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\chapter{Académies de Caen et Rouen}

\begin{Enonce}[Jeux d'aiguille]
  
  On s’intéresse, dans cet exercice, à l’expérience qui consiste à
  jeter au hasard un grand nombre de fois une aiguille sur un parquet
  composé de lattes parallèles. On admettra qu’il s’agit d’une
  situation d’équiprobabilité.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
    %% La figure ne semble pas faite avec un génération au hasard
    %% cela semble trop régulier.
    %% Pour toutes les figures de cet exo sont proches de l'original,
    %% mais ne sont pas identiques.
    %% Ici, il faudrait faire une vraie simulation, en tirant au
    %% hasard, et en se servant des valeurs pour construire les points
    %% sur les graphiques.
    \begin{scope}
      %\node[above right,inner sep=0pt,outer sep=0pt] at (0,-0.75)
      %{\fbox{\includegraphics[width=10cm,height=6.8cm]{o_01}}} ;
      %\draw[red!33] (0,0) grid[step=0.5] (10,6) ;
      \foreach \X/\Y/\angle in {
        0.95/1.05/77,
        2.2/0.95/50,
        3.65/0.8/0,
        4.55/0/78,
        5.85/0/118,
        9.35/0.95/90,
        4.8/1.375/20,
        6.05/1.9/78,
        7.25/1.4/0,
        3.85/2.0/18,
        8.35/1.95/145,
        0.75/2.85/50,
        2.25/2.8/0,
        5.25/2.8/79,
        9.1/3.2/78,
        1.2/3.9/117,
        3.75/3.8/90,
        6.6/3.95/18,
        0.65/5.1/90,
        2.2/4.6/80,
        5.65/4.525/0,
        7.45/4.8/90,
        8.65/5.05/51,
        4.25/5.75/50,
        5.825/5.825/145
      }
       {
         % \pgfmathsetmacro{\X}{random(19,90)/10}
         % \pgfmathsetmacro{\Y}{random(10,50)/10}  
         % \pgfmathsetmacro{\angle}{random(0,360)}
         \draw[colLogo,line width=2pt](\X,\Y)--++(\angle:0.5cm)
         --++(180+\angle:1cm) ;
       }
    \end{scope}
   
    \foreach \x in {0,2,...,6}
    {
      \draw[line width=0.8pt] (0,\x) -- (10,\x) ;
    }
  \end{tikzpicture}

    \caption{ }
    \label{fig_CaRo19A_01}
  \end{figure}

  
  \begin{itemize}
  \item L’unité de longueur choisie est la longueur de
    l’aiguille.
  \item  Toutes les lattes de parquet ont pour largeur
    $2$. 
  \end{itemize}

  L’objectif de l’exercice est d’estimer la probabilité $p$ de
    l’événement $ C $ : « L’aiguille tombe à cheval sur une rainure du
    parquet ».

  \Partie{Modélisation}

  Les rainures du parquet sont assimilées à des droites parallèles et
  l’aiguille à un segment de longueur $1$. La position 
  de l’aiguille sur une latte est donnée par son milieu $I$ et un couple
  $\left(x,y\right)$ de coordonnées définies de 
  la façon suivante :
  \begin{itemize}
  \item 
    $x$ est la mesure en radians, comprise entre $0$ et $\pi $ de
    l’angle formé par l’aiguille et les parallèles aux rainures. 
  \item $y$ est la distance entre le point $I$ et la rainure du parquet
    la plus proche de l’aiguille.  $y \in \interval{0}{1}$. 
  \item Sur la figure \ref{fig_CaRo19A_02}, une aiguille est repérée
    par ses coordonnées $\left(x,y\right)$, l’autre par
    $\left(0,75;\frac{\pi}{4}\right)$. 
  \end{itemize}

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2]
      \draw[line width=1pt](0,0) -- (3.1415,0) ;
      \draw[line width=1pt](0,2) -- (3.1415,2) ;
      \draw[<->,>=stealth] (0.2,0) to node[left] {$2$}
      (0.2,2) ;
      \draw[colLogo,line width=1.2pt](2.5,0.75) --++(45:0.5)
      --++(-135:1) ;
      \draw[dashed] (2.5,0) to node[right] {$0,75$} ++(0,0.75)
      node[above left] {$J$}--(3.1415,0.75) ;
      \fill[fill=colLogo] (2.75,0.75) arc[radius=0.25,start angle=0,end
      angle=45]  to node[right] {~~$\nicefrac{\pi}{4}$}++(-135:0.25) -- cycle ;
      \fill[colLogoTeinte] (2.5,0) rectangle ++(0.125,0.125) ;
      \draw[colLogo,line width=1.2pt](1,1.25) --++(25:0.5)
      --++(-155:1) ;
      \draw[dashed] (1,2) to node[right] {$y$} ++(0,-0.75)
      node[above left] {$I$}--(3.1415,1.25) ;
      \fill[fill=colLogo] (1.25,1.25) arc[radius=0.25,start angle=0,end
      angle=25]  to node[right] {~~$x$}++(-155:0.25) -- cycle ;
      \fill[colLogoTeinte] (1,2) rectangle ++(0.125,-0.125) ;    
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_CaRo19A_02}
  \end{figure}
  
  \begin{enumerate}
  \item On considère quatre positions de l’aiguille, correspondant aux
    points $P$, $Q$, $R$ et $S$ suivants :
    $P\left(\frac{\pi}{2}\,;\,0,4\right)$,
    $Q\left(\frac{\pi}{3}\,;\,0,5\right)$,
    $R\left(\frac{3\pi}{4}\,;\,0,2\right)$,
    $S\left(\frac{5\pi}{6};0,9\right)$,

    Pour chacune de ces positions, indiquer, en le justifiant, si l’événement $C$ est
    réalisé ou non.
  \item Soit $I$ un point de coordonnées $ (x\,;\,y)$. $I$ correspond
    à la position de l'aiguille représent sur la figure
    \ref{fig_CaRo19A_03}. 

