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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{array}
\geometry{hmargin={1.5cm,1.5cm},vmargin={.5cm,1.5cm}}
\usepackage{pifont}
\usepackage{enumerate}
\newcommand{\es}{\noindent}
\newcommand{\eu}{\euros \:}
\newcommand{\ud}{\underline}
\newcommand{\vs}{\vspace{.5cm}}
\everymath{\displaystyle}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
%conserver (vecteurs)
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\Vect}[1]{\overrightarrow{\strut #1}}
\newcommand{\rep}{$\left(O;\vect{i},\vect{j}\right)$}
\newcommand{\repc}{$\left(O;\vect{u},\vect{v}\right)$}
%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}{% croissante
\unitlength=1cm
\begin{minipage} {1cm}%pour centrer verticalement f(x)
  \begin{picture}(1,1)    % dessin de 2 X 2
     \put(0,0){\vector(1,1){1}} % 1 à partir (0,0) direction (1,1)  
 \end{picture} 
\end{minipage}
}
\newcommand{\dec}{%décroissante
\unitlength=1cm
\begin{minipage} {1cm}%pour centrer verticalement f(x)
  \begin{picture}(1,1)    % dessin de 2 X 2
     \put(0,1){\vector(1,-1){1}} 
 \end{picture} 
\end{minipage}
}
%Pr\'{e}sentation des exos=========================================================
\definecolor{orange}%
{cmyk}{0,.1,.8,0}
\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[1]{%\setcounter{question}{0}
                     \addtocounter{exercice}{1}
                     \vspace{1em}\par \noindent
                     {\fcolorbox {black}{orange}{\bf Exercice \arabic{exercice}  #1}}
                     \hrulefill
                     \par \vspace{0.5em}
                    }
\newcommand{\exods}[2]{%\setcounter{question}{0}
                     \addtocounter{exercice}{1}
                     \vspace{1em} \par \noindent
                     \raisebox{-0.7ex}{\fcolorbox {black}{orange}{\bf Exercice \arabic{exercice}  #1}}
                     \hrulefill \, (\, $#2$ points \, )
                     \par \vspace{0.5em}
                    }
%correction des exos
\newenvironment{correction}[0]
{\par  \nopagebreak[4] \noindent{\bf{Correction}}  
\hrulefill \par }{\par \noindent \hrulefill \par \normalsize}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks,dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat Hôtellerie},
pdftitle = {Métropole juin 1994},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\newpsobject{showgrid}{psgrid}{gridwidth=1pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0pt,gridcolor=gray}
\newcommand{\q}{\quad}
\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\ori}{\rput(-0.35,-0.35){$\mathcal O$}}
\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHÉMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 1994}

\date{}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle

\setcounter{exercice}{0}

\section{Baccalauréat de technicien hôtellerie 1994}

\exo{(8 points)}

\es On dispose de deux dés cubiques non truqués et homogènes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item l'un est bleu et a ses faces numérotées de $1$ à $6$,
    \item l'autre est rouge et a trois faces numérotées chacune $1$, deux faces numérotées chacune $2$ et une face numérotée $3$.
    \end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
    \item On lance le dé rouge seulement :

\begin{enumerate}
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir une face numérotée $2$ ?
    \item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair ?
\end{enumerate}
\item On lance les deux dés et on forme un nombre de deux chiffres de la manière suivante :

\es le chiffre inscrit sur la face supérieure du dé bleu donne le chiffre des dizaines et le chiffre inscrit sur la face supérieure du dé rouge donne le chiffre des unités.
\begin{enumerate}
    \item Faire un tableau à double entrée donnant tous les tirages possibles.
    \item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : \og Obtenir le nombre $11$\fg.
    \item Calculer la probabilité de l'évènement $B$ : \og Obtenir un nombre dont le chiffre des dizaines est $3$\fg.
    \item Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : \og Obtenir un nombre pair\fg.
    \item Calculer la probabilité de l'évènement $D$ : \og Obtenir un nombre supérieur ou égal à $42$ \fg.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreA1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}

\exo{(12 points)}

\subsubsection*{Partie A : exploitation d'un graphique}

\es Le plan est muni d'un repère \rep orthonormal d'unité graphique $1$ cm. On donne la courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\left[\, - 2\, ;\, 2\, \right]$.
\vs

\parbox{8cm}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}*(-3,-2)(3,4)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-3,-2)(3,4)
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 3 exp x 3 mul sub 1 add}
\uput[u](.5,0){$\vec i$}
\uput[l](0,0.5){$\vec j$}
\uput[d](2.7,0){$\bf x$}
\uput[l](0,3.7){$\bf y$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](1,0){$\bf 1$}
\uput[l](0,1){$\bf 1$}
\rput(-.3,-.3){$\mathcal O$}
\end{pspicture}
}
\hfill
\parbox{9cm}{
\begin{enumerate}
    \item Résoudre graphiquement sur l'intervalle, l'équation : $f(x) = - 1$. On tracera les pointillés utiles.
    \item Déterminer graphiquement le nombre de solutions sur l'intervalle de l'équation : $f(x) = 0$. Justifier la réponse.
    \item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle.
\end{enumerate}
}
\hfill\hfill
\subsubsection*{Partie B : étude d'une fonction}
\es On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[g(x)=x^3-3x+1\]

