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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STG Mercatique}  
\lfoot{\small{ corrigé Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie \decofourright\\10 juin 2011 \hspace{1cm} correction}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}

%\medskip 

%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

%Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
%\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse}

\medskip 
 
\textbf{I.}  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\text{e}^x$. Sa dérivée $f'$ est définie par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} \cancel{$f'(x) = 2\text{e}^x$} 	 &\textbf{b.~~}\cancel{ $f'(x) = = 2 + \text{e}^x$}\\ 
\textbf{c.~~} \psframebox[framearc=.6]{$f'(x) = (2x + 2 )\text{e}^x$}&\textbf{d.~~} \cancel{$f'(x) = 2x\text{e}^x$}\\
\end{tabularx}
$f$ est de forme $uv$ donc $f'=u'v+uv'$  $f'(x)=2x\mathrm{e}^{x}+2x\mathrm{e}^x =(2x+2)\mathrm{e}^{x}$

\medskip

\parbox{0.22\linewidth}{\textbf{II.} 
 La courbe ci-contre représente une fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 2~;~6]$.}\hfill
\parbox{0.73\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 2 sub x 5.5 sub mul x 1.5 add mul 4 mul 33 div}
\psline[linewidth=1.2pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3,-2)(5,-2)
\end{pspicture}} 
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $[- 2~;~6]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

Parmi les quatre courbes données ci-dessous, indiquer laquelle représente $g'$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} \psset{unit=0.5cm}\cancel{\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 2 sub x 5.5 sub mul x 1.5 add mul 4 mul 33 div}
%\psline{<->}(3,2)(5,-2)
\end{pspicture} } &\textbf{b.~~} \psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-3,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5.5}{x 4 sub x mul  2 mul 5 div}
\end{pspicture} \\
\textbf{c.~~} \psset{unit=0.5cm}\cancel{\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 2 sub x 5.5 sub mul x 1.5 add mul 4 mul 33 div neg}
%\psline{<->}(3,2)(5,-2)
\end{pspicture} }  & \textbf{d.~~} \psset{unit=0.5cm}\cancel{\begin{pspicture}(-3,-3)(7,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(7,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5.5}{x 4 sub x mul 2  mul 5 div neg}
%\psline{<->}(3,2)(5,-2)
\end{pspicture} }\\
\end{tabularx}
La courbe représentative de $g'$ est celle représentée en \textbf{b} $g$ étant décroissante sur [0~;~4] par conséquent $g' \leqslant 0$ 
\medskip

\item  Le nombre de solutions de l'équation $g(x)=0$ sur l'intervalle $[- 2~;~6]$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \cancel{$0$}& 	\textbf{b.~~} \cancel{$1$}& 	\textbf{c.~~} \cancel{$2$}&  \textbf{d.~~} \psframebox[framearc=.6]{$3$}\\
\end{tabularx}
 La courbe représentative de $g$ coupe l'axe des abscisses en trois points.
\medskip
  
\item  Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $4$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \cancel{$y = x - 2$}& 	\textbf{b.~~} \cancel{$x = - 2$}& 	\textbf{c.~~}\psframebox[framearc=.6]{ $y = - 2$}&  \textbf{d.~~} \cancel{$x = 2$}\\
\end{tabularx}
la tangente au point d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des abscisses donc l'équation est de la forme $y=k$.
\medskip  

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un concessionnaire de voitures possède un parc de véhicules d'occasion et de véhicules neufs, de deux marques différentes : la marque A et la marque B.
 
En faisant le bilan de l'année passée, il constate que 20\,\% de ses ventes concernent des voitures neuves. Parmi ces voitures neuves vendues, 3 véhicules sur 10 sont de la marque A.
 
On tire au hasard une fiche client et on note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture neuve \fg, 
\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture d'occasion \fg, 
\item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture de marque A \fg, 
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og la fiche est celle d'un client ayant acheté une voiture de marque B \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
%\emph{Toutes les probabilités demandées seront données sous forme décimale.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donnons, à partir des informations de l'énoncé : 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité $p(N)$ de l'évènement $N$, $p(N)=\np{0.2}$ car 20\,\% de ses ventes concernent des voitures neuves
		\item La probabilité $p_{N}(A)$ de l'évènement A sachant $N$. $p_{N}(A)=\np{0.3}$ car 3 véhicules sur 10 sont de la marque A
	\end{enumerate}
\item  Construisons l'arbre pondéré en indiquant les probabilités correspondant à chaque branche.
	