    \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2]
      \draw[line width=1pt](0,0) -- (3.1415,0) ;
      \draw[line width=1pt](0,2) -- (3.1415,2) ;
      \draw[<->,>=stealth] (0.2,0) to node[left] {$2$}
      (0.2,2) ;
      % \draw[colLogo,line width=1.2pt](2.5,0.75) --++(45:0.5)
      % --++(-135:1) ;
      % \draw[dashed] (2.5,0) to node[right] {$0,75$} ++(0,0.75)
      % node[above left] {$J$}--(3.1415,0.75) ;
      % \fill[fill=colLogo] (2.75,0.75) arc[radius=0.25,start angle=0,end
      % angle=45]  to node[right] {~~$\nicefrac{\pi}{4}$}++(-135:0.25) -- cycle ;
      % \fill[colLogoTeinte] (2.5,0) rectangle ++(0.125,0.125) ;
      \draw[colLogo,line width=1.2pt](2,1.25) -- ++(25:0.75) -- ++(-155:1.5) ;
      \draw[dashed] (2,2) to node[right] {$y$} ++(0,-0.75)
      node[above left] {$I$}--(3.1415,1.25) ;
      \fill[fill=colLogo] (2.25,1.25) arc[radius=0.25,start angle=0,end
      angle=25]  to node[right] {~~$x$}++(-155:0.25) -- cycle ;
      \fill[colLogoTeinte] (2,2) rectangle ++(0.125,-0.125) ;
      \draw[dashed] (2.5,1) --(2.453154,1.461309) node[above right]
      {$A$} -- (2.453154,1.25)  node [below] {$H$};  
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_CaRo19A_03}
  \end{figure}

    \begin{enumerate}
    \item Exprimer la distance $AH$ en fonction de $x$
    \item En déduire que l’événement $C$ est
      réalisé si et seulement si : $y<\frac{1}{2}\sin(x)$.
    \end{enumerate}
    
  \item On a lancé $25$ fois l’aiguille. Les positions ont été
    relevées sur la figure 1. Chacun des graphiques \ref{fig_CaRo19A_04} prétend
    traduire la situation : chacun des points a pour coordonnées le
    couple de coordonnées correspondant à une position de l’aiguille,
    la courbe représente la fonction
    $x\mapsto \frac{1}{2}\sin(x)$. Quel est celui de ces
    graphiques qui correspond à la situation de la figure
    \ref{fig_CaRo19A_01} ?
    \begin{figure}[!p]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=3]
        % Les deux graphiques ne correspondent pas.
        % La répartition est bonne, mais la position des points
        % ne correspond pas à celle de la figure 1.
        % \node[above right,inner sep=0pt,outer sep=0pt] at (0,0)
        % {\includegraphics[width=9.6cm,height=3cm]{o_02}} ;
        % \draw[red!33] (0,0) grid[step=0.5] (10,6) ;
        \draw[lightgray] (0,0) grid[xstep=0.1,ystep=0.1] (3.2,1) ;
        \draw [->,>=stealth] (0,0) -- (3.2,0) ;
        \draw [->,>=stealth] (0,0) --(0,1) ;
        \foreach \x in {0.5,1,...,3}
        { \node[below] at (\x,0)  {\small \x} ; }
        \foreach \y in {0.5,1}
        { \node[left] at (0,\y)   {\small \y} ; }
        \draw plot[domain=0:3.1415] (\x,{0.5*sin(\x  r)}) ;
        \draw[fill=colLogo] plot[domain=0:3.1415, mark=*,only
        marks,mark size=0.6pt] coordinates { (0.140,0.725) (0.350,0.530)
          (0.600,0.132) (0.725,0.257) (0.695,0.770) (0.759,0.634)
          (0.759,0.152) (0.975,0.159) (1.051,0.800) (1.236,0.640)
          (1.256,0.200) (1.351,0.375) (1.600,0.363) (1.700,0.869)
          (1.788,0.700) (1.830,0.185) (1.970,0.822) (2.130,0.630)
          (2.250,0.121) (2.443,0.506) (2.544,0.173) (2.703,0.832)
          (2.766,0.564) (3.048,0.731) (2.991,0.224) } ;
        \node[right] at (2.5,0.35) {\small $y=\frac{1}{2}\sin(x)$};
        \node[below] at (1.75,-0.25) {Graphique 1} ;
      \end{tikzpicture}

      \begin{tikzpicture}[scale=3]
        % \node[above right,inner sep=0pt,outer sep=0pt] at (0,0)
        % {\includegraphics[width=9.6cm,height=3cm]{o_03}} ;
        \draw[lightgray] (0,0) grid[xstep=0.1,ystep=0.1] (3.2,1) ;
        \draw [->,>=stealth] (0,0) -- (3.2,0) ;
        \draw [->,>=stealth] (0,0) --(0,1) ;
        \foreach \x in {0.5,1,...,3}
        { \node[below] at (\x,0)  {\small \x} ; }
        \foreach \y in {0.5,1}
        { \node[left] at (0,\y)   {\small \y} ; }
        \draw plot[domain=0:3.1415] (\x,{0.5*sin(\x  r)}) ;
        \draw[fill=colLogo] plot[domain=0:3.1415, mark=*,only
        marks,mark size=0.6pt] coordinates { (0.142,0.725) (0.370,0.540)
          (0.760,0.155) (0.285,0.445) (0.715,0.760) (0.770,0.620)
          (0.679,0.462) (0.963,0.634) (1.061,0.800) (1.246,0.630)
          (1.246,0.850) (1.533,0.742) (1.710,0.860) (1.770,0.709)
          (1.948,0.830) (2.130,0.795) (2.150,0.632) (2.000,0.260)
          (2.300,0.245) (2.443,0.506) (2.390,0.770) (2.763,0.562)
          (2.966,0.204) (3.008,0.728) (2.551,0.170) } ;
        \node[right] at (2.5,0.35) {\small $y=\frac{1}{2}\sin(x)$};
        \node[below] at (1.75,-0.25) {Graphique 2} ;
      \end{tikzpicture}

      \begin{tikzpicture}[scale=3]
        % \node[above right,inner sep=0pt,outer sep=0pt] at (0,0)
        % {\includegraphics[width=9.6cm,height=3cm]{o_04}} ;
        \draw[lightgray] (0,0) grid[xstep=0.1,ystep=0.1] (3.2,1) ;
        \draw [->,>=stealth] (0,0) -- (3.2,0) ;
        \draw [->,>=stealth] (0,0) --(0,1) ;
        \foreach \x in {0.5,1,...,3}
        { \node[below] at (\x,0)  {\small \x} ; }
        \foreach \y in {0.5,1}
        { \node[left] at (0,\y)   {\small \y} ; }
        \draw plot[domain=0:3.1415] (\x,{0.5*sin(\x  r)}) ;

