \uput[dr](5.3,0.4){D} \uput[d](3.38,2.43){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À quelle échelle a été réalisé le dessin?
\item Sachant que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, calculer la longueur du tube AB (on donnera le résultat sous forme fractionnaire).
\item Quelle longueur totale de tube de verre doit prévoir l'artisan pour son travail ?
\item Démontrer que le tube CB est perpendiculaire à la droite (AD).
\item Calculer $\sin \widehat{\text{ABO}}$ ; en déduire la valeur à un degré près de
l'angle aigu formé par les tubes AB et BC.
\item Réaliser à la même échelle le dessin de l'enseigne vue de l'intérieur du magasin.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. 

Voir le dessin (qu'on ne demande pas de reproduire).

On donne un parallélépipède rectangle ABCDEFGH tel que: AB $= 4$ ; BC $= 3$ ; AE $= 6$.

Un point S, choisi sur l'arête [AE], permet de définir deux pyramides : 

SABCD, de sommet S, de hauteur SA, de volume $V_1$ ;

SEFH, de sommet S, de hauteur SE, de volume $V_2$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.2,7.7)
\psframe(0.2,0.3)(4.2,6.3)%ABFE
\psline(4.2,0.3)(5.7,1.3)(0.2,2.8)(4.2,0.3)(0.2,0.3)(0.2,2.8)%BCSBAS
\psline(4.2,6.3)(0.2,2.8)(0.2,6.3)(1.7,7.3)(4.2,6.3)(0.2,6.3)%FSEHFE
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.3)(0.2,2.8)(1.7,7.3)%DSH
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.3)(1.7,1.3)(5.7,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.7,7.3)(5.7,7.3)(4.2,6.3)%HGF
\psline[linestyle=dashed](5.7,1.3)(5.7,7.3)%CG
\uput[d](0.2,0.3){A} \uput[d](4.2,0.3){B} \uput[r](5.7,1.3){C}
\uput[dr](1.7,1.3){D} \uput[l](0.2,6.3){E} \uput[dr](4.2,6.3){F}
\uput[u](5.7,7.3){G} \uput[u](1.7,7.3){H} \uput[l](0.2,2.8){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que AS $= 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer FU, SU, SF.
		\item Démontrer que le triangle FHS est isocèle.
	\end{enumerate}	
\item On suppose à présent que AS $= x \:(0 \leqslant x \leqslant 6)$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer les volumes $V_1$ et $V_2$ en fonction de $x$.
		\item Comment choisir $x$ pour que $V_2 \geqslant V_1$ ?
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner les droites : D$_1$  d'équation $y = 4x$ ;
		
\phantom{Dessiner les droites : }D$_2$ d'équation $y = -2x + 12$.
		\item Écrire les coordonnées du point d'intersection de ces deux
droites, lues sur le graphique.
		\item Que représentent ces coordonnées pour les pyramides SABCD et SEFH?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}