\begin{CORRIGE}{1}
      \begin{enumerate}
      \item
        \begin{itemize}
        \item Pour le point $P$. L'aiguille est perpendiculaire aux
          rainures. La distance à la rainure la plus proche est de
          $0,4$, donc l'aiguille coupe la rainure. $C$ est réalisé.
        \item Pour le point $Q$. La hauteur de l'aiguille au dessus
          d'une parrallèle est $\frac{1}{2}\sin
          \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} <
          0,5$. Donc, l'événement $C$ n'est pas réalisé.
        \item De la même manière, pour $R$ l'événement $C$ est
          réalisé.
        \item De la même manière, pour $S$ l'événement $C$ n'est pas
          réalisé.
        \end{itemize}
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Le triangle $IAH$ est rectangle en $H$, on a donc :
          $\sin(x) =  \frac{AH}{IA}$, donc $AH =
          \frac{1}{2}\sin(x)$.
        \item L'événement $C$ est donc réalisé, si $y < AH$, donc si $
          y < \frac{1}{2}\sin(x)$.
        \end{enumerate}
      \item Sur la figure 1, il y a $10$ épingles à cheval sur une
        rainure. Seul le graphique 1, correspond.
      \item $f$ correspond à la fréquence des points, obtenus
        aléatoirement, en dessous de la courbe d'équation $y =
        \frac{1}{2}\sin(x)$.
      \item Aire du triangle $OBE = \frac{\pi \times \frac{1}{2}}{2}
        = \frac{\pi}{4}$.

        Aire de la parabole $ \frac{4}{3} \times \frac{\pi}{4} =
        \frac{\pi}{3}$.

        Donc $ \frac{1}{4} < P(C) <  \frac{1}{3}$.
      \end{enumerate}
    
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{2}
      \def\carreV#1{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[fill=colLogoTeinte,line width=0pt,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
        \end{tikzpicture}
      }
      \def\carreVII#1#2{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[line width=0pt,
          fill=colLogoTeinte,
          ultra thick,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
          \fill[colLogoFort] (#2) rectangle ++(1,1) ;
        \end{tikzpicture}
      }
      \def\carreVIIIa#1#2{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[line width=0pt,
          fill=colLogoTeinte,
          ultra thick,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
          \fill[colLogoFort] (0,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (1,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
        \end{tikzpicture}
      }

      \def\carreVIIIb#1#2{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[line width=0pt,
          fill=colLogoTeinte,
          ultra thick,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
          \fill[colLogoFort] (0,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (1,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
        \end{tikzpicture}
      }

      \def\carreVIIIc#1#2{
        \begin{tikzpicture}[scale=0.40]
          \draw[colLogo] (0,0) grid (5,5) ;
          \fill[line width=0pt,
          fill=colLogoTeinte,
          ultra thick,
          fill opacity=0.25] (#1) rectangle ++(3,3) ;
          \fill[colLogoFort] (0,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (1,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (0,2) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (2,1) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
          \fill[colLogoFort] (2,4) rectangle ++(1,1) ;


        \end{tikzpicture}
      }

      \def\carreIX{\tikz[scale=0.35] \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;}
      \Partie{Un cas particulier}
      \begin{enumerate}
      \item Il y a $9$ possibilités.
        \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreV{\x,\y}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center}
      \item En mettant la case noire dans la case centrale, chaque
        carré $C'$ contient cette case.
        \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreVII{\x,\y}{2,2}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center}
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Deux cases.
          \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreVIIIa{\x,\y}{1,2}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center}
      \item Trois cases.
        \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreVIIIb{\x,\y}{1,2}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center}
      \item Quatre cases
        \begin{center}
          \foreach \x in {0,1,2}
          {
            ~\hfill
            \foreach \y in {0,1,2}
            {
              \carreVIIIc{\x,\y}{1,2}\hfill
            }
            \vspace*{1ex}\hfill\\
          }
        \end{center}

        \end{enumerate}
      \item Il suffit d'inverser la couleur des cases dans $C'$.
      \item Pour tout tout nombre $p$ compris entre $0$ et $9$, on
        peut colorier $p$ cases en noirs de manière que tout carré
        $C'$ contienne $p$ cases noires. Les questions 2 et 3,
        permettent de conclure pour $p$ valant $1$, $2$, $3$ et
        $4$. La question précédente permet de répondre pour $p$ valant
        $8$, $7$, $6$ et $5$. Le cas $p = 0$ est évident, on en déduit
        le cas $p=9$.
      \end{enumerate}