        \draw[fill=colLogo] plot[domain=0:3.1415, mark=*,only
        marks,mark size=0.6pt] coordinates { (0.352,0.535) (0.390,0.070)
          (0.580,0.145) (0.715,0.265) (0.755,0.155) (0.975,0.160)
          (1.079,0.362) (1.055,0.816) (1.141,0.150) (1.250,0.200)
          (1.356,0.130) (1.356,0.362) (1.608,0.345) (1.728,0.385)
          (1.848,0.350) (2.000,0.270) (2.120,0.300) (2.275,0.115)
          (2.320,0.250) (2.400,0.116) (2.550,0.180) (2.723,0.122)
          (2.466,0.504) (3.022,0.730) (2.981,0.210) } ;
        \node[right] at (2.5,0.35) {\small $y=\frac{1}{2}\sin(x)$};
        \node[below] at (1.75,-0.25) {Graphique 3} ;
      \end{tikzpicture}
    
      \caption{ }
      \label{fig_CaRo19A_04}
    \end{figure}
  \item Lorsqu’on exécute l’algorithme ci-dessous pour
    $n=\num{10000}$, la variable $f$ contient $\num{0.3152}$. Quelle
    interprétation peut-on donner de ce résultat ?
    \begin{algorithm}[!h]
        \SetAlgoLined
        \SetKwInOut{Input}{Entrée}
        \SetKwInOut{Output}{Sortie}
        $k \leftarrow 0$
        
        \For{$i$ allant de $1$ à $n$}
        {
          $x \leftarrow $ valeur aléatoire dans $\interval{0}{pi}$\\
          $y \leftarrow $ valeur aléatoire dans $\interval{0}{1}$\\
          \If{$y < \frac{1}{2}\sin(x)$}
          {
            $k \leftarrow k+1 $ 
          }
        }
        $f \leftarrow \frac{k}{n}$
      \end{algorithm}
    \item Dans un repère orthogonal donné, on considère le domaine du plan
      délimité par la courbe d’équation $y=\frac{1}{2}\sin(x)$, l’axe
      des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=\pi$
      (partie colorée). On considère également le rectangle $OEFG$ où
      $O (0\,;\,0)$, $E (\pi\,;\,0)$, $F (\pi\,;\,1)$ et $G (0\,;\,1)$.

      \begin{figure}[!p]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=6]
          \node[above] (B) at (1.570,0.5) {$B$} ;
          \node[left] (O) at (0,0) {$O$} ;
          \node[right] (E) at (3.1415926,0) {$E$} ;
          \node[above right] at (3.1415926,1) {$F$} ;
          \node[above] at (0,1) {$G$} ;
          \begin{scope}[draw=colLogo,line width=1pt]
            \draw plot[domain=0:3.1415] (\x,{0.5*sin(\x r)}) -- (0,0);
            \draw plot[domain=0:3.1415]
            (\x,{-2*\x*(\x-3.1415926)/(3.1415926*3.1415926)}) -- (0,0)
            ;
            \draw (0,0) -- (1.570,0.5) -- (3.1415926,0) ;
            \draw (0,0) -- (3.1415926,0)--(3.1415926,1) --(0,1)--cycle ;
          \end{scope}
          \draw[dashed] (1.570,0.5) --  (1.570,0)  ;
        \begin{scope}[draw=colLogo,fill=colLogo!50,fill opacity=0.33]
          \fill plot[domain=0:3.1415] (\x,{0.5*sin(\x r)}) -- (0,0) ;
          % \fill plot[domain=0:3.1415]
          % (\x,{-2*\x*(\x-3.1415926)/(3.1415926*3.1415926)}) -- (0,0) ;
        \end{scope}
        \draw[lightgray] (0,0) grid[xstep=0.2,ystep=0.1] (3.2,1) ;
        
        \foreach \x in {0,0.4,...,3.2}
        {
          \FPeval\y{round(\x:1)} \node[below] at (\x,0) {$\num{\y}$} ;
        }
        \foreach \x in {0.1,0.2,...,1}
        {
          \FPeval\y{round(\x:1)} \node[left] at (0,\x) {$\num{\y}$} ;
        }
        \node[below,fill=white,inner sep = 5pt,rectangle] at
          (1.570,-0.0125) {$\frac{\pi}{2}$} ;
       
      \end{tikzpicture}
      
      \caption{ }
      \label{fig_CaRo19A_05}
    \end{figure}

    La probabilité $C$ est égale au quotient de l'aire de ce domaine
    par l'aire du rectangle $OEFG$.

    D'après la formule d'Archimède, l'aire du domaine situé sous l'arc
    de la parabole représenté sur la figure \ref{fig_CaRo19A_05}
    passant par $O$, $B$ et $E$ est égal au quatre tiers de l'aire du
    triangle $OBE$.
    
    En déduire un encadrement de la probabilité de l'événement $C$.

