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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Pondichéry}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Pondichéry juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Donner la valeur exacte, sous forme de fraction irréductible, des nombres suivants, en indiquant le détail des calculs :

\[A = 27 : \left(\dfrac12 - \dfrac75 \right)\quad \text{et} \quad  B = \dfrac{16 \times 10^{-4} \times 5 \times  10^5}{12 \times 10^{-1} \times 25 \times 10^3}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Déterminerle plus grand commun diviseur des deux nombres \np{2002} et \np{1771}. 

(On précisera bien la méthode utilisée.)

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression : $C = (5x - 7)^2 - (2x + 3) (5x - 7)$.
\item Résoudre l'équation : $(5x - 7) (3x - 10) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

En 1900, nous étions \np{1650} millions sur la Terre. Nous sommes aujourd'hui six milliards.

La population mondiale a connu au cours de ce siècle une très forte croissance. De quel pourcentage la population mondiale a-t-elle augmenté depuis 1900 ?

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Si on retranche un même nombre au numérateur et au dénominateur de
la fraction $\dfrac45$, on obtient la fraction $\dfrac54$. Trouver ce nombre.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la figure ci-dessous (la figure n'est pas faite aux bonnes dimensions), les droites (EF) et (AB) sont parallèles. 

Les dimensions, exprimées en cm, sont :

\[\text{EF} = 16,\, \text{FO} = 14,\, \text{OE} = 12,\, \text{OB} = 21\, \text{et AB} = 24.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer OA.
\item Soit C un point du segment [OB] et D un point du segment [AB] tels que OC $= 14$ cm et DB $= 8$ cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.9,4)
\pspolygon(0,0.3)(4.3,0.3)(0.3,4)(2.5,4)%ABFE
\psline(2.65,0.3)(3.3,1.25)%DC
\uput[d](0,0.3){A} \uput[dr](4.3,0.3){B} \uput[ur](3.3,1.25){C} \uput[d](2.65,0.3){D}
\uput[ur](2.5,4){E} \uput[ul](0.3,4){F} \uput[r](1.6,2.75){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

Les droites (CD) et (OA) sont-elles parallèles ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, on a tracé un cercle, de centre O, et placé sur ce cercle deux points A et B.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psdots(0,0)
\pscircle(0,0){3}
\psline(3;-20)(3;-100)
\uput[u](0,0){O} \uput[dl](3;-100){A} \uput[r](3;-20){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La bissectrice $\Delta$ de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$  coupe le cercle au point M.

Construire $\Delta$ et placer M.
\item Placer sur le cercle un point C.

Démontrer que la demi-droite [CM) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A (2~;~2) et B$(-1~;~-1)$. 

Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$ 
\item Calculer la distance AB.
\item Placer le point C tel que $\vect{\text{BC}}$ ait pour coordonnées (5~;~2).
\item Placer le point D image de A par la translation qui transforme B en C. 

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
L'antenne de télécommunication, située en Bretagne, Pleumeur Bodou 1, construite en 1962, est placée sous un radôme sphérique de $64$~m de diamètre, qui la protège de l'environnement extérieur (figure ci-contre).
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5.8,3.6)
\psarc(3,1.6){1.57}{-35}{215}
\psellipticarc(3,0.7)(1.3,0.3){-180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](3,0.7)(1.3,0.3){0}{180}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1pt](3,0.7)(1.7,0.7)(3,1.6)(3,0.7)(4.2,0.7)
\psframe(3,0.7)(3.2,0.9)
\psline(1.43,1.43)(0,0)(4.2,0)(5.7,1.5)(4.58,1.5)
\psline{<->}(1.4,3.4)(4.3,3.4)
\psline{<->}(4.8,0.7)(4.8,3.2)
\uput[dl](1.6,0.7){M} \uput[ul](3,0.7){H} \uput[u](3,1.6){O} \uput[u](2.85,3.4){64 m} \uput[r](4.8,1.95){45 m} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la distance OH est égale à 13 m.
\item Calculer MH, exprimée en mètres. 

Donner la valeur exacte sous la forme
$a \sqrt b$ où $a$ et $b$ sont deux entiers avec $b$ le plus petit possible, puis arrondir à
$10^{-1}$ m près.
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{MOH}}$ arrondi au degré près.
\item Quelle est la forme de la surface au sol occupée par le radôme ? Donner une réponse précise.

Calculer l'aire de cette surface, arrondie au mètre carré près.
\item On veut fabriquer une maquette du radôme à l'aide d'un ballon sphérique de $16$~cm de rayon, dans lequel on découpe une calotte sphérique.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Quelle sera l'échelle de cette réduction ?
\item[$\bullet~~$] Donner la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{itemize}

\item Voici la formule permettant de calculer le volume d'une calotte sphérique de hauteur $h$ et de rayon $R$ :

\[V =  \dfrac{\pi h^2}{3} (3R - h).\]

À l'aide de cette formule, calculer le volume du radôme. 

Donner la valeur exacte puis l'arrondir à $1$~m$^3$ près.
\end{enumerate}
\end{document}