      \Partie{Généralisation}

      \begin{enumerate}
      \item Il n'y a que $9$ possibilités. En effet, horizontalement,
        on ne peut mettre $C'$ que dans $3$ position, et $3$
        horizontalement.
      \item Le carré central, de côté $2k-3$ est contenu dans tous
        carrés $C'$.
        \begin{figure}[!p]
          \centering
          \begin{tikzpicture}
            \draw[colLogoFort] (0,0) grid (9,9) ;
            \fill[fill=colLogoTeinte,fill opacity=0.5] (2,2) rectangle
            (7,7) ;
            \draw[<->,>=stealth] (0,9.5) to node[fill=white,rectangle]
            {$2k+1$} (9,9.5) ;
            \draw[<->,>=stealth] (1,7.5) to node[fill=white,rectangle]
            {$2k-1$} (8,7.5) ;
            \draw[<->,>=stealth] (2,1.5) to node[fill=white,rectangle] {$2k-3$} (7,1.5) ;
          \end{tikzpicture}
          \caption{ }
          \label{fig_CaRo19_01C}
        \end{figure}
      \item Si $p$ cases sont noires, alors, $(2p+1)^2-p$ cases seront
        blanches. On inverse la couleur des cases.
      \item $k = 2$, alors $2k+1 = 5$ et $2k-1 = 3$. Cette situtation
        correspond à la première partie.

        Pour $k = 3$, $2k+1 = 7$, $2k-1 = 5$. La question 2, permet de
        résoudre les cas pour $ p $ compris entre $0$ et $9$, et la
        question 3, permet de résoudre les cas de $16$ et $25$.

        Reste donc à résoudre les cas entre $10$ et $15$. Il faut donc
        résoudre les cas $10$, $11$ et $12$, voir la figure
        \ref{fig_CaRo19_02C} ; les $3$ autres cas se
        faisant par complémentarité.

        \begin{figure}[!p]
          \centering
          \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
            \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;
            \fill[fill=colLogoTeinte,fill opacity=0.5] (0,0) rectangle
            (5,5) ;
            \fill[colLogoFort] (3,0) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,1) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,5) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,6) rectangle ++(1,1) ;
            \node at (4,-1) {$10$ carrés} ;
          \end{tikzpicture}
          \hfill
          \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
            \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;
            \fill[fill=colLogoTeinte,fill opacity=0.5] (0,0) rectangle
            (5,5) ;
            \fill[colLogoFort] (0,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (1,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (5,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (6,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,0) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,1) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,5) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,6) rectangle ++(1,1) ;
            \node at (4,-1) {$11$ carrés} ;
          \end{tikzpicture}
          \hfill
          \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
            \draw[colLogo] (0,0) grid (7,7) ;
            \fill[fill=colLogoTeinte,fill opacity=0.5] (0,0) rectangle
            (5,5) ;
            \fill[colLogoFort] (0,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (1,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (5,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (6,3) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,0) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,1) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,2) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,5) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (3,6) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (2,4) rectangle ++(1,1) ;
            \fill[colLogoFort] (4,2) rectangle ++(1,1) ;
            \node at (4,-1) {$12$ carrés} ;
          \end{tikzpicture}
          \caption{ }
          \label{fig_CaRo19_02C}
        \end{figure}
      \item Montrons que $(2k-1)^2 -(2k-3)^2 \leq (2k-3)^2$.
        On développe $(2k-3)^2 +(2k-3)^2- (2k-1)^2 = 4k^2 - 12k +9 +
        4k ^2 - 12k + 9 - 4k^2 + 4k -1 = 4k^2 -20 k + 17$.