    \end{enumerate}
    \begin{Corrige}
      \begin{enumerate}
      \item
        \begin{itemize}
        \item Pour le point $P$. L'aiguille est perpendiculaire aux
          rainures. La distance à la rainure la plus proche est de
          $0,4$, donc l'aiguille coupe la rainure. $C$ est réalisé.
        \item Pour le point $Q$. La hauteur de l'aiguille au dessus
          d'une parrallèle est $\frac{1}{2}\sin
          \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} <
          0,5$. Donc, l'événement $C$ n'est pas réalisé.
        \item De la même manière, pour $R$ l'événement $C$ est
          réalisé.
        \item De la même manière, pour $S$ l'événement $C$ n'est pas
          réalisé.
        \end{itemize}
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Le triangle $IAH$ est rectangle en $H$, on a donc :
          $\sin(x) =  \frac{AH}{IA}$, donc $AH =
          \frac{1}{2}\sin(x)$. 
        \item L'événement $C$ est donc réalisé, si $y < AH$, donc si $
          y < \frac{1}{2}\sin(x)$.
        \end{enumerate}
      \item Sur la figure 1, il y a $10$ épingles à cheval sur une
        rainure. Seul le graphique 1, correspond.
      \item $f$ correspond à la fréquence des points, obtenus
        aléatoirement, en dessous de la courbe d'équation $y =
        \frac{1}{2}\sin(x)$. 
      \item Aire du triangle $OBE = \frac{\pi \times \frac{1}{2}}{2}
        = \frac{\pi}{4}$.

        Aire de la parabole $ \frac{4}{3} \times \frac{\pi}{4} =
        \frac{\pi}{3}$.

        Donc $ \frac{1}{4} < P(C) <  \frac{1}{3}$.
      \end{enumerate}
    \end{Corrige}
  \end{Enonce}

  \begin{Enonce}[Des carrés et des cases]
    \emph{Pour répondre aux questions posées, on pourra utiliser les
      figures proposées en annexe, à rendre avec la copie.}

    \begin{tcolorbox}[
      sidebyside,righthand width=3.5cm,
      title=Définition,%
      % espaces interieurs à la boîte
      left=2pt,%
      right=2pt,%
      top=2pt,%
      bottom=2pt,%
      before skip=0ex,%
      after skip=0pt,%
      noparskip,%
      % Pas de cercle aux coins
      arc = 5pt,%
      % enhanced jigsaw,%
      % breakable,%
      % % couleur du trait et du texte
      boxrule = 1pt, colframe=colLogoFort, colback=colLogoTeinte!10,,
      coltext =colLogoFort, fonttitle=\sffamily, sidebyside gap=4mm,%
      lower separated=false,%
      fontlower=\bfseries,%
      halign = justify,%
      fontupper=\small,%
      ]
      \textbf{Définition : } Dans un carré $C$ composé de $n\times n$
      cases, on appelle \emph{sous-carré } $m\times m$ de $C$ tout
      carré composé de $m\times m$ cases contenu dans $C$.
      
      \textbf{Exemple : } Le carré $C'$, composé de $3\times 3$ cases,
      est un sous-carré du carré $C$, composé de $6\times 6$ cases.
      
      \tcblower
      \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
        \draw[colLogo,thin] (0,0) grid (6,6) ; \draw[colLogoFort,
        ultra thick] (2,2) rectangle (5,5) ; \node[left] at (0,5)
        {$C$} ; \node[left] (c1) at (0,3) {$C '$} ; \node (c2) at
        (2,3) {} ; \draw[->,>=stealth,ultra thick] (c1) -- (c2) ;
      \end{tikzpicture}
    \end{tcolorbox}

    \Partie{ Un cas particulier}

    On considère dans cette partie un carré $C$ composé de $5\times 5$
    cases et $C'$ un sous-carré $3\times 3$ du carré $C$.

    \begin{enumerate}
    \item Combien existe-t-il de positions possibles du carré $C'$
      dans le carré $C$ ?
    \item Disposer une case noire (ou plusieurs) dans le carré $C$
      figurant en annexe de sorte que tout sous-carré $C'$ de $C$ à
      $3\times 3$ cases contienne exactement une cases noire.
    \item Disposer des cases noires dans le carré $C$ figurant en
      annexe pour que tout sous-carré $C'$ de $C$ à $3\times 3$ cases
      contienne exactement :
      \begin{enumerate}
      \item Deux cases noires ;
      \item Trois cases noires ;
      \item Quatre cases noires.
      \end{enumerate}
    \item Montrer que si l’on peut disposer des cases noires dans le
      carré $C$ pour que chaque sous-carré $C'$ contienne exactement
      $p$ cases noires, on pourra placer des cases noires dans le
      carré $C$ pour que chaque carré $C'$ contienne exactement $9-p$
      cases noires.

    \item Que peut-on en conclure quant au nombre de cases noires qui
      peuvent être contenues dans chaque sous-carré $C'$ d’un carré
      $C$.
    \end{enumerate}

    \Partie{Généralisation}

    On considère, dans cette partie, pour tout entier naturel $k \geq
    2$ :
    \begin{itemize}
    \item Un carré $C$ composé de
      $\left(2k+1\right)\times \left(2k+1\right)$ cases ;
    \item Un sous-carré $C'$ du carré $C$, à
      $\left(2k-1\right)\times \left(2k-1\right)$ cases.
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
    \item  Combien existe-t-il de positions du carré $C'$ dans le
      carré $C$ ?
    \item Justifier que, si $p$ est un  entier naturel tel que
      $p \leq \left(2k-3\right)^2$, on peut disposer des cases noires
      dans $C$ de telle façàon que tout sous-carré $C'$ contienne
      exactement $p$ cases noires.
    \item En déduire que, si $p$ est un entier naturel tel que
      $p \leq \left(2k-3\right)^2$, on peut placer des cases noires
      dans $C$ pour que chaque sous-carré $C'$ contienne exactement
      $\left(2k-1\right)^2-p$ cases noires.

