\begin{CORRIGE}{1}
      \Partie{Recherche d'une disposition efficace}

      \begin{enumerate}
      \item
        \begin{enumerate}
        \item On considère $ABC$ un triangle équilatéral de côté $2$, $H$ le pied
          de la hauteur issue de $A$. $ABH$ est un triangle rectangle,
          on a alors d'après Pythagore que : $BH^2 + AH^2 =
          AB^2$. Soit $h^2  = 4 - 1 = 3$, d'où $h = \sqrt{3}$.
        \item Sur la longueur $L$, il y a $n-1$ triangles équilatéraux
          de côtés $2$ et deux rayons, soit $ 2 + (n-1)\sqrt{3}$.
        \end{enumerate}

      \item
        \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.25]
          \path [use as bounding box] (0,-2) rectangle (28,13) ;
          \fill[colLogoTeinte!25,line width=0] (0,0) rectangle (26,12);
          \draw[colLogoFort,line width=0.5pt] (-1pt,-1pt) rectangle
          (26cm+1pt,12cm+1pt) ;
          \foreach \y in {11,9,...,1}
          {
            \foreach \x in {1,3,...,25}
            {
              \fill[fill=colLogo!75,draw=colLogo] (\x,\y) circle (1) ;
            }
          }
          \node[below] at (13,-2) {Disposition 1 en carré} ;
        \end{tikzpicture}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.25,line width=0.8pt]
          \path [use as bounding box] (0,-2) rectangle (28,14) ;
          \fill[colLogoTeinte!25,line width=0] (0,0) rectangle (26,12);
          \draw[colLogoFort,line width=0.5pt] (-1pt,-1pt) rectangle
          (26cm+1pt,12cm+1pt) ;
          \foreach \x in {1,4.464,...,25}
          {
          \foreach \y in {11,9,...,1}
          {
            \fill[fill=colLogo!75,draw=colLogo] (\x,\y) circle (1) ;
          }
          \begin{scope}[shift={(1.732,-1)}]
            \foreach \y in {11,9,...,3}
            {
              \fill[fill=colLogo!75,draw=colLogo] (\x,\y) circle (1) ;
            }
          \end{scope}
          }
                    \draw[colLogoTeinte!25] (1,11) --++(0,-2) --++(30:2) --cycle ;
          \node[below] at (13,-1) {Disposition 2 en triangles colonnes} ;
        \end{tikzpicture}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.25,line width=0.8pt]
          \path [use as bounding box] (0,-2) rectangle (28,14) ;
          \fill[colLogoTeinte!25,line width=0] (0,0) rectangle (26,12) ;
          \draw[colLogoFort,line width=0.5pt]
          (-1pt,-1pt) rectangle (26cm+1pt,12cm+1pt) ;
          \foreach \y in {11,7.5359,...,1}
          {
          \foreach \x in {1,3,...,25}
          {
            \fill[fill=colLogo!75,draw=colLogo] (\x,\y) circle (1) ;
          }
          \begin{scope}[shift={(1,-1.732)}]
            \foreach \x in {1,3,...,24} {
              \fill[fill=colLogo!75,draw=colLogo] (\x,\y) circle (1) ;
            }
          \end{scope}
          }
          \draw[colLogoTeinte!25]
          (1,11) --++(2,0) --++(-120:2) --cycle ;
          \node[below] at (13,-1) {Disposition 3 en  triangles lignes} ;
        \end{tikzpicture}
        \caption{}
        \label{fig_CleLy19_02C}
      \end{figure}

        \begin{itemize}
        \item Pour la disposition en carré. Il y a $13$ disques sur
          une largeur et $6$ sur la hauteur, soit $13 \times 6 = 78$.
        \item En largeur, $n$ doit vérifier : $2 + (n-1)\sqrt{3} =
          26$, soit $n = 8 \sqrt{3}+1 $ soit $14$ cercles.

          Verticalement, il y a $6$ disques, une colonne sur $2$
          comptant $5$ disques. Soit au total $7 (6+5) = 77$ disques.
        \item Horizontalement, il y $13$ disques sur la première ligne
          et $12$ sur la deuxième ligne. Verticalement,
          $2(n-1)\sqrt{3} = 12$, soit $n = \frac{10 \sqrt{3}+3}{3} =
          6$ disques. Au total, on a $3(13+12) = 75$.
        \end{itemize}
        La première configuration est plus remplie que les deux autres.
      \end{enumerate}

      \Partie{Proportion d'aire occupée par les disques}
      \begin{enumerate}
      \item
        \begin{itemize}
        \item Pour la configuration 1, $P =  \frac{\pi }{4} =
          \frac{\pi}{4} \approx 0,7854$.
        \item Pour les dispositions 2 et 3. On note $c$ le côté de
          l'héxagone, il vérifie, $c^2  =  1 + \frac{c^2}{2}$, soit $c
          = \frac{2}{\sqrt{3}}$. Donc, l'aire d'un hexagone est donc $
          6 \times \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} = 2
          \sqrt{3}$.

