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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Paris--Créteil--Versailles}
\lfoot{\small septembre 1992}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Paris\footnote{Créteil--Versailles} septembre 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

\[A = \dfrac45 - \dfrac{3}{25} \times \dfrac56.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Prouver que les nombres :

\[B = \left(3 - \sqrt 5\right)^2 - \left(2 - 4\sqrt 5\right)\quad  \text{et}\quad  C = 2\sqrt{20} + 6\sqrt 4 - 2\sqrt{45}.\]

sont égaux.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $P(x) = 16x^2$, où $x$ désigne un nombre réel. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $P(x)$.
\item Factoriser $P(x)$.
\item Calculer $P\left(\dfrac13\right),\:P(0)$.
\end{enumerate}



\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Les résultats statistiques concernant les notes de mathématiques à un devoir sont rassemblés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Notes $n$	&$0 \leqslant n < 4$&$4\leqslant n<8$	&$8\leqslant n< 12$&$12\leqslant n < 16$	&$16\leqslant n < 20$&Total\\ \hline
Effectif 	&2 		&7 		&10 	&8 		&3 		&30\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'histogramme ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-2)(22,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4](0,0)(0,0)(22,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=30,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(22,10)
\psline(0,2)(4,2)
\psframe(4,0)(8,10)
\uput[u](21,0){Note}\uput[r](0,9.8){Effectif}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Donner la fréquence, en pourcentage, de la classe des notes comprises entre 16 et 20.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le schéma suivant représente la grande roue d'une fête foraine. 

Des nacelles sont accrochées sur cette roue qui tourne autour de O (D, E, F, sont des positions successives du crochet de suspension d'une nacelle).

On sait que DH $= 1$ m, que $\widehat{\text{DOE}} = 45\degres,\: \widehat{\text{DOF}} = 90\degres$C et

$\cos 45\degres = \dfrac{\sqrt 2}{2}$.

Le diamètre de la grande roue est $24$~m.

Le point B est la projection orthogonale de E sur (OD).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.9,-3.6)(2.9,2.8)
\pscircle(0,0){2.5}
\psline(2.5,0)(0,0)(0,-3.1)
\psline(-2.9,-3.1)(2.9,-3.1)
\psline(0,0)(2.5;-45)(0,-1.768)
\psframe(0,-3.1)(0.2,-2.9)\psframe(0,-1.768)(0.2,-1.568)
\psarc(0,0){0.6}{-90}{-45}\rput(0.3,-0.75){\small $45\degres$}
\multido{\n=-2.9+0.2,\na=-3.3+0.2,\nb=-2.7+0.2}{29}{\psline(\n,-3.3)(\nb,-3.1)}
\uput[l](0,-1.768){B} \uput[dr](2.5;-45){E} \uput[r](2.5,0){F} \uput[ul](0,0){O} \uput[ul](0,-2.5){D}\uput[ul](0,-3.1){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item À quelle hauteur au-dessus du sol se trouve le crochet de la nacelle lorsqu'il est en F ?
\item Montrer que BO = BE. Calculer la valeur exacte de OB, puis celle de BD.
\item Quelle est la hauteur au-dessus du sol du crochet de la nacelle lorsque la roue a tourné de $45\degres$ à partir du point de départ D ? (Donner le résultat à $10$ cm près.)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La base d'un cône de révolution de sommet S a pour rayon R $= 12$~cm et sa hauteur est 

SH $= 20$~cm.

On coupe ce cône par un plan P parallèle à la base. Ce plan P coupe

le segment [SH] en K tel que SK $= \dfrac13$SH.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en perspective.
\item Calculer le volume $V$ du cône de hauteur [SH].
\item Calculer le rayon $r$ de la base du cône de hauteur [SK]. (On donnera une valeur exacte du résultat.)
\item Calculer le volume $W$ du cône de hauteur [SK]. (On donnera une valeur exacte du résultat.)
\item Exprimer $W$ en fonction de $V$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

 Un automobiliste A part de Paris et se rend à Lyon en passant par Troyes et Dijon. 
 
 Le graphique ci-après représente la distance qui sépare cet automobiliste de Paris, en fonction de l'heure. 
 
 Ainsi, à 12 heures, il part de Paris, et arrive à Troyes ($160$~km de Paris) à $14$~heures.
 
Les unités sont : $6$ carreaux pour 1 heure, en abscisses ; 

\phantom{Les unités sont : }$5$ carreaux pour $100$~km, en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

Répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item À quelle heure l'automobiliste arrive-t-il à Lyon?
		\item Quelle distance a-t-il parcouru 1 h 1/2 après son départ ? 
		\item À quelle distance de Paris se trouve-t-il à 17 heures?
		\item Où est l'automobiliste à 16 h 10 min?
		\item Quelle est la durée de son arrêt à Troyes?
	\end{enumerate}
\item Calculer la vitesse moyenne de l'automobiliste entre Paris et Lyon, en km/h. On arrondira à l'unité.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un automobiliste B part de Lyon à $13$~h~20~min et va à Paris, en suivant la même route que A, sans s'arrêter, à la vitesse constante de $120$km/h.

À quelle heure passe-t-il à Dijon ? À quelle heure et à quel endroit
se croisent les deux automobilistes ?

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-20)(6.5,530)
\multido{\n=0.000+0.167}{38}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,530)}
\multido{\n=0+10}{54}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(6.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100,xsubticks=4,ysubticks=10]{->}(0,0)(0,0)(6.5,510)
\uput[l](0,8){Paris}
\multido{\n=12+1,\na=0+1}{7}{\uput[d](\na,0){\n~h}}
\uput[u](6.25,0){Heure}\uput[r](0,520){Distance à Paris}
\uput[l](0,147){Troyes}\uput[l](0,160){160}
\uput[l](0,322){Dijon}\uput[l](0,310){310}
\uput[l](0,490){Lyon}\uput[l](0,500){500}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(2,160)(2.167,160)(4,310)(4.5,310)(6,500)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,500)(6,500)(6,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,310)(4,310)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,160)(2,160)(2,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0,160)(2.167,160)(2.167,0)
\end{pspicture}
\end{center}








\end{document}