      \emph{On souhaite démontrer dans cette partie que,
          pour tout entier naturel $p\leq \left(2k-1\right)^2$, on
          peut disposer des cases noires dans $C$ de telle façon que
          tout sous-carré $C'$ contiennent exactement $p$ cases noires.}

    \item Cette propriété est-elle vraie pour $k=2$ ? Pour
      $k=3$ ?
    \item Montrer que, pour tout entier naturel $k \geq 4$ :
      \[
        \left(2k-1\right)^2-\left(2k-3\right)^2 \leq \left(2k-3\right)^2.
      \]
    \item Conclure.
    \end{enumerate}
    \begin{figure}[!p]
      \def\carreV{\tikz[scale=0.35] \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;}
      \centering
        \foreach \x in {1,2,...,6}
        {
          ~\hfill
          \foreach \y in {1,2,...,6}
          {
            \carreV \hfill
          }
          \vspace*{1ex}\par 
        }
      
      \caption{Annexe des carrés et des cases}
      \label{fig_CaRo19_05a}
    \end{figure}
    \begin{figure}[!p]
      \def\carreIX{\tikz[scale=0.35] \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;}
      \centering
        \foreach \x in {1,2,3}
        {
          ~\hfill
          \foreach \y in {1,2,3}
          {
            \carreIX\hfill
          }
          \vspace*{3ex}\par 
        }
      
      \caption{Annexe des carrés et des cases}
      \label{fig_CaRo19_05b}
    \end{figure}
    \begin{Corrige}
      \def\carreV#1{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[fill=colLogoTeinte,line width=0pt,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
        \end{tikzpicture}
      }
      \def\carreVII#1#2{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[line width=0pt,
          fill=colLogoTeinte,
          ultra thick,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
          \fill[colLogoFort] (#2) rectangle ++(1,1) ;
        \end{tikzpicture}
      }
      \def\carreVIIIa#1#2{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[line width=0pt,
          fill=colLogoTeinte,
          ultra thick,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
          \fill[colLogoFort] (0,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (1,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
        \end{tikzpicture}
      }

      \def\carreVIIIb#1#2{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[line width=0pt,
          fill=colLogoTeinte,
          ultra thick,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
          \fill[colLogoFort] (0,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (1,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
        \end{tikzpicture}
      }

      \def\carreVIIIc#1#2{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[line width=0pt,
          fill=colLogoTeinte,
          ultra thick,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
          \fill[colLogoFort] (0,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (1,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (0,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (2,1) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (2,4) rectangle ++(1,1) ;


        \end{tikzpicture}
      }

      \def\carreIX{\tikz[scale=0.35] \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;}
      \Partie{Un cas particulier}
      \begin{enumerate}
      \item Il y a $9$ possibilités.
        \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreV{\x,\y}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center}
      \item En mettant la case noire dans la case centrale, chaque
        carré $C'$ contient cette case.
        \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreVII{\x,\y}{2,2}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center} 
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Deux cases.
          \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreVIIIa{\x,\y}{1,2}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center} 
      \item Trois cases.
        \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreVIIIb{\x,\y}{1,2}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center} 
      \item Quatre cases
        \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreVIIIc{\x,\y}{1,2}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center} 

        \end{enumerate}
      \item Il suffit d'inverser la couleur des cases dans $C'$.
      \item Pour tout tout nombre $p$ compris entre $0$ et $9$, on
        peut colorier $p$ cases en noirs de manière que tout carré
        $C'$ contienne $p$ cases noires. Les questions 2 et 3,
        permettent de conclure pour $p$ valant $1$, $2$, $3$ et
        $4$. La question précédente permet de répondre pour $p$ valant
        $8$, $7$, $6$ et $5$. Le cas $p = 0$ est évident, on en déduit
        le cas $p=9$.
      \end{enumerate}

      \Partie{Généralisation}

      \begin{enumerate}
      \item Il n'y a que $9$ possibilités. En effet, horizontalement,
        on ne peut mettre $C'$ que dans $3$ position, et $3$
        horizontalement.
      \item Le carré central, de côté $2k-3$ est contenu dans tous
        carrés $C'$.
        \begin{figure}[!p]
          \centering
          \begin{tikzpicture}
            \draw[colLogoFort] (0,0) grid (9,9) ;
            \fill[fill=colLogoTeinte,fill opacity=0.5] (2,2) rectangle
            (7,7) ;
            \draw[<->,>=stealth] (0,9.5) to node[fill=white,rectangle]
            {$2k+1$} (9,9.5) ;
            \draw[<->,>=stealth] (1,7.5) to node[fill=white,rectangle]
            {$2k-1$} (8,7.5) ;
            \draw[<->,>=stealth] (2,1.5) to node[fill=white,rectangle] {$2k-3$} (7,1.5) ;
          \end{tikzpicture}
          \caption{ }
          \label{fig_CaRo19_01C}
        \end{figure}
      \item Si $p$ cases sont noires, alors, $(2p+1)^2-p$ cases seront
        blanches. On inverse la couleur des cases.
      \item $k = 2$, alors $2k+1 = 5$ et $2k-1 = 3$. Cette situtation
        correspond à la première partie.

        Pour $k = 3$, $2k+1 = 7$, $2k-1 = 5$. La question 2, permet de
        résoudre les cas pour $ p $ compris entre $0$ et $9$, et la
        question 3, permet de résoudre les cas de $16$ et $25$.

        Reste donc à résoudre les cas entre $10$ et $15$. Il faut donc
        résoudre les cas $10$, $11$ et $12$, voir la figure
        \ref{fig_CaRo19_02C} ; les $3$ autres cas se 
        faisant par complémentarité.

        \begin{figure}[!p]
          \centering
          \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
            \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;
            \fill[fill=colLogoTeinte,fill opacity=0.5] (0,0) rectangle
            (5,5) ;
            \fill[colLogoFort] (3,0) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,1) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,5) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,6) rectangle ++(1,1) ;
            \node at (4,-1) {$10$ carrés} ;
          \end{tikzpicture}
          \hfill
          \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
            \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;
            \fill[fill=colLogoTeinte,fill opacity=0.5] (0,0) rectangle
            (5,5) ;
            \fill[colLogoFort] (0,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (1,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (5,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (6,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,0) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,1) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,5) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,6) rectangle ++(1,1) ;
            \node at (4,-1) {$11$ carrés} ;
          \end{tikzpicture}
          \hfill
          \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
            \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;
            \fill[fill=colLogoTeinte,fill opacity=0.5] (0,0) rectangle
            (5,5) ;
            \fill[colLogoFort] (0,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (1,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (5,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (6,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,0) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,1) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,5) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,6) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
            \node at (4,-1) {$12$ carrés} ;
          \end{tikzpicture}
          \caption{ }
          \label{fig_CaRo19_02C}
        \end{figure}
      \item Montrons que $(2k-1)^2 -(2k-3)^2 \leq (2k-3)^2$.
        On développe $(2k-3)^2 +(2k-3)^2- (2k-1)^2 = 4k^2 - 12k +9 +
        4k ^2 - 12k + 9 - 4k^2 + 4k -1 = 4k^2 -20 k + 17$.

