\begin{CORRIGE}{1}
  \edef\ll{165300}
  \edef\l{215e3}
  \edef\r{6370e3}
  \edef\a{218}
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Le triangle $OLM$ est rectangle en $L$, on a donc d'après le
      théorème de Pythagore :
      \[
        OM^2 = OL^2 + OM^2 \text{ soit } d^2 = (R+a)^2 - R^2 = 2Ra +
        a^2
      \]
      On en déduit que $ d = \sqrt{2Ra+a^2} \approx
      \fpeval{round(sqrt(2*\r*\a + \a*\a),0)}$ \si{\m}.
    \item Le triangle $OLM$ étant rectangle, on a $\sin(\widehat{O}) =
      \frac{R}{R+a}$, donc $\widehat{O} = \arccos
      \left(\frac{R}{R+a}\right)$.

      On en déduit que $ \wideparen{NL} = \frac{\arccos
        \left(\frac{R}{R+a}\right)\pi}{180} \times R
      \approx  \fpeval{round(acosd(\r/(\r+\a))*pi*\r/180,0)} $.

      Les deux valeurs sont proches au mètres près.
    \item $d' = \sqrt{2Ra} \approx \fpeval{round(sqrt(2*\r*\a),0)}$.
      Là aussi les deux distances sont très proches, avec $d > d'$.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}
          \tkzDefPoint(0,0){O}
          \tkzDefPoint(0,6){L}
          \tkzDefPointBy[rotation=center O angle 32](L)
          \tkzGetPoint{N}
          \tkzDefPointBy[rotation = center O angle -32](L)
          \tkzGetPoint{B}
          \tkzDefPointBy[rotation=center L angle -90](O)
          \tkzGetPoint{o}
          \tkzInterLL(o,L)(O,N)
          \tkzGetPoint{M}
          \tkzDefPointBy[homothety=center O ratio 1.25](B)
          \tkzGetPoint{P}
          \tkzDefPointBy[rotation=center O angle -10](L)
          \tkzGetPoint{K}
          \tkzDrawArc(O,B)(N)
          \tkzDefLine[mediator](M,K)
          \tkzGetPoints{o1}{o2}
          \tkzDefPointBy[homothety=center o1 ratio 1.5](o2)
          \tkzGetPoint{o3}
          \tkzDrawArc(o3,K)(M)
          \tkzDrawSegments(O,L O,M O,P L,M)
          \tkzMarkRightAngles(M,L,O)
          \tkzLabelPoints[below](O)
          \tkzLabelPoints[above](M,P,K)
          \tkzLabelPoints[right](B)
          \tkzLabelPoints[below left](N)
          \tkzLabelPoints[below right](L)
          \tkzLabelSegment[left](N,M){$a$}
          \tkzLabelSegment[right](B,P){$h$}
          \tkzLabelSegment[below](L,M){$d$}
          \tkzLabelSegment[above = 0.4cm](M,K){$e$}
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Co19_01bC}
      \end{figure}
    \end{enumerate}
  \item
    On calcul la distance $\wideparen{LB} = \SI{165300}{\m}$. Puis on
    détermine l'angle $\widehat{LOB} = \frac{180 \times
      \wideparen{LB}}{\pi R}$.

    On a alors, en notant $x$ la hauteur au dessus du niveau de la
    mer, vue depuis Monticello :
    \[
      \cos \left(\widehat{LOB}\right) = \frac{R}{R+x}
    \]
    Soit $ x = R \left(\frac{1}{\cos \left(\widehat{LOB}\right)} -1\right) \approx
    \fpeval{round(\r*(1/cosd(180*\ll/(\r*pi))-1),0)} > 2053 $.

    Et on ne devrait pas voir le Mont Prado depuis Monticello.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $e = \fpeval{round(sqrt(2*\r*\a/0.83),0)}$ \si{\m}.
    \item $e' = \sqrt{\frac{2Rx}{0.83}}$, avec $x = BS$.
    \item On a donc $e+e' = \num{215e3}$, soit $e' = \num{215e3}
      -e$.

