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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Strasbourg}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Strasbourg septembre 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit l'expression 

\[E = (3x - 2)^2 + (5 - 2x) (3x - 2).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers : 

\[C = \sqrt{500} + 2\sqrt{45} - 7\sqrt{20}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Lors d'un test passé dans une classe de 6\up{e} comptant 25 élèves, on a noté de 0 à 4.

Les résultats ont été consignés dans un tableau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Notes &Effectifs&Fréquences en \,\%\\ \hline
0						&2	&	 \\ \hline
1						&1	&\\ \hline
2 						&	&28\\ \hline
3 						&	&20\\ \hline
4 						&10	&\\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{~}	&25 &100\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter ce tableau.
\item Représenter, à l'aide d'un diagramme en bâtons, la répartition des effectifs en fonction des notes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On partage une somme d'argent entre trois personnes.

La première reçoit 40\,\% de cette somme, la deuxième reçoit $\dfrac15$ de
la somme et la troisième reçoit \np{1200}~F. 

Calculer la part des deux premières personnes.

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un artisan est chargé d'installer un panneau solaire sur le toit d'une maison.

Le panneau doit former un angle de $45\degres$ avec l'horizontale.

Le toit forme un angle de $25\degres$ avec l'horizontale.

Le panneau a une longueur de $1,50$~mètre.

On a : $\widehat{\text{PAH}} = 45\degres \:;\: \widehat{\text{TAH}} = 25\degres \:;\: \widehat{\text{AHT}} = 90\degres$ \:;\: PA $= 1,50$~m.

Pour fixer le panneau, il est nécessaire de connaître la distance TA ; pour cela :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer HA au centimètre le plus proche.
\item Calculer TA au centimètre le plus proche.
\end{enumerate}

\smallskip

On pourra se servir du tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés	&cos		&sin		&tan\\ \hline
25 		&\np{0,9063}&\np{0,4226}&\np{0,4663}\\ \hline
45		&\np{0,7071}&\np{0,7071}&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

Unité : le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(- 6~;~2)$ et B(1~;~3).
\item Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier la réponse.
\item Construire le point C, image de O par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer les coordonnées du point K, milieu du segment [AC].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère les deux segments ci-dessous, de longueurs $a$ et $b$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,1.6)
\psline{|-|}(0.2,0.2)(3.4,0.9)\uput[u](1.8,0.55){$a$}
\psline{|-|}(5,1)(6.7,0.3)\uput[u](5.85,0.65){$b$}
\end{pspicture}
\end{center}

Les instruments autorisés sont : la règle non graduée, le compas et l'équerre.

On demande de construire sur la copie deux polygones

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'un aura pour aire $a \times b$.
\item L'autre aura pour périmètre $a + 2b$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{Attention} : laisser les traits de construction apparents. 

Indiquer sur les figures réalisées les segments ayant pour longueur $a$ ou $b$.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Monsieur Potatoes livre à domicile des pommes de terre à $3$ F le kilogramme.

À la ferme des Kartoffeln, les pommes de terre sont vendues $2,40$~F le kilogramme ; le trajet en voiture aller et retour de chez moi à la ferme des Kartoffeln me revient à $15$~F{}.


\begin{enumerate}
\item Calculer le prix de revient de $20$~kg de pommes de terre :
	\begin{enumerate}
		\item livrés par M. Potatoes ;
		\item cherchés à la ferme des Kartoffeln et rapportés chez moi.
	\end{enumerate}
\item Il me faut $x$ kg de pommes de terre pour l'hiver. Exprimer en fonction de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item le prix $P(x)$ à payer à M. Potatoes s'il me les livre à domicile;
		\item le coût $K(x)$ si je vais les chercher à la ferme des Kartoffeln, et les rapporte chez moi.
	\end{enumerate}
\item On munit le plan d'un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer sur papier millimétré ce repère en respectant les indica- tions suivantes :
- l'origine est en bas à gauche de la feuille ;
- en abscisse, 1 cm représente $2$ unités ;
- en ordonnée, 1 cm représente $5$ unités.
		\item Tracer dans ce repère :
- la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 3x$ ;
- la droite $\left(D_2\right)$ d'équation $y = 2,4x + 15$.
	\end{enumerate}
\item Soit I le point d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement les coordonnées de I.
		\item Retrouver ces nombres par le calcul.
		\item Quel lien y-a-t-il entre les coordonnées de I et l'achat de pommes de terre ?
	\end{enumerate}	
\item Les pommes de terre sont vendues par sacs de $10$~kg.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $N$ le nombre minimum de sacs à acheter pour que le déplacement à la ferme des Kartoffeln me fasse réaliser une économie. Déterminer $N$ à l'aide des résultats de la question 4.
		\item Soit $E$ l'économie réalisée en cherchant ces N sacs à la ferme des Kartoffeln.

\begin{itemize}
\item Représenter $E$ par un trait de couleur sur le graphique.
\item Déterminer $E$ par le graphique et par le calcul.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}