\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{graphics}

%\usepackage{picins}
%\usepackage{color}
%\usepackage{amsfonts}%t1enc
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-text}
\usepackage{pst-node}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tabvar}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[frenchb]{babel}
\newcommand{\be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ee}{\end{enumerate}}
\newcommand{\bc}{\begin{center}}
\newcommand{\ec}{\end{center}}
\newcommand{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ei}{\end{itemize}}
\newcommand{\bd}{\begin{document}}
\newcommand{\ed}{\end{document}}
\newcommand{\re}{\Re \mathrm{e} \,}
\newcommand{\im}{\Im \mathrm{m} \,}
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}
\newcommand{\Oij}{$\left(O,\vec i ,\vec j \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left(O,\vec i ,\vec j, \vec k \right)$}
\newcommand{\Ouv}{$\left(O,\vec u ,\vec v \right)$}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\voffset = -70pt
\hoffset = -90pt
\textwidth = 530pt
\textheight = 750pt
\headsep = 12pt

\lhead{Corrigé du baccalauréat ES }
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{Amérique du Nord}
\rfoot{\small{mai 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\everymath{\displaystyle}


\let \ss=\subsection
\let \sss=\subsubsection
\let \ds=\displaystyle
\let \eq = \Longleftrightarrow
\let \imp = \Longrightarrow
\let \fl = \longrightarrow
\def\N{\hbox{I\hskip -2pt N}\ }
\def\C{\hbox{l\hskip-6pt C\/}\ }
\def\Z{\hbox{Z\hskip -4pt Z}\ }
\def\Q{\hbox{l\hskip -4pt Q}\ }
\def\0{\hbox{|\hskip -4pt 0}\ }
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\bd

\cfoot{Page \thepage /\pageref{lastpage}}

\cfoot{}

\newcounter{num}
\newcommand{\ex}[1]{\addtocounter{num}{1}
\setcounter{com}{0}\textbf{Exercice \thenum}\ #1}

\newcounter{nam}
\newcommand{\cex}[1]{\addtocounter{nam}{1}
\setcounter{com}{0}\textbf{Corrigé de l'exercice \thenam}\ #1}

\newcounter{com}
\newcommand{\pt}[1]{\addtocounter{com}{1}
\textbf{Partie \Alph{com}}#1}
\newcounter{numo}
\newcommand{\partie}[1]{\addtocounter{numo}{1}
\begin{center}\large\textbf{Partie \Alph{numo} #1}\end{center}}
\setlength\parindent{0mm}

\bc

\fbox{\textbf{\textsc{Correction Amérique du Nord mai 2013}}}

\ec

%\setcounter{com}{0}

\cex 

\be 

\item \fbox{$\text{e}^{- \frac{1}{a}} = \frac{1}{\text{e}^{\frac{1}{a}}}$}.

\item $e^u >0$ et on sait que $ \text{e}^{a} = \text{e}^{2\times \frac{a}{2}} = \left( \text{e}^{\frac{a}{2}} \right)^2$ donc \fbox{$ \text{e}^{\frac{a}{2}} = \sqrt{\text{e}^{a}}$}.

\item $ \ln \left( -\, \frac{1}{x} \right) = \ln \left( \frac{1}{-\, x} \right)$ donc \fbox{$ \ln \left( -\, \frac{1}{x} \right) = - \, \ln (-x)$}.

\item $f\,'(x) = 1\times \ln (x) + x \times \frac{1}{x}$ donc \fbox{$f\, '(x) = \ln (x)+1$}.

\vspace{0,3cm}

\ee
\cex 
\be 
\item 
\be 
\item \fbox{$p\left( 30 \leqslant X \leqslant 35 \right) \approx 0,133$}.
\item $ p (X \geqslant 55)= 0,5 - p\left( 40,5 \leqslant X \leqslant 55 \right) $ donc \fbox{$ p (X \geqslant 55) \approx 0,113$}.
\ee
\item 
\be 
\item $n=\np{1000}\leqslant 30$, $p=0,75$ et l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95~\% de la fréquence est donné par 

$I_F = \left[ p -1,96 \times \frac{\sqrt{p\times (1-p)}}{\sqrt{n}}~;~ p + 1,96 \times \frac{\sqrt{p\times (1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$

\textbf{Remarque :} $n \geqslant 30$, $n\times p = 1000\times 0,75 = 750 \geqslant 5$ et $ n \times (1-p) = 250 \geqslant 5$.

donc \fbox{$I_F = [0,723~;~0,777]$}.

\item On suppose que $ p = 0,75$ et on note $f_{\mathrm{obs}}$ la fréquence observée sur un échantillon de taille $n=\np{1000}$.

Si $ f_{\mathrm{obs}} $ appartient à $ I_F$ alors on accepte l'hypothèse $ p =0,75$ ;

Si $ f_{\mathrm{obs}} $ n'appartient pas à $I_F$ alors on rejette l'hypothèse $p = 0,75$ avec un risque de 5~\% de se tromper.

