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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{Polynésie\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\septembre 2008 \hspace{1em}correction}} 

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

{\footnotesize
\emph{Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte.}

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\emph{ Une réponse exacte vaut $1$~point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

On donne $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle  $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$.

\medskip
}
\parbox{0.5\linewidth}{\footnotesize $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale aux points A$(-2~;~0)$ et C$(0~;~-4)$.\\

$\mathcal{D}$	est la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point B$(-1~;~ -2)$.\\

$\mathcal{D}$ passe par le point de coordonnées $(0~;~-5)$.} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-7)(2,6.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-7)(2,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-7)(2,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-7)(2,6)
\uput[ul](-2,0){A} \uput[dl](-1,-2){B} \uput[dr](0,-4){C} \uput[ul](-3,-4){$\mathcal{C}_{f}$} \uput[ur](-3,4.2){$\mathcal{D}$} 
\psplot{-3.6}{0.5}{-3 x mul 5 sub}
\psplot[linecolor=blue]{-3}{1.5}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 4 sub}
\psline[linestyle=dotted](1.5,0)(1.5,6.125)(0,6.125)
\end{pspicture}
}
\begin{enumerate}
\item  Le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$ de l'équation $f(x) = 0$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 1}&	\ovalbox{\textbf{b.}~~ 2}& 	\textbf{c.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 3}\\
\end{tabularx}

{\footnotesize \emph {remarque :} 2  car il n'est pas tenu compte que $-2$ est une racine double.}
\item  Les solutions sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$ de l'équation $f'(x) = 0$ sont :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-2$ et $1$}&\ovalbox{\textbf{b.}~~$ -2$ et $0$}&\textbf{c.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-3$ et $0$}.\\
\end{tabularx}

\item  Le nombre dérivé $f'(-1)$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{1,5}&\textbf{b.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ - 2$}&\ovalbox{\textbf{c.}~~$- 3$}\\
\end{tabularx}

\item  Une équation de la droite  $\mathcal{D}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = - 3x$}&\ovalbox{\textbf{b.}~~$y= - 3x - 5$}&\textbf{c.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = - 2x - 5$}.\\
\end{tabularx}

\item  La représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-3,-4)(2,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O}
\uput[l](-2.3,3){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot{-2.5}{0.5}{x dup mul 3 mul x 6 mul add}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(2,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O}
\uput[r](-2.8,3){$\mathcal{C}_{2}$}
\psplot{-3}{1.5}{x dup mul  x add 2 sub}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(2,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O}
\uput[u](-3,-2){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot{-3}{1.5}{1.5 x dup mul 0.75 mul sub 0.75 x mul sub}
\end{pspicture}\\ 
\ovalbox{\textbf{a.}~~}&\psCancel[ linewidth=0.5pt]{\textbf{b.}}~~&\psCancel[linewidth=0.5pt]{\textbf{c.}}~~\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\newpage %\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'habitants en France, exprimé en millions.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1985&1990& 1995& 2000& 2005\\ \hline
Nombre d'habitants (en millions)&56,6&	58,2& 59,4& 60,8& 62,8\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{(Source  INSEE)}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution du nombre d'habitants de 1985 à 2005. 

Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.
$t=\dfrac{\np{62.8}-\np{56.6}}{\np{56.6}}\approx \np{0.1095}$

Le taux d'évolution du nombre d'habitants en France entre  1985 et 2005 est d'environ \np{10.95}\,\% à 0,01\,\% près.
\item  Déterminons le taux moyen annuel entre 1985 et 2005. 
En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{20}$ puisque le nombre d'habitants a subi 20 évolutions durant cette période.

$(1+t_m)^{20}=\np{1.1095}$ par conséquent $t_m=\np{1.1095}^{\scriptscriptstyle\frac{1}{20}}-1\approx \np{0.00521}$.

Le taux d'évolution   moyen annuel entre 1985 et 2005 du nombre d'habitants en France est d'environ \np{0.52}\,\% à 0,01\,\% près.
\item 	Calculons une estimation, en millions d'habitants, du nombre d'habitants en 2010 si le taux moyen annuel après 2005 est de 0,5\,\%. 
Chaque année le nombre d'habitants est multiplié par \np{1.005}.

 Entre 2005 et 2010, il y a cinq évolutions. $\np{62.8}\times \np{1.005}^5\approx \np{64.386}$.
    Donc, nous pouvons estimer  le nombre d'habitants en France en 2010 à environ 64 millions .
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item  Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessous est construit dans le repère	orthogonal donné en annexe.

\medskip
{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1985&1990& 1995& 2000& 2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&1&2&3&4&5\\ \hline
Nombre d'habitants (en millions)&56,6&	58,2& 59,4& 60,8& 62,8\\ \hline
\end{tabularx}}

\item 	{\footnotesize On décide d'ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des moindres carrés.}
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\mathcal{D}$ de régression de $y$ en $x$ est $y = \np{1.5}x + \np{55.1}$, les coefficients sont donnés à  $10^{-1}$ près.
		
