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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Poitiers}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne

\[A = \dfrac{10}{3} - \dfrac54 \times \dfrac49 \quad \text{et}\quad B = \left(\dfrac45 - \dfrac75\right)^2.\]

Montrer que $A \times B = 1$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes : 

\[4(5x - 3) = x - 12; \]
\[\dfrac{x-5}{3} = \dfrac15 + x.\]

\item Factoriser :

\[E = (3x - 1)^2 - 25.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le 18 octobre 1991, $550$ personnes ont visité un musée. 

Le prix de l'entrée est de $16$ francs pour les adultes. Les enfants paient demi-tarif.

La recette de la journée a été de \np{6960}~francs.

Combien d'adultes et combien d'enfants ont visité le musée ce jour-là ?

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-1)(13,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-2,-1)(13,8)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-2}{13}{0.5 x mul}
\psline[linewidth=1.25pt](-2,3)(13,3)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](2,0)(2,1)(0,1)
\uput[u](12.5,3){$D_2$}\uput[ul](12.5,6.25){$D_1$}
\uput[d](1,0){1}\uput[d](2,0){2}\uput[dr](0,0){O}
\uput[l](0,1){1}\uput[l](0,3){3}
\uput[d](12.8,0){$x$}\uput[l](0,7.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur le graphique ci-dessus, on a représenté dans un repère orthonormal les droites $D_1$ et $D_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une équation de $D_1$ et une équation de $D_2$. 

On justifiera correctement les réponses.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire ce graphique sur une feuille de papier millimétré.
		
Compléter ce graphique en traçant la droite $D_3$ d'équation:
\[y = -x + 7.\]

		\item Les droites $D_1$ et $D_3$ se coupent en G.
		
Calculer les coordonnées de G.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle isocèle ABC de sommet principal
A, sachant que BC= 6 cm et que la hauteur [AH] mesure $5$ cm.
\item Calculer à un degré près par défaut, la mesure de l'angle $\widehat{\text{B}}$.
\item Soit D le symétrique de A par rapport à H. 

Calculer la valeur exacte du périmètre du quadrilatère ABDC.

En donner une valeur approchée à 1 mm près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un collège, il y a $850$ élèves.

Une enquête a permis d'obtenir les renseignements suivants :

\begin{itemize}
\item 8\,\% des élèves viennent au collège en voiture.
\item 323 élèves viennent à pied.
\item $\dfrac15$ des élèves viennent en vélo.
\item Les autres élèves viennent en autobus.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Combien d'élèves viennent en voiture ?
		\item Calculer le pourcentage d'élèves qui viennent à pied , en vélo , en autobus.
	\end{enumerate}	
\item Représenter ces résultats sur un diagramme en bâtons. (On portera en ordonnées les fréquences en pourcentages et 1\,\% sera représenté par 5 mm).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip



La figure 1 représente un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 4 cm. 

Le point H est le projeté orthogonal de O sur [AB].

La figure 2 représente une pyramide régulière $P$ se sommet S et de base l'hexagone régulier de la figure 1. 

On a coupé cette pyramide par un plan parallèle à la base. On obtient ainsi une
seconde pyramide régulière $P_1$ de sommet S et de base l'hexagone régulier A$'$B$'$C$'$D$'$E$'$F$'$ de côté 

A$'$B$' = 2,8$~cm.

On donne de plus,

AN = BB$'$ =CC$'$ = DD$'$ = EE$'$ = FF$' = 6$~cm.

La figure 3 représente le tronc de pyramide extrait de la figure 2. Ce tronc de pyramide représente un fromage de chèvre vendu dan le commerce.

\medskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

 On s'intéresse à la figure 1.
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle AOB est équilatéral.
		\item Calculer la valeur exacte de OH.
	\end{enumerate}	
\item Montrer que la valeur exacte de l'aire de l'hexagone
ABCDEF est $24\sqrt 3$ cm$^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

On s'intéresse à la figure 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le triangle SAB, démontrer que SA $= 20$~cm.
\item En utilisant le triangle SOA rectangle en O, calculer la valeur exacte de SO.
\item À l'aide des résultats précédents, démontrer que le volume de la pyramide P est égal à $192\sqrt 2$~cm$^3$.
\item La pyramide $P_1$ est une réduction de la pyramide $P$. 