        On étudie le signe de cette fonction du 2\ieme degré. Son
        discriminant est : $128 > 0$, elle a donc deux solutions $k_1
        =  \frac{-20 - \sqrt{128}}{8} \approx 1$ et $k_1
        =  \frac{-20 + \sqrt{128}}{8} > 3$. On en déduit que :
        $ (2k-3)^2 +(2k-3)^2- (2k-1)^2  > 0$, pour $k \geq 4$ et donc que $(2k-1)^2
        -(2k-3)^2 \leq (2k-3)^2$, pour $k \geq 4$.
      \item Pour $ k = 2$ ou $k = 3$, on peut placer $p$ points dans
        $C$ de telle façon que tout sous caaré $C'$ contiennent
        exactement $p$ cases noires.


        Pour $k \geq 4$, les questions 2. et  3. perment de répondre pour $p
        \leq (2k-3)^2$.

        La question 5. permet de répondre pour $p = 2k -1$ ?????
      \end{enumerate}
    
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{3}
  \Partie{Création d'un cornet par pliages}

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \def\alpha{-135}% angle de rotation de la figure
      \def\a{8.698485}% a = \frac{21}{1+\sqrt{2}} = 21(\sqrt{2}-1) = AD
      \def\b{12.30152}% b = 21(2-\sqrt{2}) = CD
      \def\c{9.415172}% c = b \frac{\sin(45)}{\sin(67.5)} = ED
      \def\d{5.095}% d = 21*(3*\sqrt(2)-4) = FG
      \def\beta{22.5}%
      \begin{scope}[xshift=3.5cm,rotate=\alpha,scale=0.25,thick,colLogo]
        \draw (0,0) node[above] (A) {$A$} --
        (0,\a) node[above right] (E) {$E$} --++(\beta:\c) --
        (21,0) node[below] (C) {$C$} -- cycle ;
        \draw (0,0) -- (0,21) node [below] {$B$} -- (21,0) ;
        \draw (0,\a)  -- (\a,0) node[left] (D) {$D$}  ;
        \draw (0,\a) --++(\beta:\c) node[below] (F) {F} --(\a,0) ;
      \end{scope}
    \end{tikzpicture}
    \caption{ }
    \label{fig_CaRo19C_01C}
  \end{figure}

    $B$ est envoyé sur $D$, on en déduit que $ BE = ED$. Notons $b$
    cette longueur. Notons $a = AD$. On a $a + b = 21$. De plus le
    triangle $CBE$ est rectangle isocèle, car les droites $(DE)$ et
    $(CB)$ sont parallèles.

    Dans le triangle, on a donc $ b = a\sqrt{2}$. On en déduit que
    $a (1 + \sqrt{2}) = 21$, donc
    :
    \[
       a = \frac{21}{1+\sqrt{2}} =
    \frac{21(1-\sqrt{21})}{(1-\sqrt{21}(1+\sqrt{21})} = 21(\sqrt{2}-1)
    \approx \SI{8.698}{\centi\m}.
    \]

    \Partie{Un triangle particulier}

    \begin{enumerate}
    \item L'angle $\widehat{AGJ} = \ang{60}$.

      On a $ AD' = AD = \SI{21}{\centi\m}$, et $AE = D'H$, ($H$
      projeté orthogonal sur la droite $(AB)$. On a donc $
      \sin(\widehat{D'AH} = \frac{1}{2}$, soit $D'AH = \ang{30}$.

      Par symétrie, les angles $\widehat{GAD}$ et $\widehat{D'AG}$
      sont égaux. On a donc $\widehat{D'AG} =  \frac{90-30}{2} =
      \ang{30}$. on en déduit que $ \widehat{AGJ} = \ang{60}$.
    \item La droite $(AG)$ est axe de symétrie du quadrialtère
      $ADGD'$. Comme $\widehat{DGA} = \ang{60}$, on a $\widehat{AGD'}
      = \ang{60}$. Donc $\widehat{JGC} =  \ang{60}$.

      La droite $(CJ)$ est donc axe de symétrie de l'angle
      $\widehat{AGC}$ et donc $C$ est rabatu sur la droite $(GA)$.
    \item Des questions précédentes ont déduit que le triangle $AGJ$
      est équilatéral.

      Comme $(GJ)$ est axe de symétrie, on en déduit que
      $\widehat{GJI} = \ang{60}$, puis que $\widehat{IJB} =
      \ang{60}$. Donc que $B$ est envoyé sur la droite $GJ$.

      On en déduit que le polygone obtenu par pliage bien un triangle équilatéral.
    \end{enumerate}
\end{CORRIGE}