%\medskip
		
%\emph{Aucune justification n'est demandée.}

 La droite	$\mathcal{D}$  est tracée dans le repère donné en annexe.
		\item 	{\footnotesize On suppose que l'évolution de la population active se poursuit selon le modèle donné par la droite d'ajustement obtenue à la question précédente.}
		
Déterminons graphiquement une estimation du nombre d'habitants en 2010. En 2010 le rang est 6 donc lisons l'ordonnée du point de la droite $\mathcal{D}$ d'abscisse 6. Nous trouvons approximativement \np{64.1}. Nous pouvons estimer que le nombre d'habitants en France est d'environ 64,1 millions en 2010.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

{\footnotesize
Anne et Bastien comparent les étrennes qu'ils reçoivent chaque année. En 2000, Anne a reçu 80~\euro{} et Bastien 100~\euro.

Chaque année, les étrennes d'Anne augmentent de 6~\euro{} et celles de Bastien de 3\,\%. Pour tout entier $n$, on note $U_{n}$ et $V_{n}$ les étrennes reçues par Anne et Bastien l'année $2000 + n$.\\
On a donc $U_{0} = 80$ et $V_{0} = 100$.
}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons les étrennes qu'ont reçues Anne et Bastien en 2001, puis en 2002.
		
Anne a reçu $\begin{cases} \text{en } 2001 &U_1 = 80 + 6= 86\\\text{en } 2002&U_2 = 86 + 6 = 92 \end{cases}$ \hspace{2em}
Bastien a reçu $\begin{cases} \text{en } 2001 &V_1= 100\times \np{1,03}=103\\\text{en } 2002&V_2 = 103\times \np{1.03}=\np{106,09} \end{cases}$
		\item 	Passant d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $80$ et de raison $6$.
		
		 Le terme général d'une suite  arithmétique  de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n = u_0 + nr$. $U_{n} = 80 + 6n$.

		\item  À une évolution de 3\,\%, correspond un coefficient multiplicateur de \np{1,03}. Chaque élément de la suite se déduit du précédent en le multipliant par \np{1,03} par conséquent la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.03} et de premier terme 100.
		
		Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. 

Donc  $V_n=\np{100}\times(\np{1.03})^n$.

		\item  À l'aide de la table de la calculatrice, déterminons  différentes valeurs de $U_n$ et $V_n$.

Pour $n=7$, nous avons $U_7= 80+6\times 7=122$ et $V_7=100\times \np{1.03}^7\approx \np{122.99}$.

Pour $n=8$, nous avons $U_8= 80+6\times 8=128$ et $V_8=100\times \np{1.03}^8\approx \np{126.68}$. 

 En 2008, Anne reçoit pour la première fois davantage que Bastien.
 	\end{enumerate}
\item {\footnotesize On note $S_{n}$ et $T_{n}$ la somme des étrennes reçues per Anne et Bastien de l'année 2000 jusqu'à l'année $2000 + n$.\\
On a donc $S_{n} = U_{0}+U_{1} + \cdots + U_{n}$ et $T_{n} = V_{0} + V_{1}+ \cdots + V_{n}$.}

Calculons $S_{15}$ et $T_{15}$.
$S_{15} = U_{0} + U_{1} + \dots + U_{15} = (15 + 1) \times \dfrac{80 + 80+ 15\times 6}{2}=\np{2000}$.

$T_{15} = V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{15} = 100 \times \dfrac{ \np{1.03}^{16}-1}{\np{1.03}-1 }\approx\np{2015.69}$.

\item On donne ci-dessous l'extrait d'une feuille de calcul réalisée à l'aide d'un tableur : 

\medskip
{\tiny
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F\\ \hline\hline
1&$n$&Année& $U_{n}$&$V_{n}$&$S_{n}$&$T_{n}$\\ \hline
2&	0&	2000&	80&	100&80 &	100\\ \hline
3&	1&	2001&&&&\\ \hline
4&	2&	2002&&&&\\ \hline
5&	3&	2003&&&&\\ \hline
$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$\\ \hline
$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$\\ \hline	
17&15	&2015&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Une formule, à recopier sur la plage C4:C17, que l'on peut entrer dans la cellule C3 est : =\$C2+6
		\item Une formule, à recopier sur la plage D4:D17, que l'on peut entrer dans la cellule D3 est : =\$D2*1,03
		\item Une formule, à recopier sur la plage E4:E17, que l'on peut entrer dans la cellule E3 est : =\$E2+\$D3
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
\vfill
\begin{center}
{\Large \textbf{ANNEXE À RENDRE}}

\vspace{1cm
}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,55.75)(7,66)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=56](0,56)(-0.5,55.75)(7,66)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,56)(7,66)
\uput[d](6.5,55.75){Rang} \rput{90}(-1,64){Nombre d'habitants en millions}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,56.6)(2,58.2)(3,59.4)(4,60.8)(5,62.8)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0.6}{7}{x 1.5  mul 55.1 add}
\def\Func{x 1.5 mul 55.1 add}
\psset{arrowscale=2}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 6 def \Func)(!6 /x 6 def \Func)(6,56)
\uput[l](0.1,64.1){\tiny $\approx \np{64.1}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