	\medskip
	
	\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$N$}\taput{\small $0,2$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{A}\taput{\small $0,3$}
\TR{}~[tnpos=r]{B}\tbput{\small $0,7$}
 		}
	\pstree{\TR{$O$}\tbput{\small $0,8$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{A}\taput{\small $0,4$}
 \TR{}~[tnpos=r]{B}\tbput{\small $0,6$}
 		}
}
\end{center}
\item La probabilité $p(O)$ de l'évènement $O$  est $1-\np{0.2}=\np{0.8} $.

 La probabilité $p_{N}(B)$ de l'évènement $B$ sachant $N$ est $1-\np{0.3}=\np{0.7} $
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que la fiche concerne un client ayant acheté une voiture neuve de 
	marque B est $p(B\cap N)= p(B)\times p_{N}(B)=\np{0.2}\times \np{0.7}=\np{0.14} $
		\item Le concessionnaire constate que  62\,\% des clients ont acheté une voiture de marque B, par conséquent $p(B)=\np{0.62}$

Démontrons que, la probabilité que la fiche concerne un client ayant acheté un véhicule 
d'occasion de marque B est : $p(O \cap B)  = \np{0.48}$.

$p(B)=p(N \cap B)+ p(O \cap B)$ en remplaçant par leurs valeurs $\np{0.62}=\np{0.14} + p(O \cap B)$ d'où 
$p(O \cap B)=\np{0.62}-\np{0.14}=\np{0.48}$. \emph{Q.E.D.}

		\item La probabilité que le véhicule soit de la marque B sachant qu'il  a été acheté d'occasion
 $p_{O}(B)=\dfrac{p(O \cap B)}{p(B)}=\dfrac{\np{0.48}}{\np{0.8}}=\np{0.6}$
		\end{enumerate} 
\item Les évènements $B$ et $O$ sont indépendants si $p(B \cap O)= p(B)\times p(O)$

$p(B \cap O)=\np{0.48} $ et $p(B)\times p(O)=\np{0.62}\times \np{0.8}=\np{0.496}$.

 Les évènements ne sont pas indépendants.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip
 
On s'intéresse au tarif d'affranchissement postal en France depuis l'année 2002. Le tableau suivant 
donne l'évolution du prix du timbre-poste au cours de ces huit dernières années.

\medskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2002 &2003 &2005 &2006 &2008 &2009 &2010\\ \hline 
Prix du timbre (en euros)&0,46 &0,50 &0,53 &0,54 &0,55 &0,56 &0,58\\ \hline 
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : ARCEP (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes)}}
\end{tabularx} }
\medskip  

\emph{Les prix demandés sont arrondis au centime. Les taux sont donnés en pourcentages arrondis à} 0,1\,\%

\begin{enumerate}
\item Déterminons  le taux d'évolution du prix du timbre entre 2002 et 2010 :
		\[\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}=\frac{\np{0.58}-\np{0.46}}{\np{0.46}}=\framebox{\np{26.1}~\%}\]
				\item Déterminons le taux moyen annuel d'\'evolution, exprimé en pourcentage, du prix du timbre entre 2002 et 2010. Durant cette période, le prix du timbre a subi 8 évolutions. Si $t_m$ est le taux d'évolution, nous pouvons dire que le prix du timbre de 2002 à 2010 a été multiplié par $(1+t_m)^8$. Le taux moyen est alors : $t_m=\np{1.261}^{\frac{1}{8}}-1=\framebox{\np{2.9}~\%}$
	
\item L'ARCEP a décidé qu'entre 2009 et 2011 le taux d'évolution annuel moyen du prix du timbre-poste ne pourrait dépasser 2,3\,\%.
	