          $P' = \frac{\pi }{2 \sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}
          \approx 0,9069 $.
        \end{itemize}
      \item Quand $n$ est grand on approche le rapport entre l'aire
        $a$ occupée et l'aire $A$ du casier est proche de $P$. Soit
        $P \approx \frac{a}{A}$. Comme les disques ont une aire de $\pi$, on
        en déduit que $a = n\pi$ et donc que $P \approx \frac{n\pi}{A}$ soit
        $n \approx \frac{PA}{\pi} $
        \begin{itemize}
        \item Pour la dispositon $1$, cela donne $n \approx
          \frac{A}{4} $.
        \item Pour les dispositions $2$ et $3$ cela donne $ n \approx
          \frac{A \sqrt{3}}{6}$.
        \end{itemize}
      \end{enumerate}

      \Partie{Une disposition plus efficace}

      On décale un bloc de $3$ triangles Verticalement. On note $z$,
      ce décalage, et $y$ la distance horizontale entre deux centres,
      qui sont séparés de $2$ (voir la figure \ref{fig_CleLy19_03C}).

      Verticalement, on a alors : $1 + z + \sqrt{3} + 1 = 4$, soit $z
      = 2 - \sqrt{3}$.

      Alors $y^2+z^2 = 4$, ce qui donne $y =  \sqrt{4 - z^2} =
      \sqrt{4\sqrt{3}-3}$.

      En retirant le premier disque (plein  sur la
      figure) et $7$ disques qui occupe une largeur de $2y$. Ce bloc
      ce répète, $ (2+2y)r = 442$, soit $r = \frac{442}{2+2y} \approx
      74$.

      Il y a donc $1$ disque (plein), $5$ disques complets dans un
      motif, et deux demi-disques, soit $1+74 \times 5 + 74 = 455$
      disques.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \def\troiscercles{%
          \draw (1,1) circle (1) ; \fill (1,1) circle (1pt) ; \draw
          (3,1) circle (1) ; \fill (3,1) circle (1pt) ; \draw
          (2,2.732) circle (1) ; \fill (2,2.732) circle (1pt) ; }
        \def\y{2.98197} \def\z{0.2672} \def\x{7.963939}
        \begin{tikzpicture}
          \draw[colLogoFort,line width=1pt] (-0.5pt,0) --++(0,4)
          --++(\x,0) --++ (0,-4) ;
          \begin{scope}[draw=colLogoFort]
            \troiscercles \fill[colLogo] (1,1) circle (1) ;
          \end{scope}
          \begin{scope}[draw=colLogoTeinte,shift={(\y,\z)}, rotate
            around={180:(2,1.866)}]
            \troiscercles \draw[colLogo,line width = 1pt](1,1) --
            (3,1) -- (2,2.732) --cycle ; \coordinate (a) at (2,2.732)
            {} ;
          \end{scope}
          \fill[colLogoTeinte,text=black] (3,1) -- (a)
          node[midway,above] {$2$} --++(0,-\z) node[midway,right]
          {$z$} -- cycle node [midway,below] {$y$} ;
          \begin{scope}[draw=red,shift={(2*\y,0)}]
            \troiscercles
          \end{scope}
        \end{tikzpicture}

        \caption{ }
        \label{fig_CleLy19_03C}
      \end{figure}
    
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{2}
  \Partie{Longueur minimale d'une suite $k$-complète}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Il n'y a qu'une suite $1$-complète, elle est de longueur
      $10$ : $\lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace$.
    \item La suite $1$-complète minimale est la seule suite
      $1$-complète précédente.
    \end{enumerate}
  \item Les suites minimales $k$-complètes sont de longueur $1$, avec
    des nombres de $k$ chiffres comportant tous les chiffres. Par
    exemple $\lbrace 1234567890\ldots0 \rbrace$, avec $k-9$ zéro.
  \item Une suite $9$-complète comporte forcément au moins deux
    nombres. La suite $\lbrace \num{123456789}, \num{123456790} \rbrace$
  \item
    \begin{enumerate}
    \item La suite $\lbrace 234, 235, 236, 237, 238, 238, 240 \rbrace
      $ est une suite $3$-complète de longueur $7$.
    \item Avec $6$ nombres consécutifs, on ne peut pas couvrir une
      dizaine. On est au maximum sur deux dizaines consécutives.