Expliquer pourquoi son volume $V_1$ est obtenu en multipliant
le volume $V$ par $\left(\dfrac{7}{10}\right)^3$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III.}

\medskip

Calculer à partir des résultats précédents, la valeur approchée, à 1 cm$^3$ près par défaut, du volume de ce fromage de chèvre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12.5,18.2)

%fig1
\pscircle(4,14.5){3.6}
\rput(4,14.5){\pspolygon(3.6;0)(3.6;60)(3.6;120)(3.6;180)(3.6;240)(3.6;300)
\uput[r](3.6,0){C}\uput[ur](3.6;60){D}\uput[ul](3.6;120){E}\uput[l](3.6;180){F}\uput[dl](3.6;240){A}\uput[dr](3.6;300){B}}
\uput[l](4,14.5){O}
\psline[linestyle=dashed](4,14.5)(4,11.4)
\uput[ul](4,11.4){H}\psframe(4,11.4)(4.2,11.6)
\rput(4,10){\emph{Figure $1$}}
%%%%%%%fig2
\psline(8.5,12.3)(5.3,6)(6.9,4.8)(10.1,4.8)(11.7,6)(8.5,12.3)%SFABCS
\psline(8.5,12.3)(6.9,4.8)%SA
\psline(8.5,12.3)(10.1,4.8)%SB
\psline(8.5,12.3)(11.7,6)%SC
\psline(6.9,8.95)(7.7,8.55)(9.3,8.55)(10.1,9.15)%F'A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](5.3,6)(7.1,7.2)(9.9,7.2)(11.7,6)%FEDC
\psline[linestyle=dashed](8.5,12.3)(8.5,6.1)%SO'
\psline[linestyle=dashed](8.5,12.3)(7.1,7.2)(10.1,4.8)%SEB
\psline[linestyle=dashed](8.5,12.3)(9.9,7.2)(6.9,4.8)%SDA
\psline[linestyle=dashed](6.9,9.15)(7.8,9.75)(9.2,9.75)(10.1,9.15)%F'E'D'C'
\uput[dl](6.9,4.8){A} \uput[dr](10.1,4.8){B} \uput[r](11.7,6){C} \uput[ur](9.9,7.2){D}
\uput[ul](7.1,7.2){E} \uput[l](5.3,6){F} \uput[ur](7.7,8.55){A$'$} \uput[ul](9.3,8.55){B$'$}
\uput[ur](10.1,9.15){C$'$} \uput[ur](9.2,9.75){D$'$} \uput[ul](7.8,9.75){E$'$} \uput[ul](6.9,8.95){F$'$}
\uput[u](8.5,12.3){S} \uput[d](8.5,6.1){O$'$}
\rput(8.5,4){\emph{Figure $2$}}
%fig3
\pspolygon(0.2,1.7)(1.8,0.5)(5,0.5)(6.6,1.7)(5.2,5.05)(4.5,5.65)(2.7,5.65)(1.8,4.85)%FABCC'D'E'F'
\psline(1.8,4.85)(2.6,4.45)(4.4,4.45)(5.2,5.05)%F'A'B'C'
\uput[l](0.2,1.7){F}\uput[dl](1.8,0.5){A}\uput[dr](5,0.5){B}\uput[r](6.6,1.7){C}\uput[ur](5.2,5.05){C$'$}
\uput[u](4.5,5.65){D$'$}\uput[ul](2.7,5.65){E$'$}\uput[ul](1.8,4.85){F$'$}\uput[ur](2.6,4.45){A$'$}\uput[ul](4.4,4.45){B$'$}\uput[ur](4.8,2.9){D}\uput[ul](2,2.9){E}
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.7)(2,2.9)(4.8,2.9)(6.6,1.7)%FEDC
\psline(1.8,0.5)(2.6,4.45)%AA'
\psline(5,0.5)(4.4,4.45)%BB'
\psline[linestyle=dashed](2,2.9)(2.7,5.65)%EE'
\psline[linestyle=dashed](4.8,2.9)(4.5,5.65)%DD'
\rput(3.4,0){\emph{Figure $3$}}
\end{pspicture}
\end{center}

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