Si le prix du timbre augmente de 1~centime en 2011, la décision de l'ARCEP  ne peut être respectée. En effet, calculons le coefficient multiplicateur pour passer de \np{0.56} à \np{0.59}. Il vaut $\frac{\np{0.59}}{\np{0.56}}=\np{1.054}$. Le taux moyen vaut alors après deux augmentations $ \np{1.054}^{\frac{1}{2}}-1=\np{2.7}~\%$
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

On désire réaliser une étude de l'évolution du prix du timbre, à l'aide d'une feuille de calcul, en 
partant d'un prix de 0,59~\euro{} en 2012 et en appliquant une augmentation annuelle de 2,3\,\% à partir de cette date.
 
On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ où $v_{n}$ représente la valeur estimée, selon ce modèle, du prix du timbre l'année $(2012 + n)$.
 
On a ainsi $v_{0} = 0,59$ correspondant au prix du timbre en 2012.
 
On obtient la feuille de calcul suivante :

\emph{Les cellules de la plage} B2 : B10 \emph{sont au format nombre à deux décimales.}

\medskip
\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B&C\\ \hline
1&$n$&$v_{n}$&\\ \hline
2&0&0,59&\\ \hline
3&1&0,60&\\ \hline
4&2&0,62&\\ \hline
5&3&&\\ \hline
6&4&&\\\hline
7&5&&\\ \hline
8&6&&\\ \hline
9&7&&\\ \hline
10&8&&\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique car chaque terme sauf le premier, se déduit du précédent en le multipliant par \np{1.023}. La raison de cette suite est \np{1.023}.
\item La formule qui, écrite dans la cellule B3, permet d'obtenir, par recopie vers le bas, 
	la plage de cellules B4 : B10  est \framebox{=B2*\np{1.023}} 
\item  En 2017 $n=5 $, le prix du timbre en 2017 serait $u_5=\np{0.59}\times \np{1.023}^5\approx \np{0.66}$
\item Selon ce modèle,  le prix du timbre-poste dépasserait 75~centimes d'euro en 2023 car $u_{10}\approx \np{0.74}$ et $u_{11}\approx \np{0.76}$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Un propriétaire de camping désire aménager son terrain avec des bungalows et des mobil-homes. 

La taille de son terrain lui impose un maximum de 50~installations. Il peut loger 6~personnes par bungalow et 4 personnes par mobil-home.  L'infrastructure du camping ne l'autorise pas à dépasser le nombre de 240~clients par semaine.
 
On note $x$ le nombre de bungalows et $y$ le nombre de mobil-homes que le propriétaire désire installer.
 
\begin{enumerate}
\item Décrivons par un système d'inéquations les contraintes du problème.% en justifiant vos affirmations. 
\begin{itemize}
\item contrainte liée au nombre de  clients: \begin{description}\item un bungalow peut recevoir 6 personnes, $x$ bungalows $6x$ personnes 
\item un mobil-home peut recevoir 4 personnes, $y$ mobil-homes $4y$ personnes\end{description}
le maximun étant de 240 personnes, s'il installe $x$ bungalows et $y$ mobil-homes on a l'inégalité 
\begin{equation}6x+4y \leqslant240 \label{toto}\end{equation}
\item contrainte liée au nombre d'installations, il ne peut y avoir plus de 50 bungalows ou mobil-homes. S'il accorde les emplacements à $x$ bungalows et à $y$ mobil-homes on a l'inégalité \begin{equation} x+y\leqslant50\label{poum} \end{equation}
\item contraintes implicites : les nombres $x$ et $y$ doivent être des nombres entiers. 
\begin{align}x\geqslant 0 \label{pim} \\ y \geqslant 0 \label{pam}\end{align}
\end{itemize}
\item Justifions que le système demandé est équivalent au système (S) suivant : 

\[(\text{S})\quad\left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant&0\\
y&\geqslant&0\\
y&\leqslant& - x + 50\\
y&\leqslant& - 1,5x + 60\\
\end{array}\right. \quad \text{o\`u}\,\,x\, \text{et}\, y\, \text{sont des nombres entiers.}\] 
 l'inéquation (\ref{toto})  peut aussi s'écrire $ 4y\leqslant -6x+240$ ou aussi $y\leqslant -\frac{3}{2} x+60$ ce qui correspond à la quatrième inéquation du système (S).
 
  l'inéquation (\ref{poum})  peut aussi s'écrire $ y\leqslant -x+50$  ce qui correspond à la troisième inéquation du système (S).
  