      Donc $\sqrt{x}  = \sqrt{\frac{0,83}{2R}}\num{215e3} -
      \sqrt{a}$.

      Donc $ x  = \left(\sqrt{\frac{0,83}{2R}}\num{215e3} - \sqrt{a}\right)^2
      \approx \fpeval{round((sqrt(0.83/(2*\r))*\l -
        sqrt(\a))*(sqrt(0.83/(2*\r))*\l - sqrt(\a)),0)}$ \si{\m}.

      Il reste donc $\SI{444}{\m}$ de hauteur visible.
    \end{enumerate}

  \end{enumerate}
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $5$ contremarches entraînent $4$ marches. On a donc $\Delta x
    = 4 \times 30 = 120$. D'autre part $x+2y  = 65$, d'où $y =
    \frac{65-30}{2} = 17,5$. On en déduit que $\Delta y = 5 \times
    17,5 = 87,5$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Soit $n$ le nombre de marches, $n+1$ est alors le nombre de
      contremarches.

      $x = \frac{\Delta x}{n} = \frac{25}{n}$ et $ y = \frac{\Delta
        y}{n+1} =  \frac{40}{n+1}$, on en déduit que :
      \[
        \frac{25}{n} + \frac{80}{n+1} = 65 \text{ soit } 13n^2 - 8n  -
        5 = 0.
      \]
      Cette équation a une racine évidente $n = 1$, et on déduit la
      seconde $n = \frac{5}{13}$ non entière.

      On peut donc fabriquer un escalier idéal, avec une marche de
      longueur $x \geq 25$ et deux contremarches de hauteur $y = 20 >
      0$.
    \item L'affirmation est fausse comme le prouve la question précédente.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $x = 25$ et $y = 21$, on a alors $x+2y != 65$.
    \item $n$ doit être supérieur à $2$, donc le nombre de marche au
      moins égal à $2$. Mais alors, $x = \frac{\Delta x}{n} \leq
      12,5$. Ce qui est contraire au règle de François Blondel.
    \end{enumerate}
  \item Soit $x$ la longeur de la marche, elle doit vérifier $x + 32 =
    65$, soit $x = 33 > 27$. On peut construire un escalier idéal avec
    $x = 33$ et $y = 16$. L'angle $\alpha = \arctan
    \left(\frac{16}{33}\right) \approx \fpeval{round(atand(16/33),0)}$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Le nombre de contremarche est $n$, donc le nombre de marche
      est $n-1$. On en déduit que $ x = \frac{\Delta x}{n-1}$ et $ y =
      \frac{\Delta y}{n}$. Et $x$ et $y$ doivent  vérifier :
      \[
       x + 2y = 65 \text{ soit } \frac{\Delta x}{n-1} + 2\frac{\Delta y}{n} = 65.
      \]
    \item On a $\frac{\Delta y}{n} < \frac{\Delta y}{n-1} $, pour $n
      >1$. On en déduit que
      \[
        65 = \frac{\Delta x}{n-1} + 2\frac{\Delta y}{n} < \frac{\Delta
          x}{n-1} + 2\frac{\Delta y}{n-1},
      \text{ d'où }
        65(n-1) < \Delta x + 2\Delta y.
      \]
      D'autre part $ x + 2y = 65$ et $y \geq 25$, donc $2y =
      \frac{\Delta y}{n} \leq 40$. Mais $ y > 0$, donc $ x =
      \frac{\Delta x}{n-1} < 65$.

      On a donc $ \Delta x + 2 \Delta y \leq 65(n-1) + 40$.