\item $ f_{\mathrm{obs}}  = \frac{600}{\np{1000}} = 0,6$ donc $ f_{\mathrm{obs}} $ n'appartient pas à $I_F$ (défini ci-dessus). On peut penser que le slogan publicitaire est faux avec un risque de 5~\% de se tromper.
\ee
\ee

\vspace{0,3cm}

\cex  (enseignement obligatoire)

\be 

\item $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1\up{er}  janvier de l'année $(2013 + n)$. Chaque année 5~\% des ouvrages sont supprimés, il reste donc $ \left( 1 - \frac{5}{100} \right) \times u_n = 0,95\times u_n $.

Elle achète \np{6000} ouvrages neufs soit 6 milliers donc le nombre d'ouvrages devient $ 0,95\times u_n +6$.

Pour tout entier naturel $n$, \fbox{$u_{n+1} = 0,95\times u_n +6$}.

\item Cet algorithme détermine le plus petit entier naturel N tel que $u_{\mathrm{N}} >100$.

\item On note $u_{26} \approx 99,445 < 100$ et $u_{27} \approx 100,473 > 100$ donc la valeur de N affichée est \fbox{27}.

\ee
\pt 
\be 

\item Il faut modifier la 8\up{e} ligne et l'algorithme devient :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\\
Variables :\\ 
\hspace{0.4cm}U, N\\ 
Initialisation :\\ 
\hspace{0.4cm}Mettre $42$ dans U\\
\hspace{0.4cm}Mettre $0$ dans N\\ 
Traitement : \\
\hspace{0.4cm}Tant que U $< 100$\\ 
\hspace{0.8cm}U prend la valeur U $\times\: 0,95 + 4$\\
\hspace{0.8cm}N prend la valeur N $+ 1$\\ 
\hspace{0.4cm}Fin du Tant que\\ 
Sortie\\ 
Afficher N.\\
\\ \hline
\end{tabular}

\end{center} 

\textbf{Remarque :} même si la suite s'appelle $v$ on peut conserver la lettre U.

\item Pour tout entier naturel $n$, $w_n = v_n -80$ donc $v_n = w_n +80$.

$ w_{n+1} = v_{n+1}-80 = v_n \times 0,95 + 4 -80 = ( w_n +80 ) \times 0,95 -76 = 0,95\, w_n +76-76 $ donc \fbox{$ w_{n+1}  = 0,95\, w_n$}.

De plus $ w_0 = v_0-80 = 42 - 80 = -\, 38$, donc la suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $w_0=-38$.

\item 

\be 

\item $ 0 < 0,95 < 1$ donc $\lim_{n \rightarrow + \infty} 0,95^n =0$ donc \fbox{$\lim_{n \rightarrow + \infty} w_n=0$}.

\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = w_n +80$ donc \fbox{$\lim_{n \rightarrow + \infty} v_n=80$}.

\item Au bout d'un nombre assez grand d'années, le nombre d'ouvrages sera de \np{80000}. Notons que l'algorithme ci-dessus tourne sans fin puisque 100 est une valeur qu'on ne peut atteindre.
\ee
\ee

\vspace{0,3cm}

\textbf{Corrigé de l'exercice 3} (enseignement de spécialité)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Appelons $A$ l'état probabiliste \og Léa s'est connectée \fg{}, \:$B$ l'état probabiliste \og Léa ne s'est pas connectée \fg. On considère que :
		
Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à $0,9$ d'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right) = 0,9$ et $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right) = 0,1$.

Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à $0,8$ soit  $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right) = 0,8$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right) = 0,2$.

On en déduit  le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){A}{\bf A}
\psnode(6,0){B}{\bf B}
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,1} 
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,8}
\nccircle[angleA=60]{->}{A}{.5cm} \Bput{0,9}
\nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,2}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item La matrice de transition $M$ de ce graphe vérifiant  $\left(a_{n+1}\:\:b_{n+1}\right) = \left(a_n \:\: b_n\right) \times M$ est :  $M = \begin{pmatrix}0,90&0,1
		\\0,80&0,20\end{pmatrix}$.
		\item Le 1\up{er} jour, Léa ne s'est pas connectée donc l'état initial est $P_1= (0\:\:1)$. 
		
L'état $P_3$ au  jour 3  est :

$P_3 = P_1 \times M^2 = (0\:\:1)\times \begin{pmatrix}0,90&0,1\\0,80&0,2\end{pmatrix}^2  = (0,88\:\:0,12)$.

La probabilité que Léa se connecte le troisième jour est égale à $0,88$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier $n\geqslant 1$,

$P_{n+1} = P_n \times M \iff \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_{n}&b_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,8&0,2\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9a_n+0,8b_n&0,1a_n+0,2b_n\end{pmatrix}$.

D'où  $a_{n+1} = 0,9a_n + 0,8b_n$ avec pour tout entier $n\geqslant 1$,\: $a_n + b_n = 1$. D'où
$a_{n+1} = 0,9a_n+0,8\times \left(1 - a_n\right) =$

$0,1a_n + 0,8$.