        On étudie le signe de cette fonction du 2\ieme degré. Son
        discriminant est : $128 > 0$, elle a donc deux solutions $k_1
        =  \frac{-20 - \sqrt{128}}{8} \approx 1$ et $k_1
        =  \frac{-20 + \sqrt{128}}{8} > 3$. On en déduit que :
        $ (2k-3)^2 +(2k-3)^2- (2k-1)^2  > 0$, pour $k \geq 4$ et donc que $(2k-1)^2
        -(2k-3)^2 \leq (2k-3)^2$, pour $k \geq 4$. 
      \item Pour $ k = 2$ ou $k = 3$, on peut placer $p$ points dans
        $C$ de telle façon que tout sous caaré $C'$ contiennent
        exactement $p$ cases noires.


        Pour $k \geq 4$, les questions 2. et  3. perment de répondre pour $p
        \leq (2k-3)^2$.

        La question 5. permet de répondre pour $p = 2k -1$ ?????
      \end{enumerate}
    \end{Corrige}
  \end{Enonce}

  \begin{Enonce}[Origamis]{}

    
On ne considère dans cet exercice que des feuilles de papier de format
A4 c’est-à-dire de dimensions $\SI{21}{\centi\m}$ sur
$\SI{29.7}{\centi\m}$.   


\Partie{Création d’un cornet par pliages}

À partir d’une feuille A4, il s’agit de réaliser, par découpage et
pliages successifs, un cornet.  

Voici le protocole de construction de ce cornet, illustré sur la
figure \ref{fig_CaRo19C_01}. 
\begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
      \def\alpha{-135}% angle de rotation de la figure
      \def\a{8.698485}% a = \frac{21}{1+\sqrt{2}} = 21(\sqrt{2}-1) = AD
      \def\b{12.30152}% b = 21(2-\sqrt{2}) = CD
      \def\c{9.415172}% c = b \frac{\sin(45)}{\sin(67.5)} = ED
      \def\d{5.095}% d = 21*(3*\sqrt(2)-4) = FG
      \def\beta{22.5}% 
      \begin{scope}[rotate=\alpha,scale=0.10,thick,colLogo]
        \draw (0,0) node[above] (A) {$A$} --
        (21,0) node[below] (C) {$C$} --
        (0,21) node[below] (B) {$B$} --cycle ;
      \end{scope}
      \begin{scope}[xshift=3.5cm,rotate=\alpha,scale=0.10,thick,colLogo]
        \draw (0,0) node[above] (A) {$A$} --
        (0,\a) node[right] (E) {$E$} --++(\beta:\c) --
        (21,0) node[below] (C) {$C$} -- cycle ;
        \draw (0,\a)  -- (\a,0) node[left] (D) {$D$}  ;
        \draw (0,\a) --++(\beta:\c) node[below] (F) {F} --(\a,0) ;
      \end{scope}
      \begin{scope}[xshift=5.75cm,rotate=\alpha,scale=0.10,thick,colLogo]
        \draw (0,0) node[above] {$A$} --
        (0,\a) --++(\beta:\c) --++(-45:\d) ;
        \draw (0,\a) node[right]{$E$}  -- (\a,0) node[left] {$D$}  ;
        \draw (0,\a) --++(\beta:\c) node[below] {$F$} --(\a,0) ;
        \draw(\a,0) -- ++(67.5:\c) node[below] {$G$}--(0,\a) --(\a,0)
        -- (0,0) ; 
        \fill[fill=colLogo,fill opacity=0.5,draw=colLogo]
        (\a,0) -- ++(67.5:\c) node[below] {$G$}--(0,\a)  ;
      \end{scope}
      \begin{scope}[xshift=7.75cm,rotate=\alpha,scale=0.10,thick,colLogo]
        \draw(0,\a) --++(\beta:\c) --++(-45:\d) ;
        \draw (0,\a) node[above]{$E$}  -- (\a,0) node[above] {$D$}  ;
        \draw (0,\a) --++(\beta:\c) node[below] {$F$} --(\a,0) ;
        \draw(\a,0) -- ++(67.5:\c) node[below] {$G$}--(0,\a) --(\a,0) ; 
        \fill[fill=colLogo,fill opacity=0.5,draw=colLogo]
        (\a,0) -- ++(67.5:\c) node[below] {$G$}--(0,\a)  ;
      \end{scope}
      \begin{scope}[xshift=9.75cm,rotate=\alpha,scale=0.10,thick,colLogo]
        \draw (\a,0) node[above] {$D$} -- (0,\a)
        node[above]{$E$} --++(\beta:\c)node[below] {$F$}
        --++(-45:\d)node[below] {$G$} --cycle;
        \draw (\a,0) --++(90:\a) --(0,\a) ;
      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
  \caption{ }
  \label{fig_CaRo19C_01}
\end{figure}


\begin{description}[noitemsep]
\item[Étape 1 :] découper dans la feuille de format A4 un carré
  $ABA’C$ de $\SI{21}{\centi\m}$ de côté.
\item[Étape 2 :] plier ce carré suivant $(BC)$ pour obtenir un
  triangle rectangle isocèle vérifiant $AB = AC = \SI{21}{\centi\m}$.
\item[Étape 3 :] placer le sommet $C$ sur un point $D$ du segment $[AB]$
  tel que, après pliage, la droite $(DE)$ soit parallèle à la droite
  $(BC)$.
\item[Étape 4 :] effectuer une démarche similaire à partir du
  sommet $B$.
\item[Étape 5 :] plier les deux triangles supérieurs, l’un devant,
  l’autre derrière.
\end{description}


Lorsque l’on mesure $AD$, on obtient $\SI{8.7}{\centi\m}$ (valeur
arrondie au \si{\milli\m}).  

Quelle est la valeur exacte de la distance $AD$ ? 