      Finalement, on a :
      \[
        65(n-1) < \Delta x + 2\Delta y \leq 65(n-1) + 40.
      \]
    \item Supposons que nous ayons un escalier idéal pour un nombre
      $n$ de contremarches. Si il existe un autre escalier idéal ayant
      un nombre $m$ de contremarches.

      Si $ n < m$, alors $x_m < x_n$ et $y_m < y_n$ et donc $x_m +
      2y_m < 65$. Ce qui est contradictoire.

      Si $m < n$, on aura $ x_m + 2y_m > 65$.

      On ne peut pas avoir deux escaliers idéaux pour un $\Delta x$ et
      un $\Delta y$ fixes.
    \item On a $ x + 2y = 65$, soit en multipliant par $n-1$ :
      $x(n-1) + 2(n-1y) = 65(n-1)$. Or $ x(n-1) = \Delta x$ et $
      2(n-1)y = \Delta y - 2y$. Donc $\Delta x + \Delta y = 65(n-1) +
      2y$.

      On en déduit que $ 2 \frac{\Delta y}{n} = \Delta x + \Delta y -
      65(n-1)$. On a $ \Delta x  \geq 25(n-1)$ et $ \Delta y > 0$.

      Réciproquement, si $ 2 \frac{\Delta y}{n} = \Delta x + \Delta y -
      65(n-1)$ et $ \Delta x  \geq 25(n-1)$ et $ \Delta y > 0$.

      De $ 2 \frac{\Delta y}{n} = \Delta x + \Delta y -
      65(n-1)$ on tire que $ \frac{\Delta x}{n-1} + 2 \frac{\Delta
        y}{n} = 65$, puis $x + 2y = 65$. Les deux inégalités assurent
      que $x \geq 25$ et $y > 0$. Donc l'escalier est idéal.
    \item $n$ doit vérifier :
      \[
        2 \times \frac{289}{n} = 496 + 2 \times 289 - 65(n-1) \text{
          soit } 65n^2 - 1139n + 578 = 0.
      \]
      Le discriminant est $\Delta = \fpeval{1139*1139 - 4*65*578}$,
      dont la racine est $\fpeval{sqrt(1139*1139 - 4*65*578)}$. Il y a
      deux solutions, $n = 17$ et $ n = \frac{34}{65}$. Seul la
      première solution est envisagable.

      Donc, on peut construire un escalier parfait avec $\Delta x =
      496$ et $\Delta y =289$, on a alors $16$ marches de longueur
      $31$ et $17$ contremarches de hauteur $17$.
    \item Il faut traduire la condition $2 \frac{\Delta y}{n} =
      \Delta x + 2 \Delta y - 65(n-1)$ sous une forme exploitable.

      On commence par déterminer le seul $n$ possible : la partie
      entière de $\frac{\Delta x + 2\Delta y}{65}$. D'autre par la
      partie décimale $r$  de ce nombre doit vérifier : $0 < r \leq
      \frac{40}{65}$.

      Cela donne donc (en python) :
      \begin{tcblisting}{listing only,listing options={language=python,style=afdmpython}}
Dx = 496
Dy = 289
# Partie entière en python
n = int((Dx+2*Dy)/65)+1
r = ((Dx+2*Dy)/65) - int((Dx+2*Dy)/65)

if 0 < r and r <= 40/65 and n > 1:
    x = Dx/(n-1)
    y = Dy/n
    print("un escalier idéal est possible :")
    print("{} marches, x = {}, y ={}".format(n,x,y))
else :
    print("Pas d'escalier idéal")

      \end{tcblisting}
Ce programme fournit bien $n=17$, $x = 31$ et $y = 17$.

On pourrait aussi faire une boucle sur $n$ qui teste la condition de
la question 5f et qui pour chaque $n$ vérfie si $ x < 25$. Dans ce cas
on provoque un break. La boucle se termine toujours (soit avec un
escalier idéal, soit avec $x$ inférieur à $25$).
    \end{enumerate}

  \end{enumerate}
\end{CORRIGE}