et sa courbe représentative dans un repère \rep orthonormal d'unité graphique $1$ cm.
\begin{enumerate}
    \item Étudier $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x)$ et \, $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x)$.
    \item Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe. Etablir le tableau de variations de la fonction $g$.
    \item Tracer la courbe $C_g$.
    \item Déterminer une équation de la tangente $\bf T$ à la courbe $C_g$ au point d'abscisse $0$ et tracer cette tangente.
    \item Tracer la droite $\bf D$ d'équation : $y=x+1$ et résoudre graphiquement l'équation : $g(x)\geqslant x+1$.
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreA2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\setcounter{exercice}{0}
\section*{Corrigé Baccalauréat technicien hôtellerie 1994}
\hypertarget{ancreA1}{\exo{}}
\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item $P(\left\{2\right\})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
    \item $P(\left\{\text{n impair}\right\})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
    \item On obtient le tableau :
    \vs

        \begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{6}{c|}}\hline
\backslashbox{2\up{e} dé}{1\up{er} dé}&\blue\raisebox{4pt}{$1$}&\blue\raisebox{4pt}{$2$}&\blue\raisebox{4pt}{$3$}&\blue\raisebox{4pt}{$4$}&\blue\raisebox{4pt}{$5$}&\blue\raisebox{4pt}{$6$}\\
    \hline
\red    \raisebox{-2pt}{$1$}&11&21&31&41&51&61\\
        \hline
\red    \raisebox{-2pt}{$1$}&11&21&31&41&51&61\\
        \hline
\red    \raisebox{-2pt}{$1$}&11&21&31&41&51&61\\
        \hline
\red    \raisebox{-2pt}{$2$}&12&22&32&42&52&62\\
        \hline
\red    \raisebox{-2pt}{$2$}&12&22&32&42&52&62\\
        \hline
\red    \raisebox{-2pt}{$3$}&13&23&33&43&53&63\\
    \hline
    \end{tabular}

    \end{center}
    \vs
    \es Il y a $36$ tirages possibles. On obtient par lecture du tableau les probabilités demandées ci-dessous.
    \vs

    \item $P(A)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
    \item $P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
    \item $P(C)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$.
    \item $P(D)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreA2}{\exo{}}
\subsubsection*{Partie A : exploitation d'un graphique}

\vs

\parbox{8cm}{
    \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}*(-3,-2)(3,4)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-3,-2)(3,4)
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=gray]{-3}{3}{1 x 3 mul sub}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=cyan]{-3}{3}{x 1 add}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x 3 exp x 3 mul sub 1 add}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-3}{-2}{x 3 exp x 3 mul sub 1 add}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{2}{3}{x 3 exp x 3 mul sub 1 add}
\uput[u](.5,0){$\vec i$}
\uput[l](0,0.5){$\vec j$}
\uput[d](2.7,0){$\bf x$}
\uput[l](0,3.7){$\bf y$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[l](0,1){$\bf 1$}
\rput(-.3,-.3){$\mathcal O$}
\uput[u](-2,0){$\alpha$}
\uput[u](1,0){$\beta$}
\rput(-2,-1){$\bullet$}
\rput(0,1){$\bullet$}
\rput(2,3){$\bullet$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1)
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,-1)
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-3}{3}{-1}
\end{pspicture}
}
\hfill
\parbox{9cm}{
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-1$ a pour solutions : $\alpha=-2$ et $\beta=1$ (voir graphique).
\item Il y a $3$ intersections de la courbe avec l'axe $(x'x)$, donc $3$ solutions.
\item    \[
\begin{array}{|c|*{7}{c}|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&-2&&-1&&1&&2\\
\hline
&&&&&&&3\\
&&&3&&&&\\
f(x)&&\cro&&\dec&&\cro&\\
&-1&&&&-1&&\\
\hline
\end{array}
\]
\end{enumerate}
}
\subsubsection*{Partie B : étude d'une fonction}
\begin{enumerate}
    \item $\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et \, $\lim_{x\to -\infty} g(x)=-\infty$ car la limite d'une fonction polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est celle de son terme de plus haut degré ici $x^3$.
    \item $g'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. On a le tableau de variations :
$$
\begin{array}{|c|*{7}{c}|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\
\hline
&&&&&&&\\
f'(x)&&+&&-&&+&\\
&&&&&&&\\
\hline
&&&&&&&+\infty\\
&&&3&&&&\\
f(x)&&\cro&&\dec&&\cro&\\
&-\infty&&&&-1&&\\
\hline
\end{array}
$$
\item $C_g$ est évidemment la courbe de la partie A mais tracée sur $\R$.
\item $\bf T$ a pour équation :
$$y=g'(0)x+g(0)$$
$$y=-3x+1$$
\item On observe facilement que : $g(x)\geqslant x+1$ sur $[\, -2\, ;\, 0\, ]$ et $[\, 2\, ;\, +\infty\, [$.
\end{enumerate}
\vs

\es\hrulefill
\end{document}