      Avec tous le même chiffre des centaines, il y a alors
      $9 = 6 + 2 + 1$ chiffres différents.

      Si le chiffre des centaines est différent, alors un des nombres
      doit comporter deux fois le chiffre $9$ et le suivant se termine par
      $00$. Donc, on a $8$ chiffres qui apparaissent : $6 + 2$.
    \end{enumerate}
  \item Suite $8$-complète $\lbrace \num{12345679}, \num{12345680}\rbrace$, on ne
    peut pas faire mieux. Un seul nombre de $8$ chiffres ne pouvant
    contenir tous les chiffres. Toute permutation de $\num{123456}$
    permettant de faire une autre suite. Par contre les deux derniers
    chiffres sont obligatoires, car il faut être sur un changement de
    dizaine, on ne peut pas prendre un des six premiers chiffres, un
    doublement de chiffres n'étant pas rentable. Ces quatres chiffres
    étant tous distincts.

    Suite $7$-complète $\lbrace \num{2345679}, \num{2345680}, \num{23456781}\rbrace$
    Le changement de dizaine est optimal, la partie $\num{23456}$ l'est
    aussi, sinon, on double un chiffre ce qui conduit à rajouter un
    nombre.

    Suite $6$-complète $\lbrace \num{345679}, \num{345680}, \num{345681}, \num{345682}\rbrace$

    Suite $5$-complète $\lbrace \num{45679}, \num{45680}, \num{45681}, \num{45682}, \num{45683}\rbrace$

    Suite $4$-complète $\lbrace \num{5679}, \num{5680}, \num{5681}, \num{5682}, \num{5683}, \num{5684}\rbrace$

    Suite $4$-complète $\lbrace 679, 680, 681, 682, 683, 684, 685\rbrace$

    La suite $2$-complète $\lbrace 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86
    $ est minimale.

    on démontre, de même que les suites précédentes sont minimum. Il
    faut un changement de dizaine, et le changer à $80$ est optimum
    car il n'y a pas de nombre avec un deux chiffres identiques.
  \end{enumerate}

\Partie{Dénombrement des suites $k$-complètes minimales}

\begin{enumerate}
\item Pour le chiffre le plus à gauche, il y a $9$ possibilités, tous
  les chiffres non nuls ; pour le deuxième chiffre, il y a encore $9$,
  tous les chiffres non nuls, plus le zéros. Ensuite, on enlève, cela
  décroît.

  \FPeval\tempa{clip(9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2)}
  Donc, le nombre de suite $10$-complète est donc $ 9 \times 9! =
  \num{\tempa}$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Sans changement de dizaine, une suite $4$-complète minimale,
    n'apporte que $6$ chiffres distincts pour les unités, plus le
    chiffre des dizaines, soit $7$ chiffres. Les dizaines et milliers
    étant constantes, elles n'apportent que deux chiffres, soit $9$
    chiffres. Pour qu'elle soit minimale, une suite de $4$-complète
    doit changer de dizaine. Le chiffre des unités peut donc prendre
    les valeurs $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.
  \item Soit $u$ un chiffre compris entre $5$ et $9$. Les six nombres
    de la suite $4$-complète minimale, apporte $6$ chiffres
    distincts, entre $u$ et $u+6$.
    \begin{description}
    \item[$5$] : $6$, $7$, $8$, $9$, $0$ ; $d$ doit être $1$, $2$,
      $3$, $4$. Mais $4$ est exclu, car alors, on retrouve $5$ au
      changement de valeur, ce qui n'apporte pas de valeurs nouvelles
    \item[$6$] : $7$, $8$, $9$, $0$, $1$ ; $d$ doit être $2$,
      $3$, $4$, $5$, sauf $5$
    \item[$7$] : $8$, $9$, $0$, $1$, $2$ ; $d$ doit être $3$, $4$,
      $5$, $6$ sauf $6$.
    \item[$8$] : $9$, $0$, $1$, $2$, $3$ ; $d$ doit être $4$,
      $5$, $6$, $7$. sauf $7$.
    \item[$9$] : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ ; $d$ doit être $5$, $6$,
      $7$, $8$., sauf $8$.
    \end{description}
    Au final, si on choisit $u$, le chiffre des unités est $u-4$, ou
    $u-3$ ou $u-2$
  \item Il reste à choisir les deux premiers chiffres, parmi les
    chiffres qui reste, qui ne sont que deux. Donc, un seul choix et
    deux possibilités par permutation.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{3}
    \newcommand\Sn[1]{%
\xdef\Diff{1}
\xdef\Deb{1}
\def\depart{#1}
\FPeval\depart{\depart-1}
\FPeval\suivant{\depart-1}
\foreach \x in {\depart,\suivant,...,1}
{
  \xdef\nb{\Deb}
  \foreach \y in {0,1,...,\x}
  {
    \FPeval\tempc{clip(\Deb+\y*\Diff)}
    \xdef\nb{\tempc}
    \nb,
    \ifnum\y=0
    \xdef\nba{\nb}
    \fi
    \ifnum\y=1
    \FPeval\tempb{clip(\nba+\nb)}
    \xdef\nbb{\tempb}
    \fi
  }
  \FPeval\tempb{clip(\Deb+\Deb*\Diff)}
  \xdef\Deb{\nbb}
  \FPeval\tempa{clip(\Diff*2)}
  \xdef\Diff{\tempa}
  \par
}
\Deb}