\Partie{Réalisation d’un triangle particulier}

À partir d’une feuille A4, il s’agit maintenant de réaliser, par
pliages successifs, un triangle particulier. Cette 
feuille est modélisée par un rectangle $ABCD$. $E$ et $F$ désignent
respectivement les milieux des segments $[AD]$ et $[BC]$.  

Voici le protocole de construction de ce triangle, illustré sur la
figure \ref{fig_CaRo19C_02}. 


\begin{figure}[!p]
  \centering
  \begin{center}
    ~\hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=0.15,colLogo,thick]
      % AG = 14\sqrt{3}
      % AJ /2= 7\sqrt{3}
      % BI = (29.7\sqrt{3} - 42)
      \def\AG{24.24871} \def\BI{9.441909} \coordinate (a) at (0,0) ;
      \node[below] at (a) {$A$} ; \coordinate (b) at (29.7,0) ;
      \node[below] at (b) {$B$} ; \coordinate (c) at (29.7,21) ;
      \node[above] at (c) {$C$} ; \coordinate (d) at (0,21) ;
      \node[above] at (d) {$D$} ; \coordinate (e) at (0,10.5) ;
      \node[left] at (e) {$E$} ; \coordinate (f) at (29.5,10.5) ;
      \node[above right] at (f) {$F$} ;
      % \coordinate (j) at (\AG,0) ;
      % \node[below] at (j) {$J$} ;
      % \coordinate (i) at (29.7,\BI) ;
      % \node[below right] at (i) {$I$} ;
      \draw (a) rectangle (c) ; \draw [dotted] (e) --(f) ;
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=0.15,colLogo,thick]
      % AG = 14\sqrt{3}
      % AJ /2= 7\sqrt{3}
      % BI = (29.7\sqrt{3} - 42)
      % ED' = 0.75AG
      \def\AG{24.24871} \def\BI{9.441909}
      \coordinate (a) at ( 0  , 0  ) ; \node[below] at (a) {$A$} ;
      \coordinate (b) at (29.7, 0  ) ; \node[below] at (b) {$B$} ;
      \coordinate (c) at (29.7,21  ) ; \node[above] at (c) {$C$} ;
      \coordinate (d) at ( 0  ,21  ) ; % \node[above] at (d) {$D$} ;
      \coordinate (e) at ( 0  ,10.5) ; % \node[left] at (e) {$E$} ;
      \coordinate (f) at (29.5,10.5) ; \node[above right] at (f) {$F$} ;
      % \coordinate (j) at (\AG,0) ;
      % \node[below] at (j) {$J$} ;
      % \coordinate (i) at (29.7,\BI) ;
      % \node[below right] at (i) {$I$} ;
      \coordinate (g) at (\AG/2,21) ; \node[above] at (g) {$G$} ;
      \coordinate (d1) at (0.75*\AG,21/2) ; \node[above right] at (d1){$D'$} ;
      \node[below right] at (d1) {$D$} ;
      \draw (a) --(g) -- (c) -- (b) --cycle ;
      \draw (a) --(g) --(d1) --cycle ;
      \draw[dotted] (d1) -- (f) ;
    \end{tikzpicture}
    \hfill~

    ~\hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=0.15,colLogo,thick]
      % AG = 14\sqrt{3}
      % AJ /2= 7\sqrt{3}
      % BI = (29.7\sqrt{3} - 42)
      % ED' = 0.75AG
      % GC = 29.7 -4\sqrt{7}
      \def\AG{24.24871} \def\BI{9.441909} \def\GC{17.57564}
      \coordinate (a) at (0,0) ; \node[below] at (a) {$A$} ;
      \coordinate (b) at (29.7,0) ;
      % \node[below] at (b) {$B$} ;
      \coordinate (c) at (29.7,21) ;
      % \node[above] at (c) {$C$} ;
      % \coordinate (d) at (0,21) ;
      % \node[above] at (d) {$D$} ;
      \coordinate (e) at (0,10.5) ;
      % \node[left] at (e) {$E$} ;
      \coordinate (f) at (29.5,10.5) ;
      %\node[above right] at (f) {$F$} ;
      \coordinate (j) at (\AG,0) ; \node[below] at (j) {$J$} ;
      \coordinate (i1) at (3*\AG-2*29.7,0) ; \node[below] at (i1)
      {$I$} ; \coordinate (g) at (\AG/2,21) ; \node[above] at (g)
      {$G$} ; \coordinate (d1) at (0.75*\AG,21/2) ;
      % \node[above right] at (d1) {$D'$} ;
      % \node[below right] at (d1) {$D$} ;
      \draw[dotted] (a) --(d1) --++(-120:11.51347) node[above] {$F$} ;
      \draw (a) --(g) -- (j) --cycle ;
      \filldraw[colLogo,fill opacity=0.25] (g) --++(-120:\GC) --++(-30:21) -- (j) ;
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=0.15,colLogo,thick]
      % AG = 14\sqrt{3}
      % AJ/2= AG/2 = 7\sqrt{3}
      % BI = (29.7\sqrt{3} - 42)
      % ED' = 0.75AG
      % GC = 29.7 -7\sqrt{3}
      % IB' = 29.7 \sqrt{3} -42
      \def\AG{24.24871}
      \def\BI{9.441909}
      \def\GC{17.57564}
      \coordinate (a) at (0,0) ; \node[below] at (a) {$A$} ;
      \coordinate (b) at (29.7,0) ;
      % \node[below] at (b) {$B$} ;
      \coordinate (c) at (29.7,21) ;
      % \node[above] at (c) {$C$} ;
      % \coordinate (d) at (0,21) ;
      % \node[above] at (d) {$D$} ;
      \coordinate (e) at (0,10.5) ;
      % \node[left] at (e) {$E$} ;
      \coordinate (f) at (29.5,10.5) ;
      % \node[above right] at (f) {$F$} ;
      \coordinate (j) at (\AG,0) ; \node[below] at (j) {$J$} ;
      \coordinate (i1) at (3*\AG-2*29.7,0) ;
      %\node[below] at (i1) {$I$} ;
      \coordinate (g) at (\AG/2,21) ; \node[above] at (g)
      {$G$} ; \coordinate (d1) at (0.75*\AG,21/2) ;
      % \node[above right] at (d1) {$D'$} ;
      % \node[below right] at (d1) {$D$} ;
      \draw[dotted] (a) --(d1) --++(-120:11.51347) node[above] {$F$};
      \draw (a) --(g) -- (j) --cycle ;
      \filldraw[colLogo,fill opacity=0.25] (g) --++(-120:\GC)
      node[left,fill opacity=1] {$C'$} -- (i1)  -- (j) --cycle ;
      \draw[dotted] (i1) --++(30:9.441909) node [right] {$B'$} ;
    \end{tikzpicture}
    \hfill~
  \end{center}
  
