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\newcommand{\be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ee}{\end{enumerate}}
\newcommand{\bc}{\begin{center}}
\newcommand{\ec}{\end{center}}
\newcommand{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ei}{\end{itemize}}
\newcommand{\bd}{\begin{document}}
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\newcommand{\re}{\Re \mathrm{e} \,}
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\newcommand{\vect}{\overrightarrow}


\newcommand{\Oij}{$\left(O,\vec i ,\vec j \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left(O,\vec i ,\vec j, \vec k \right)$}
\newcommand{\Ouv}{$\left(O,\vec u ,\vec v \right)$}

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\rhead{Correction : ES Centres étrangers juin 2013}

\pagestyle{fancy}
\everymath{\displaystyle}
\let \ss=\subsection
\let \sss=\subsubsection
\let \ds=\displaystyle
\let \eq = \Longleftrightarrow
\let \imp = \Longrightarrow
\let \fl = \longrightarrow

\def\N{\hbox{I\hskip -2pt N}\ }
\def\C{\hbox{l\hskip-6pt C\/}\ }
\def\Z{\hbox{Z\hskip -4pt Z}\ }
\def\Q{\hbox{l\hskip -4pt Q}\ }
\def\0{\hbox{|\hskip -4pt 0}\ }

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\usepackage[french]{babel}
\bd

\lhead{Page \thepage /\pageref{lastpage}}

\cfoot{}

\newcounter{num}
\newcommand{\ex}[1]{\addtocounter{num}{1}
\setcounter{com}{0}\textbf{Exercice \thenum}\ #1}

\newcounter{nam}
\newcommand{\cex}[1]{\addtocounter{nam}{1}
\setcounter{com}{0}\textbf{Correction de l'exercice \thenam}\ #1}

\newcounter{com}
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\textbf{Partie \Alph{com}}#1}



\newcounter{numo}
\newcommand{\partie}[1]{\addtocounter{numo}{1}
\begin{center}\large\textbf{Partie \Alph{numo} #1}\end{center}}
\thispagestyle{empty}

\bc

\fbox{\textbf{\textsc{Correction du sujet Centres étrangers juin 2013}}}

\ec
%\setcounter{com}{0}
\cex 
\be 

\item $U_1=0,875\, U_0+\np{1200} = 0,875 \times \np{40000} +\np{1200} = \np{36200}$ donc \fbox{$U_1= \np{36200}$}. La bonne réponse est donc la réponse \textbf{c}.

\item On note que $U_n= V_n + \np{9600}$.

$V_{n+1}= U_{n+1}-\np{9600} = 0,875 \times U_n + \np{1200} -\np{9600} =  0,875 \times \left(  V_n + \np{9600} \right)  -\np{8400} =  0,875 \times  V_n + \np{8400} - \np{8400}$ donc $V_{n+1}=  0,875 \times  V_n$ donc la suite $(V_n) $ est une suite géométrique de raison $0,875$. La bonne réponse est la réponse \textbf{b}.

Le premier terme est donc $V_0 = U_0 - \np{9600} = \np{40000} - \np{9600} = \np{30400}$

\item On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n = \np{30400} \times 0,875^ n$, or 
$U_n= V_n + \np{9600}$ donc $U_n = \np{30400} \times 0,875^ n + \np{9600}$.

Notons que $0< 0,875 < 1$ donc $ \lim_{n \rightarrow + \infty} 0,875^ n = 0$ donc \fbox{$ \lim_{n \rightarrow + \infty}U_n = \np{9600} $}. La bonne réponse est la réponse \textbf{d}.

\item La bonne réponse est la réponse \textbf{c}.

\item $U_{32} = \np{30400} \times 0,875^{32} + \np{9600} \approx \np{10024} > \np{10000}$ et $U_{33} = \np{30400} \times 0,875^{33} + \np{9600} \approx \np{9971} < \np{10000}$ donc la valeur affichée est la valeur de $N$ égale à \fbox{33}. La bonne réponse est la réponse \textbf{a}.

\ee

\medskip

\cex

\be 

\item On sait que 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 15\% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés donc \fbox{$p(E)=0,15$ et $p\left( \overline{E} \right) =0,85$}.
\item[$\bullet~$] Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80\% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes donc \fbox{$p_E(V)=0,8$ et $p_E\left( \overline{V} \right)=0,2$}.
\item[$\bullet~$] Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10\% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes donc \fbox{$p_{\overline{E}}(V)=0,1$ et $p_{\overline{E}}\left( \overline{V} \right)=0,9$}.
\end{itemize}


\item L'arbre est donc \hspace{1cm}
\raisebox{-30ex}{\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.33,-3.36)(5.92,3.62)
\psline(0,0)(2,2)
\psline(0,0)(2,-2)
\psline(3,2)(5,3)
\psline(3,2)(5,1)
\psline(3,-2)(5,-1)
\psline(3,-2)(5,-3)
\rput[tl](2.34,2.2){$E$}
\rput[tl](2.34,-1.8){$\overline{E}$}
\rput[tl](5.2,1.2){$\overline{V}$}
\rput[tl](5.2,3.2){$V$}
\rput[tl](5.2,-2.8){$\overline{V}$}
\rput[tl](5.2,-0.8){$V$}
\rput[tl](0.6,1.6){0,15}
\rput[tl](0.6,-1.3){0,85}
\rput[tl](3.7,2.99){0,8}
\rput[tl](3.7,1.23){0,2}
\rput[tl](3.7,-0.98){0,1}
\rput[tl](3.7,-2.73){0,9}
\end{pspicture*}}

\item $E~\cap ~V$ est le sac de pommes est vendu dans l'exploitation agricole \textbf{et} les pommes sont de variétés différentes.

$ p \left( E~\cap ~V \right) = p(E)\times p_E(V) = 0,15 \times 0,8 = 0,12$ donc \fbox{$  p \left( E~\cap ~V \right) = 0,12$}.

\item $ p (V) = p \left( E~\cap ~V \right) + p \left( \overline{E}~\cap ~V \right) = 0,12 + p\left( \overline{E} \right)\times p_{\overline{E}}(V) = 0,12 + 0,85 \times 0,1 = 0,205$ donc \fbox{$ p (V)  = 0,205$}.

\item Notons que $ p\left( \overline{V} \right) = 1 - p(V) = 0,795$.

On cherche $ p_{\overline{V}}(E) = \frac{p \left( E~\cap ~\overline{V} \right)}{p\left( \overline{V} \right)} = \frac{0,15\times 0,2}{0,795} \approx 0,038$ donc \fbox{$ p_{\overline{V}}(E) \approx 0,038$}.

\item Un sac de pommes est donc vendu en moyenne, en euros, 

$ 0,8 \times p(E)+ 3,40 \times p\left( \overline{E} \right) = 0,8 \times 0,15+ 3,40 \times 0,85$ soit $3,01$ euros en moyenne 

donc pour $\np{45000}$ sacs les producteurs peuvent prévoir un montant de $\np{45000} \times 3,01 $ soit un montant de \fbox{$ \np{135450}$ euros}.



\ee

\medskip

\cex 

\be 

\item On note que la fonction $f$ est du type $ \frac{u}{v}$, la dérivée est donc $\frac{u'\times v - u \times v'}{v^2}$.

$f\, '(x) = \frac{(-2x+10)\times x^2-(-x^2+10x-16)\times 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x^3 +10\, x^2+2x^3-20\, x^2+32x}{x^4} $

donc $f\, '(x)= \frac{-10\, x^2 +32x}{x^4} = \frac{x\times \left( -10\, x  +32\right)}{x\times x^3} = \frac{  -10\, x  +32 }{  x^3}$

donc \fbox{$f\, '(x) = \frac{  -10\, x  +32 }{  x^3}$}.

\item 

\be 

\item Sur $[2~;~8]$, $x^3>0$ donc $f\, '(x)$ est du signe de $-10x+32$ d'où le signe de $f\, '(x)$, en notant que le signe de $a=-10<0$.

\bc 

$ \begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x&2&&3,2&&8\\
\hline
f\, '(x)&&+&\barre{0}&-&\\
\hline
\end{array}$

\ec

\item D'où le tableau de variation de la fonction $f$.

\bc 

$ \begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x&2&&3,2&&8\\
\hline
f\, '(x)&&+&\barre{0}&-&\\
\hline
&&&\barre{0,5625}&&\\
f&&\nearrow&\barre{}&\searrow&\\
&0&&\barre{}&&0\\
\hline
\end{array}$

\ec


\ee

\item 

\be 

\item $f''(x)=\frac{20x-96}{x^4}$, notons que $x^4 >0$ sur $[2~;~8]$ donc $f\, ''$ est du signe de $20x-96$ (qui s'annule pour $4,8$) donc on peut dresser le tableau de variation de la fonction $f\, '$ sur $[2~;~8]$.

\bc

$ \begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x&2&&4,8&&8\\
\hline
f\, ''&&-&0&+&\\
\hline
&&&\barre{}&&\\
f\, '&&\searrow &\barre{}&\nearrow&\\
&&&\barre{}&&\\
\hline
\end{array}$

\ec

La fonction $f\, '$ est croissante sur $[4,8~;~8]$ donc la fonction $f$ est convexe sur $[4,8~;~8]$.

\item La fonction $f\, '$ est décroissante sur $[2~;~4,8]$ puis croissante sur $[4,8~;~8]$ donc la fonction $f$ est concave sur $[2~;~4,8]$ puis convexe sur $[4,8~;~8]$ donc le point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse $4,8$ est un point d'inflexion.


\ee

\item 

\be 

\item $F\, '(x)  = -1 +10\times \frac{1}{x} +16\times \left( - \frac{1}{x^2} \right) = -1 + \frac{10}{x}  - \frac{16}{x^2} = \frac{-x^2+10x-16}{x^2}$ donc \fbox{$F\, '(x) = f(x)$} donc la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[2~;~8]$.

\item $I =  \int_2^8\, f(x)\, \mathrm{d}x = \left[F(x) \right]_2^8 = F(8)-F(2) = -8+10\, \ln 8 +2 - \left( -2+10\, \ln 2 +8\right) $

$I = -8+10\, \ln 8 +2 +2-10\, \ln 2 -8 = -12+10\, \ln 8 -10\, \ln 2 $ donc \fbox{$I = -12+10\, \ln 4 \approx 1,86$}.


\ee


\ee

\medskip

\cex 

\be 

\item 

\be 

\item On cherche donc $p \left( D < 60 \right) = p \left( 20 < D < 60 \right) = \frac{60-20}{120-20} = 0,4$ donc la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes est \fbox{$0,4$}.

\item $E(D)= \frac{120+20}{2}=70$ donc en moyenne les quatre joueurs sont réunis au bout de 70 secondes.

\ee

\item 

\be 

\item $J$ a pour espérance $120$ et son écart-type est donc $20$.

\item $ 90 < J < 180 \eq  90 -120 < J -120< 180-120 \eq \frac{-30}{20} < \frac{J-120}{20} < \frac{60}{20} $

$\eq -\, 1,5 < \frac{J-120}{20} < 3$

donc \fbox{$ 90 < J < 180 \eq   -\, 1,5 < \frac{J-120}{20} < 3$}.

\item $X$ suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1, soit la loi normale centrée réduite.

\item $ p \left( 90 < J < 180 \right) \approx 0,932$.


\ee


\ee

\medskip

\cex

\be 

\item 
	\vskip .5 cm  
    %\begin{center} 
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline sommets&A&B&C&D&E&F&G\\\hline degres&2&4&5&5&4&4&2\\\hline
    
\end{tabular}
%\end{center}
\item \begin{enumerate}
    \item La matrice $M=\begin{pmatrix}
 0& 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 &1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}$
\item Les chemins de longueur $3$ qui relient un sommet à un autre sont comptés dans $M^3$ donc ici on calcule $M^3_{1;6}=5$; il ya donc $5$ tels chemins:

$ABCF~;~ABEF~;~ABDF~;~ACEF~;~ACDF.$
\item Par le cours, vu qu'il y a exactement deux sommets de degré impair, il y a une chaine eulèrienne commençant et finisssant par ces deux sommets $C$ et $D$ ( ce n'est pas une chaine fermée), elle aura 13 arêtes car la somme des degrés vaut $26$ : $CDGFDEFCEBACBD$.
\end{enumerate}\item \begin{enumerate}
    \item La matrice de routage  $R=\begin{pmatrix}&A&B&C&D&E&F&G\\
 A&& 8 & 4 &  &  &  &  \\
B&8 &  & 8 & 4 & 12 &  & \\
C&4 & 8 &  &16 & 12 & 20 & \\
D& & 4 & 16 &  & 12 & 24 & 20\\
E& & 12 & 12 & 12 &  & 12 & \\
F& &  & 20 & 24 & 4 &  & 8\\
G& &  &  & 20 &  & 8 & \\
\end{pmatrix}$
 \vskip .5 cm
\begin{center}
 $\begin{array}{||c|c|c|c|c|c|c|c||}\hline A&B&C&D&E&F&G&\text{départ}\\\hline\hline 0&&&&&&&\\&\boxed{8_A}&\boxed{4_A}&\infty&\infty&\infty&\infty&A\\\hline 
    {\cancel{}}&{\cancel{12_C}}&{\cancel{}}&{\cancel{20_C}}&\boxed{16_C}&{\cancel{24_C}}&\infty&C\\\hline
    {\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&\boxed{12_B}&{\cancel{20_B}}&&&B\\\hline 
    {\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{24_D}}&{\cancel{36_D}}&32_D&D\\\hline 
    {\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&\boxed{20_E}&{\cancel{32_D}}&E\\\hline {\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&{\cancel{}}&\boxed{28_F}&F\\\hline 
    
    
\end{array}$
\end{center}

\item  
	
 Finalement le candidat mettra  $28$ minutes\\ par le trajet : ACEFG car $4 + 12 + 4 + 8 = 28$.

\end{enumerate}
\ee











\label{lastpage}

\ed