    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $S_2 =3$, $S_3 = 8$ et $S_4=20$.
      \item On obtient :
        \begin{multicols}{2}
          \Sn{5}

          \columnbreak
          \Sn{6}
        \end{multicols}
        $S_5 = 48$ et $S_6=112$
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item On considère trois nombres consécutifs sur la première
        ligne : $p-1$, $p$ et $p+1$. Alors les deux nombres sur la
        deuxième ligne sont $2p-1$ et $2p+1$ dont la différence est
        $2$.
      \item Trois nombres consécutifs sur la deuxième ligne, $2k-1$,
        $2k+1$ et $2k+3$. Les nombres sur la troisième ligne sont :
        $4k$ et $4k+4$. La différence est donc de $4$.
      \item Sur la 4\ieme{} ligne, la différence sera de $8 = 2^3$ ;
        sur la 5\ieme{} ligne, la différence sera de $16 = 2^4$ ; sur
        la $p$\ieme{}, la différence sera de $2^{p-1}$.
      \item La première possède $n$ nombres, la 2\ieme{} possède
        $n-1$, la 3\ieme{} $n-2$ ; la $p$\ieme{} possède $n-p + 1$.
      \item Sur la $p$\ieme{} ligne commence par $S_n$, le 2\ieme{}
        est augmenté de $2^{p-1}$, le 3\ieme{} de $2 \times 2^{p-1}$,
        le dernier sera augmenté de $(n-p)\times 2^{p-1}$. Il y a bien
        $n-p+1$ nombres sur cette ligne.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $S_n$ est la somme des deux nombres sur la précédente
        ligne, soit $S_{n-1}$ et $S_{n-1}+2^{p-2}$, d'après la
        question précédente.

        On a donc $S_n = 2S_n+2^{p-2}$.
      \item On obtient
        \begin{algorithm}[!h]
      Saisir une valeur pour $N$

     $S\leftarrow 0$

     \For{ $k$ allant $1$ à $N-1$}
     {
        $S\leftarrow 2*S + 2^{k-1}$
      }

      Afficher $S$
    \end{algorithm}
  \item On obtient \num{5505024}.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{align*}
        S_n &=  2S_{n-1} + 2^{n-2}  \\
            & =2^2S_{n-2} + 2^{n-2}+2^{n-2} = 2^2S_{n-2} + 2 \times
              2^{n-2} \\
            &= 2^3S_{n-3} + 3 \times 2^{n-2}\\
            & = \ldots\\
            & = 2^{n-2} S_{2} + (n-2) \times 2^{n-2}
      \end{align*}
      On en déduit que $S_n$ est divisible par $2^{n-2}$.
    \item On a donc $S_n = 2^{n-2}(3 + n-2) = 2^{n-2}(n+1)$.

      Soit $S_6 = 2^4 \times 7 = 112$ et $S_{20} = 2^{18} \times 21 =
      \num{5505024}$.
    \item On en déduit la valeur de $S_{2019} = 2^{2017} \times 2020$.
    \end{enumerate}
  
\end{CORRIGE}