Ainsi, pour tout entier $n\geqslant 1$,\: $a_{n+1} = 0,1a_n + 0,8$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier $n\geqslant 1$,
		
$u_{n+1} =a_{n+1} - \dfrac{8}{9} \iff u_{n+1} =0,1a_n + 0,8 - \dfrac{8}{9}u_{n+1} = 0,1a_n -\dfrac{4}{45} \iff u_{n+1} = 0,1 \times \left(a_n - \dfrac{8}{9}\right)u_{n+1} = 0,1u_n$.

Donc, pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_{n+1} = 0,1u_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,1$. Mais  

$u_1 = a_1 - \dfrac{8}{9}$, soit $u_1= - \dfrac{8}{9}$.

$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,1$ et de premier terme $u_1 = - \dfrac{8}{9}$.
		\item $\left(u_n\right)$  est une suite géométrique de raison $q = 0,1$ et de premier terme $u_1 = - \dfrac{8}{9}$ alors, pour tout entier $n\geqslant 1$,
$u_n = u_1 \times q^{n-1}$,  soit $u_n = - \dfrac{8}{9} \times 0,1^{n - 1}$.

Or pour tout entier $n\geqslant 1$,\:$u_n = a_n - \dfrac{8}{9} \iff a_n = u_n+ \dfrac{8}{9}\iff a_n = -\dfrac{8}{9}\times 0,1^{n-1} + \dfrac{8}{9}\iff a_n = - \dfrac{80}{9}\times 0,1^n + \dfrac{8}{9}$.

Ainsi pour tout entier $n\geqslant 1$,\: $a_n = - \dfrac{80}{9} \times 0,1^n + \dfrac{8}{9}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Comme $0 < 0,1 < 1$, on a  $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0,1^n = 0$ d'où $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} -\dfrac{80}{9}\times 0,1^n =0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}-\dfrac{80}{9}\times 0,1^n + \dfrac{8}{9} = \dfrac{8}{9}$. Soit $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = \dfrac{8}{9}$.

Conclusion : la suite $\left(a_n\right)$ converge vers $\dfrac{8}{9}$.
		\item La suite $\left(a_n\right)$ convergeant vers $\dfrac{8}{9}$, à partir d'un certain nombre de jours, la probabilité que Léa se connecte chaque jour est égale à $\dfrac{8}{9}$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\cex

\medskip
 
\pt

\be 

\item Le point $D$ est sur la courbe $C_f$ donc \fbox{$f(2)=0$}. La tangente à la courbe $C_f$ au point $A~(0~;~2)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc \fbox{$f\, '(0)=0$}.

\item $ f\,'(x) = -1\times \text{e}^{ax} + (b-x)\times a\, \text{e}^{ax}$ donc \fbox{$f\, '(x)= (-1+ab -ax)\text{e}^{ax}$}.

\item D'une part $f(2)=0$ donc $ (b-2)\,\text{e}^{2a} = 0$, or $ \text{e}^{ax} >0$ donc $b-2=0$.

D'autre part $ f\,'(0)=0$ donc $ (-1+ab )\text{e}^{0} = 0 $ donc $ ab - 1 = 0$.

Finalement $\quad \left\{\begin{array}{l c l}
b - 2&=&0\\
ab - 1 &=& 0
\end{array}\right.$

\item $b-2=0$ donne $b=2$ et donc $ 2a-1=0$ donc $a= \frac{1}{2} = 0,5$ donc \fbox{$a=0,5$ et $b=2$}.



\ee

\pt 

\be 

\item Sur $[0~;~2]$, $f(x) \geqslant 0$ donc $\displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x$ est la valeur de l'aire qui est entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$, exprimée en unité d'aire.

Cette aire est supérieure à 2 unités d'aire et inférieure à 4 unités d'aire donc \fbox{$\displaystyle2\leqslant \int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x \leqslant 4$}.



\be 

\item $F\, '(x) = -2 \times \text{e}^{0,5x} +(-2x+8)\times 0,5\, \text{e}^{0,5x} = -2\, \text{e}^{0,5x} -x\, \text{e}^{0,5x} + 4\, \text{e}^{0,5x}= -x\, \text{e}^{0,5x} + 2\, \text{e}^{0,5x}= (2-x)\,  \text{e}^{0,5x}$ donc \fbox{$F\, '(x) = f(x)$}.

$F$ est donc bien une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.


\item $\displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0}^2 = F(2)-F(0) = 4\, \text{e}^{1} - 8\, \text{e}^{0} = 4\, \text{e}- 8$ donc \fbox{$ \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x  = 4\, \text{e}- 8 \approx 2,87 $}.

\ee

\item Notons que $G\, '(x) = f(x) $ et $f(x) \geqslant 0$ sur $[0~;~2]$ donc la fonction $G$ est croissante sur $[0~;~2]$ donc la courbe de la fonction $G$ est la courbe $C_3$.


\ee




\label{lastpage}

\ed