  \caption{toto} 
  \label{fig_CaRo19C_02}
\end{figure}


\begin{figure}[!p]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=0.25,colLogo,thick]
    % AG = 14\sqrt{3}
    % AJ /2= 7\sqrt{3}
    % BI = (29.7\sqrt{3} - 42)
    \def\AG{24.24871} \def\BI{9.441909} \coordinate (a) at (0,0) ;
    \node[below] at (a) {$A$} ; \coordinate (b) at (29.7,0) ;
    \node[below] at (b) {$B$} ; \coordinate (c) at (29.7,21) ;
    \node[above] at (c) {$C$} ; \coordinate (d) at (0,21) ;
    \node[above] at (d) {$D$} ; \coordinate (e) at (0,10.5) ;
    \node[left] at (e) {$E$} ; \coordinate (f) at (29.5,10.5) ;
    \node[above right] at (f) {$F$} ; \coordinate (g) at (\AG/2,21) ;
    \node[above] at (g) {$G$} ; \coordinate (j) at (\AG,0) ;
    \node[below] at (j) {$J$} ; \coordinate (i) at (29.7,\BI) ;
    \node[below right] at (i) {$I$} ;
    \draw (a) rectangle (c) ; \draw
    [dotted] (e) --(f) ; \draw [dotted] (a) --(g) -- (j) -- (i) ;
  \end{tikzpicture}
  \caption{}
  \label{fig_CaRo19C_03}
\end{figure}

Le rectangle de la figure \ref{fig_CaRo19C_03} correspond à la feuille
A4 dépliée après avoir réalisé le triangle. On souhaite déterminer la
nature du triangle ainsi construit
\begin{enumerate}
\item Montrer que la mesure de l’angle $\widehat{GAJ} $ est égale à $\ang{60}$.
\item Montrer que l’on rabat le point $C$ sur le segment $[AG]$.
\item Montrer que l’on rabat le point B sur le segment $[JG]$.

  Conclure 
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
  \Partie{Création d'un cornet par pliages}

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \def\alpha{-135}% angle de rotation de la figure
      \def\a{8.698485}% a = \frac{21}{1+\sqrt{2}} = 21(\sqrt{2}-1) = AD
      \def\b{12.30152}% b = 21(2-\sqrt{2}) = CD
      \def\c{9.415172}% c = b \frac{\sin(45)}{\sin(67.5)} = ED
      \def\d{5.095}% d = 21*(3*\sqrt(2)-4) = FG
      \def\beta{22.5}% 
      \begin{scope}[xshift=3.5cm,rotate=\alpha,scale=0.25,thick,colLogo]
        \draw (0,0) node[above] (A) {$A$} --
        (0,\a) node[above right] (E) {$E$} --++(\beta:\c) --
        (21,0) node[below] (C) {$C$} -- cycle ;
        \draw (0,0) -- (0,21) node [below] {$B$} -- (21,0) ;
        \draw (0,\a)  -- (\a,0) node[left] (D) {$D$}  ;
        \draw (0,\a) --++(\beta:\c) node[below] (F) {F} --(\a,0) ;
      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_CaRo19C_01C}
  \end{figure}

    $B$ est envoyé sur $D$, on en déduit que $ BE = ED$. Notons $b$
    cette longueur. Notons $a = AD$. On a $a + b = 21$. De plus le
    triangle $CBE$ est rectangle isocèle, car les droites $(DE)$ et
    $(CB)$ sont parallèles.

    Dans le triangle, on a donc $ b = a\sqrt{2}$. On en déduit que
    $a (1 + \sqrt{2}) = 21$, donc
    :
    \[
       a = \frac{21}{1+\sqrt{2}} =
    \frac{21(1-\sqrt{21})}{(1-\sqrt{21}(1+\sqrt{21})} = 21(\sqrt{2}-1)
    \approx \SI{8.698}{\centi\m}.
    \]

    \Partie{Un triangle particulier}

    \begin{enumerate}
    \item L'angle $\widehat{AGJ} = \ang{60}$.

      On a $ AD' = AD = \SI{21}{\centi\m}$, et $AE = D'H$, ($H$
      projeté orthogonal sur la droite $(AB)$. On a donc $
      \sin(\widehat{D'AH} = \frac{1}{2}$, soit $D'AH = \ang{30}$.

      Par symétrie, les angles $\widehat{GAD}$ et $\widehat{D'AG}$
      sont égaux. On a donc $\widehat{D'AG} =  \frac{90-30}{2} =
      \ang{30}$. on en déduit que $ \widehat{AGJ} = \ang{60}$. 
    \item La droite $(AG)$ est axe de symétrie du quadrialtère
      $ADGD'$. Comme $\widehat{DGA} = \ang{60}$, on a $\widehat{AGD'}
      = \ang{60}$. Donc $\widehat{JGC} =  \ang{60}$.

      La droite $(CJ)$ est donc axe de symétrie de l'angle
      $\widehat{AGC}$ et donc $C$ est rabatu sur la droite $(GA)$. 
    \item Des questions précédentes ont déduit que le triangle $AGJ$
      est équilatéral.

      Comme $(GJ)$ est axe de symétrie, on en déduit que
      $\widehat{GJI} = \ang{60}$, puis que $\widehat{IJB} =
      \ang{60}$. Donc que $B$ est envoyé sur la droite $GJ$.

      On en déduit que le polygone obtenu par pliage bien un triangle équilatéral.
    \end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "olympiades"
%%% End:
