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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Strasbourg }
\lfoot{\small juin 1992}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg  juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit l'expression

\[E = (2x - 3)^2 + (2x - 3)(x + 7).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un carré a une aire de 24 m$^2$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer le côté $c$ de ce carré sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers supérieurs à 1.
\item Donner les valeurs approchées de $c$,par défaut et par excès, au crntimètre près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une ville, un musée a enregistré \np{25425} entrées payantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 16\,\% des visiteurs étaient des touristes étrangers et les $\dfrac89$
des étrangers étaient des américains.

Combien de touristes américains ont visité ce musée ?
\item \np{8136} visiteurs ont bénéficié d'un tarif réduit.

Quel pourcentage du total des entrées payantes cela représente-t-il ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équation 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& 43\\
2x + 5y &=& 164
\end{array}\right.\]

\item  On dispose d'une somme d'argent de \np{1640}~F, constituée de $43$ billets, les uns de $20$ F et les autres de $50$ F.
	\begin{enumerate}
		\item Traduire l'énoncé par un système de deux équations.
		\item Trouver le nombre de billets de chaque sorte.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Les points B, A, D sont alignés.

Les points C, A,E sont alignés.

$\widehat{\text{CBA}} = 90\degres\:; \: \widehat{\text{ADE}} = 90\degres\:;$ \: BD $= 12$ cm \:;\: AB $= 8$~cm \:;\: BC $= 6$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.3,4.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,3.7)(0.2,1.3)(5,1.3)(5,0.2)%CBDE
\psframe(0.2,1.3)(0.4,1.5)\psframe(5,1.3)(4.8,1.1)
\uput[d](3.5,1.3){A} \uput[d](0.2,1.3){B} \uput[ul](0.2,3.7){C} \uput[ur](5,1.3){D} \uput[d](5,0.2){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Remarque} : la figure n'est pas en vraie grandeur et il n'est pas demandé de la construire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AC.
\item Calculer les longueurs AE et DE.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{C}}$ ; arrondir le résultat au
degré le plus proche.

On pourra utiliser l'extrait suivant de la table trigonométrique :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angles&Sinus&Cosinus&Tangente\\ \hline
$51\degres$& 0,777&0,629&1,235\\ \hline
$52\degres$& 0,788&0,616&1,280\\ \hline
$53\degres$& 0,799&0,602&1,327\\ \hline
$54\degres$& 0,809&0,588&1,376\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AB $= 4$ cm et AC $= 3$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire sur la copie une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point E image de A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère AECB ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu de [AC].
		
Démontrer que E est le symétrique de B par rapport à I.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D, image de C par une rotation de centre B et d'angle $60\degres$.
		\item Quelle est la nature du triangle BCD ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Une société de transports en commun d'une ville propose les trois tarifs mensuels suivants :

\begin{description}
\item[ ] tarif 1 : ticket ordinaire coûtant $5$~F par trajet.
\item[ ] tarif 2 : abonnement mensuel \og orange \fg{} coûtant $40$~F et utilisation d'un ticket \og orange \fg{} coûtant $2,50$~F par trajet.
\item[ ] tarif 3 : abonnement mensuel \og liberté \fg{} coûtant $170$ F et permettant de voyager en toute liberté sans acheter de ticket.
\end{description}

Le but du problème est de comparer ces différents tarifs. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de trajets mensuels	&8 	&24 &60\\ \hline
Coût avec le tarif 1		&	&	&\\ \hline
Coût avec le tarif 2		&	&	&\\ \hline
Coût avec le tarif 3		&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $x$ le nombre de trajets mensuels.
Exprimer en fonction de $x$ les coûts $C_1,\: C_2,\: C_3$ correspondant respectivement aux tarifs 1, 2, 3.
\item On considère un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer sur papier millimétré ce repère en respectant les indications suivantes :
\begin{itemize}
\item l'origine est en bas à gauche de la feuille;
\item l'axe des abscisses est dans le sens de la largeur de la feuille ; 
\item l'axe des ordonnées est dans le sens de la longueur de la feuille ;
\item en abscisse 1 cm représente $4$ unités ;
\item en ordonnée 1 cm représente $10$ unités.
\end{itemize}
		\item Tracer dans ce repère :

la droite $d_1$ d'équation $y = 5x$ ;
la droite $d_2$ d'équation $y = 2,5x + 40$ ;
la droite $d_3$ d'équation $y = 170$.
	\end{enumerate}
\item Soit K le point d'intersection des droites $d_1$ et $d_2$ , L le point d'intersection des droites $d_2$ et $d_3$.
Déterminer les abscisses des points K et L :
	\begin{enumerate}
		\item graphiquement ;
		\item par le calcul.
	\end{enumerate}	
\item À l'aide du graphique, déterminer, suivant les valeurs de $x$,
le tarif le plus avantageux.
\end{enumerate}
\end{document}