 Les inéquations (\ref{pim}) et (\ref{pam}) sont les deux premières inéquations du système. 
 
 
Sur le graphique donné en \textbf{annexe}, on a tracé dans  un repère orthogonal, les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ d'équations respectives $y = - x + 50$ et $y = -1,5x + 60$. 

Déterminons graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système (S). L'origine du repère apppartient à tous les demi-plans solutions. L'ensemble solution du système (S) est l'ensemble des points M à coordonnées entières appartenant au polygone, partie du plan non hachurée incluse dans le premier quadrant, frontières incluses.
\item Le propriétaire peut installer sur son terrain et louer : 
	\begin{enumerate}
		\item 10 bungalows et 35 mobil-homes. Oui,  cela corrrespond au point A sur le graphique et il appartient à l'ensemble solution.
	 	\item 30 bungalows et 20 mobil-homes. Non, cela corrrespond au point B sur le graphique et il n'appartient pas à l'ensemble solution.
	\end{enumerate} 
\item Un bungalow se loue 500 ~\euro{} la semaine et un mobil--home 400~\euro{} la semaine. Soit $R$ le revenu hebdomadaire que recevra le propriétaire. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimons $R$ en fonction de $x$ et $y$. La location de $x$ bungalows lui apportent $500x$ euros, celle des $y$      mobil--homes lui apporte $400y$ euros, d'où $R=500x+400y$.
		\item Une équation de la droite $(d)$ correspondant à un revenu hebdomadaire de \np{12000}~\euro, est $\np{12000}=500x+400y$,
en simplifiant $4y=-5x+120$.

 L'équation réduite de $(d)$ est $y=-\frac{5}{4}x+30$. $(d)$ est tracée  sur le graphique.
		\item Toutes les droites de recette sont parallèles à la droite $(d)$ ( même coefficient directeur). On cherche parmi celles-ci, celle qui aura une ordonnée à l'origine la plus grande possible et dont l'intersection avec le polygone solution est non vide. En traçant des parallèles, on trouve le point marqué par un astérisque. Ses coordonnées sont $(20~;~30)$. C'est le point d'intersection de $(d_1)$ et de $(d_2)$.  Les contraintes sont maximales. 
		\item Le propriétaire pour obtenir le revenu maximum doit acquérir $20$ bungalows et $30$ mobil-homes. Son revenu sera alors de $500\times 20+400\times 30$ soit $\np{22000}$~euros. 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 4}

\bigskip

\psset{xunit=0.17cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(65,70)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-5,-5)(65,70)
\uput[u](57,-10){Nombre de bungalows}\uput[r](0,72){Nombre de mobil-homes}
\uput[d](65,0){$x$}
\uput[l](0,70){$y$}
\multido{\n=0+5}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(65,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{-5}{55}{50 x sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{-5}{43}{60 1.5 x mul  sub}
\psline[fillstyle=hlines,hatchcolor=red,hatchangle=60](0,60)(0,70)(65,70)(65,0)(40,0)
\psline[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue,hatchangle=120](0,50)(0,70)(65,70)(65,0)(50,0)
\psdots [dotstyle= *](10,35)\rput(10,37.5){A}
\psdots [dotstyle= square*,dotscale=1.5](30,20)\rput(29,18.5){B}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{-5}{27}{30 1.25 x mul  sub}
\rput(2,30){$(d)$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-5}{47}{55 1.25 x mul sub}
\psline[linestyle=dashed, linecolor=blue,linewidth=0.75pt](10,0)(10,35)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=blue,linewidth=0.75pt](0,35)(10,35)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=blue,linewidth=0.75pt](30,0)(30,20)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=blue,linewidth=0.75pt](0,20)(30,20)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=blue,linewidth=0.75pt](20,0)(20,30)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=blue,linewidth=0.75pt](0,30)(20,30)
\psdots [dotstyle= asterisk,dotscale=3.5](20,30)
\end{pspicture} 


\end{center}
\end{document}